《數(shù)學(xué)分析（第4版）》18-3幾何應(yīng)用

一、平面曲線的切線與法線二、空間曲線的切線與法平面三、曲面的切平面與法線在本節(jié)中所討論的曲線和曲面,由于它們的方程是以隱函數(shù)(組)的形式出現(xiàn)的,因此在求它們的切線或切平面時,都要用到隱函數(shù)(組)的微分法.§3幾何應(yīng)用數(shù)學(xué)分析

第十八章隱函數(shù)定理及其應(yīng)用*點擊以上標(biāo)題可直接前往對應(yīng)內(nèi)容四、*用參數(shù)方程表示的曲面

平面曲線的切線與法線曲線L：條件：上一點,在近旁,F滿足隱函數(shù)定理條件,可確定可微的隱函數(shù):處的切線方程為：§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面后退前進目錄退出總之,當(dāng)§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面例1求笛卡兒葉形線在點

處的切線與法線.解

設(shè)設(shè)一般二次曲線為試證L

在點處的切線方程為證§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面例2由此得到所求切線為利用滿足曲線L的方程,即整理后便得到§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面空間曲線的切線與法平面先從參數(shù)方程表示的曲線開始討論.在第五章§3已學(xué)過,對于平面曲線若是其上一點,則曲線在點處的切線為下面討論空間曲線.§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面(A)

用參數(shù)方程表示的空間曲線:

類似于平面曲線的情形,不難求得處的切線為過點且垂直于切線的平面,稱為曲線L在點處的法平面.§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面因為切線的方向向量即為法平面的法向量,所以法平面的方程為(B)用直角坐標(biāo)方程表示的空間曲線：

設(shè)近旁具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),且§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面不妨設(shè)于是存在隱函數(shù)組這也就是曲線L以z作為參數(shù)的一個參數(shù)方程.根據(jù)公式(3),所求切線方程為§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面應(yīng)用隱函數(shù)組求導(dǎo)公式,有于是最后求得切線方程為相應(yīng)于

(3)式的法平面方程則為§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面例3求空間曲線在點處的切線和法平面.解容易求得由此得到切線方程和法平面方程分別為§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面故切向向量為symst;x=t-sin(t);y=1-cos(t);z=4*sin(t/2);ezplot3(x,y,z,[-2*pi,2*pi])繪制上述空間曲線的程序與所得圖形:§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面例4求曲線在點處的切線與法平面.解曲線L

是一球面與一圓錐面的交線.令根據(jù)公式(6)與(7),需先求出切向向量.為此計算F,G

在點處的雅可比矩陣:§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面由此得到所需的雅可比行列式:§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面故切向向量為據(jù)此求得§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面曲面的切平面與法線以前知道,當(dāng)f

為可微函數(shù)時,曲面z=f(x,y)在點處的切平面為現(xiàn)在的新問題是:曲面由方程若點近旁具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),而且§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面給出.不妨設(shè)地確定了連續(xù)可微的隱函數(shù)因為所以在處的切平面為又因(9)式中非零元素的不指定性,故切平面方程§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面則由方程(8)在點近旁惟一

一般應(yīng)寫成隨之又得到所求的法線方程為回顧1現(xiàn)在知道,函數(shù)在點P的梯度其實就是等值面在點P

的法向量:§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面回顧2若把由(5)表示的空間曲線L看作兩曲面的交線(圖18－9),在的切線與此二曲面在的法線都相垂直.

方向向量分別是

圖18－9§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面而這兩條法線的則L故曲線(4)的切向向量可取的向量積:這比前面導(dǎo)出(6),(7)兩式的過程更為直觀,也容易記得住.§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面例5求旋轉(zhuǎn)拋物面在點處的切平面和法線.解

令從而由(9),(10)分別得到切平面為法線為§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面則曲面的法向量為

例6證明:曲面的任一切平面都過某個定點(這里f是連續(xù)可微函數(shù)).證

令于是曲面在其上任一點處的法向量可取為§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面則有由此得到切平面方程:將點代入上式,得一恒等式:這說明點恒在任一切平面上.§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面用參數(shù)方程表示的曲面曲面也可以用如下雙參數(shù)方程來表示:這種曲面可看作由一族曲線所構(gòu)成:個值,(12)就表示一條以u為參數(shù)的曲線;某個區(qū)間上的一切值時,這許多曲線的集合構(gòu)成了一個曲面.的方程.為此假設(shè)且§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面每給定v的一當(dāng)v取現(xiàn)在要來求出這種曲面的切平面和法線(12)式中三個函數(shù)在近旁都存在連續(xù)的一階偏因為在處的法線必垂直于上過的任意兩條曲線在的切線,所以只需在上取兩條特殊的曲線(見圖18－10):它們的切向量分別為圖18－10

則所求的法向量為§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面導(dǎo)數(shù).至此,不難寫出切平面方程和法線方程分別為

§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面例7

設(shè)曲面的參數(shù)方程為試對此曲面的切平面作出討論.解

先計算在點處的法向量:§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面由此看到,當(dāng)時說明在曲面(13)上存在著一條曲線,其方程為在此曲線上各點處,曲面不存在切平面,我們稱這種曲線為該曲面上的一條奇線.

而當(dāng)時,法向量可取與之對應(yīng)的切平面則為§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面法線則為當(dāng)動點趨于(13)奇線上的點時,存在極限(一般不一定存在):此時切平面存在極限位置:§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面法向量有時需要用此“極限切平面”來補充定義奇線上的切平面.此點處注曲面上的孤立奇點往往是曲面的尖點,如圓錐面的頂點線和切平面.“摺線”、“邊界線”或是曲面自身的“交叉線”.§3幾何應(yīng)用平面曲線的切線與法線空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線用參數(shù)方程表示的曲面