機器人運動分析中的矩陣變換演示文稿

機器人運動分析中的矩陣變換演示文稿當(dāng)前1頁，總共51頁。機器人運動分析中的矩陣變換當(dāng)前2頁，總共51頁?！趴杀染仃嚨亩x▲微分運動與廣義速度▲雅可比矩陣的構(gòu)造法▲PUMA560機器人的雅可比矩陣▲逆雅可比矩陣▲力雅可比矩陣第四講：微分運動和雅可比矩陣當(dāng)前3頁，總共51頁。

上一章我們討論了剛體的位姿描述、齊次變換，機器人各連桿間的位移關(guān)系，建立了機器人的運動學(xué)方程，研究了運動學(xué)逆解，建立了操作空間與關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系。本章將在位移分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行速度分析，研究操作空間速度與關(guān)節(jié)空間速度之間的線性映射關(guān)系——雅可比矩陣(簡稱雅可比)。雅可比矩陣不僅用來表示操作空間與關(guān)節(jié)空間之間的速度線性映射關(guān)系，同時也用來表示兩空間之間力的傳遞關(guān)系。當(dāng)前4頁，總共51頁。4.1雅可比矩陣的定義

把機器人關(guān)節(jié)速度向量定義為：

式中，為連桿i相對i-1的角速度或線速度。當(dāng)前5頁，總共51頁。手抓在基坐標(biāo)系中的廣義速度向量為：

式中，v為線速度，ω為角速度分量。當(dāng)前6頁，總共51頁。從關(guān)節(jié)空間速度向操作空間速度映射的線性關(guān)系稱為雅可比矩陣，記為J，即：

4-3當(dāng)前7頁，總共51頁。在數(shù)學(xué)上，機器人終端手抓的廣義位置（位姿）矢量P可寫成：

上式對時間求導(dǎo)，有：4-5當(dāng)前8頁，總共51頁。對照式4-3和式4-5，可知：

當(dāng)前9頁，總共51頁。

在機器人學(xué)中，J是一個把關(guān)節(jié)速度向量變換為手爪相對基坐標(biāo)的廣義速度向量的變換矩陣。在三維空間運行的機器人，其J陣的行數(shù)恒為6(沿/繞基坐標(biāo)系的變量共6個)；列數(shù)則為機械手含有的關(guān)節(jié)數(shù)目。對于平面運動的機器人來說，手的廣義位置向量均容易確定，可采用直接微分法求J，比較方便。當(dāng)前10頁，總共51頁。對于三維空間運行的機器人則不完全適用。從三維空間運行的機器人運動學(xué)方程，可以獲得直角坐標(biāo)位置向量的顯式方程，因此，J的前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量的一般表達(dá)式。找不出互相獨立的、無順序的三個轉(zhuǎn)角來描述方位．繞直角坐標(biāo)軸的連續(xù)角運動變換是不可交換的，而對角位移的微分與對角位移的形成順序無關(guān)，故一般不能運用直接微分法來獲得J的后三行。因此，常用構(gòu)造性方法求雅可比J。當(dāng)前11頁，總共51頁。4.2微分運動與廣義速度剛體或坐標(biāo)系的微分運動包括微分移動矢量d和微分轉(zhuǎn)動矢量δ。前者由沿三個坐標(biāo)軸的微分移動組成，后者由繞三個坐標(biāo)軸的微分轉(zhuǎn)動組成，即或

或當(dāng)前12頁，總共51頁。剛體或坐標(biāo)系的微分運動矢量剛體或坐標(biāo)系的廣義速度當(dāng)前13頁，總共51頁。簡寫為：當(dāng)前14頁，總共51頁。其中，R是旋轉(zhuǎn)矩陣S(P)為矢量P的反對稱矩陣S(P)矩陣具有以下性質(zhì)：當(dāng)前15頁，總共51頁。相應(yīng)的，廣義速度V的坐標(biāo)變換為：任意兩坐標(biāo)系A(chǔ)和B之間廣義速度的坐標(biāo)變換為：當(dāng)前16頁，總共51頁。4.3雅可比矩陣的構(gòu)造法構(gòu)造雅可比矩陣的方法有矢量積法和微分變換法，雅可比矩陣J(q)既可當(dāng)成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間的速度傳遞的線性關(guān)系，也可看成是微分運動轉(zhuǎn)換的線性關(guān)系，即：

當(dāng)前17頁，總共51頁。對于有n個關(guān)節(jié)的機器人，其雅可比矩陣J(q)是6×n階矩陣，其前三行稱為位置雅可比矩陣，代表對手爪線速度v的傳遞比，后三行稱為方位矩陣，代表相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度對手爪的角速度ω的傳遞比。因此，可將雅可比矩陣J(q)分塊，即：式中，Jli和Jai分別表示關(guān)節(jié)i的單位關(guān)節(jié)速度引起手爪的線速度和角速度。

當(dāng)前18頁，總共51頁。雅可比矩陣的求解（矢量積法）：Jli的求法：(1)第i關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)時僅平移關(guān)節(jié)產(chǎn)生的線速度當(dāng)前19頁，總共51頁。設(shè)某時刻僅此關(guān)節(jié)運動、其余的關(guān)節(jié)靜止不動，則：設(shè)bi-1為zi-1軸上的單位矢量，利用它可將局部坐標(biāo)下的平移速度di轉(zhuǎn)換成基礎(chǔ)坐標(biāo)下的速度：由于所以當(dāng)前20頁，總共51頁。

(2)第i個關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時，設(shè)某時刻僅此關(guān)節(jié)運動，其余的關(guān)節(jié)靜止不動，仍然利用bi-1將zi-1軸上的角速度轉(zhuǎn)化到基礎(chǔ)坐標(biāo)中去僅旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)產(chǎn)生的線速度當(dāng)前21頁，總共51頁。矢量起于Oi-1，止于On，所以由ωi產(chǎn)生的線速度為:當(dāng)前22頁，總共51頁。由于所以當(dāng)前23頁，總共51頁。雅可比矩陣的求解：Jai的求法：第i關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)時由于關(guān)節(jié)移動的平移不對手部產(chǎn)生角速度，所以此時(2)第i關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時，所以當(dāng)前24頁，總共51頁。當(dāng)?shù)趇關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)時當(dāng)?shù)趇關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)時當(dāng)前25頁，總共51頁。確定1、用b表示zi-1軸上的單位向量把它轉(zhuǎn)換到基礎(chǔ)坐標(biāo)系中，即為當(dāng)前26頁，總共51頁。

如右圖所示。用O、Oi-1、On分別表示基礎(chǔ)坐標(biāo)系、i-1號坐標(biāo)及手部坐標(biāo)系的原點。用矢量x表示在各自坐標(biāo)系中的原點。把用齊次坐標(biāo)表示當(dāng)前27頁，總共51頁。有上式可以確定當(dāng)前28頁，總共51頁。例2-6：建立右圖的雅可比矩陣當(dāng)前29頁，總共51頁。當(dāng)前30頁，總共51頁。機械臂末端的速度為當(dāng)前31頁，總共51頁。微分變換法

對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)

當(dāng)前32頁，總共51頁。對于移動關(guān)節(jié)

當(dāng)前33頁，總共51頁。對于移動關(guān)節(jié)

對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)

當(dāng)前34頁，總共51頁。例：PUMA560的6個關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，其雅可比有6列。此處用矢量積法計算J(q)當(dāng)前35頁，總共51頁。當(dāng)前36頁，總共51頁。當(dāng)前37頁，總共51頁。當(dāng)前38頁，總共51頁。例：斯坦福六自由度機器人除第三關(guān)節(jié)為移動關(guān)節(jié)外，其余5個關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)。此處用微分法計算TJ(q)當(dāng)前39頁，總共51頁。當(dāng)前40頁，總共51頁。當(dāng)前41頁，總共51頁。若給定機器人終端手抓的廣義速度向量V，則可由下式解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度：逆雅可比矩陣

上式中，稱為逆雅可比矩陣，為加給對應(yīng)關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)的速度輸入變量。當(dāng)前42頁，總共51頁。雅可比矩陣的應(yīng)用1、分離速度控制

由上式可見，當(dāng)已知手端速度向量V，可通過左乘雅可比逆矩陣計算出機器人的關(guān)節(jié)速度向量，所以上式為運動學(xué)逆問題的速度關(guān)系式，是對機器人進(jìn)行速度控制的基本關(guān)系式。當(dāng)前43頁，總共51頁。

采用計算機控制時，把速度表示位置增量的形式，故將上式寫為：式中,Δv為手部在基礎(chǔ)坐標(biāo)下一個采樣周期的位移(線位移、角位移)；Δq為在同一周期內(nèi)關(guān)節(jié)變量的增量。當(dāng)前44頁，總共51頁。

當(dāng)要求機器人沿某軌跡運動時，Δv為已知，將它代入上式中求得關(guān)節(jié)變量增量Δq

，于是可確定各關(guān)節(jié)變量值，由伺服系統(tǒng)實現(xiàn)位置控制，這就是分離速度控制原理，如下圖所示。Δv要求Δv實際分離速度控制原理當(dāng)前45頁，總共51頁。雅可比矩陣的應(yīng)用2、在靜力分析中的應(yīng)用

有些機器人的工作需要與環(huán)境接觸，并保持一定的接觸力，如右圖所示。接觸力F可表示為一個六維力向量：設(shè)一個驅(qū)動器只驅(qū)動一個關(guān)節(jié)，則n個關(guān)節(jié)需求n個驅(qū)動力，可組成一個n維關(guān)節(jié)力向量:當(dāng)前46頁，總共51頁。T與F的關(guān)系可以表示為：2-