信號與系統(tǒng)第8章課件

第八章信號與系統(tǒng)信號與系統(tǒng)主講人：侯海良通信與控制工程系3/14/2023第八章系統(tǒng)狀態(tài)變量分析8.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程一、狀態(tài)變量與狀態(tài)方程二、動態(tài)方程的一般形式8.2狀態(tài)方程的建立一、電路狀態(tài)方程的列寫二、由輸入-輸出方程建立狀態(tài)方程

8.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立8.4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解8.5離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解點擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)3/14/2023第八章系統(tǒng)狀態(tài)變量分析前面的分析方法稱為外部法，它強(qiáng)調(diào)用系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的特性。其特點：（1）只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，對于多輸入多輸出系統(tǒng)，將增加復(fù)雜性；（2）只研究系統(tǒng)輸出與輸入的外部特性，而對系統(tǒng)的內(nèi)部情況一無所知，也無法控制。本章將介紹的內(nèi)部法——狀態(tài)變量法是用n個狀態(tài)變量的一階微分或差分方程組（狀態(tài)方程）來描述系統(tǒng)。優(yōu)點有：（1）提供系統(tǒng)的內(nèi)部特性以便研究。（2）便于分析多輸入多輸出系統(tǒng)；（3）一階方程組便于計算機(jī)數(shù)值求解。并容易推廣用于時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。

3/14/20238.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程這是由三個內(nèi)部變量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)構(gòu)成的一階微分方程組。若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，則根據(jù)t≥t0時的給定激勵uS1(t)和uS2(t)就可惟一地確定在t≥t0時的解uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。

系統(tǒng)的輸出容易地由三個內(nèi)部變量和激勵求出：一組代數(shù)方程3/14/20238.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程狀態(tài)與狀態(tài)變量的定義系統(tǒng)在某一時刻t0的狀態(tài)是指表示該系統(tǒng)所必需最少的一組數(shù)值，已知這組數(shù)值和t≥t0時系統(tǒng)的激勵，就能完全確定t≥t0時系統(tǒng)的全部工作情況。

狀態(tài)變量是描述狀態(tài)隨時間t變化的一組變量，它們在某時刻的值就組成了系統(tǒng)在該時刻的狀態(tài)。對n階動態(tài)系統(tǒng)需有n個獨立的狀態(tài)變量，通常用x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。說明（1）系統(tǒng)中任何響應(yīng)均可表示成狀態(tài)變量及輸入的線性組合；（2）狀態(tài)變量應(yīng)線性獨立；（3）狀態(tài)變量的選擇并不是唯一的。在初始時刻的值稱為初始狀態(tài)。3/14/20238.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程二、狀態(tài)方程和輸出方程在選定狀態(tài)變量的情況下，用狀態(tài)變量分析系統(tǒng)時，一般分兩步進(jìn)行：（1）第一步是根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)求出狀態(tài)變量；（2）第二步是用這些狀態(tài)變量來確定初始時刻以后的系統(tǒng)輸出。狀態(tài)變量是通過求解由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來得到，該一階微分方程組稱為狀態(tài)方程。狀態(tài)方程描述了狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量和激勵之間的關(guān)系。而描述輸出與狀態(tài)變量和激勵之間關(guān)系的一組代數(shù)方程稱為輸出方程。通常將狀態(tài)方程和輸出方程總稱為動態(tài)方程或系統(tǒng)方程。3/14/20238.1狀態(tài)變量與狀態(tài)方程寫成矩陣形式：狀態(tài)方程輸出方程其中A為n×n方陣，稱為系統(tǒng)矩陣，B為n×p矩陣，稱為控制矩陣，C為q×n矩陣，稱為輸出矩陣，D為q×p矩陣對離散系統(tǒng)，類似狀態(tài)方程輸出方程狀態(tài)變量分析的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取以及狀態(tài)方程的建立。3/14/20238.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立8.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立

一、由電路圖直接建立狀態(tài)方程首先選擇狀態(tài)變量。通常選電容電壓和電感電流為狀態(tài)變量。必須保證所選狀態(tài)變量為獨立的電容電壓和獨立的電感電流。四種非獨立的電路結(jié)構(gòu)3/14/20238.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立狀態(tài)方程的建立：根據(jù)電路列出各狀態(tài)變量的一階微分方程。由于為使方程中含有狀態(tài)變量uC的一階導(dǎo)數(shù)，可對接有該電容的獨立結(jié)點列寫KCL電流方程；為使方程中含有狀態(tài)變量iL的一階導(dǎo)數(shù)，可對含有該電感的獨立回路列寫KVL電壓方程。對列出的方程，只保留狀態(tài)變量和輸入激勵，設(shè)法消去其它中間的變量，經(jīng)整理即可給出標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)方程。對于輸出方程，通?？捎糜^察法由電路直接列出。3/14/20238.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立例：電路如圖，以電阻R1上的電壓uR1和電阻R2上的電流iR2為輸出，列寫電路的狀態(tài)方程和輸出方程。解選狀態(tài)變量x1(t)=iL(t),x2(t)=uC(t)

L

1(t)+R1x1(t)+x2(t)=uS1(t)aC2(t)+iR2(t)=x1(t)消去iR2(t),列右網(wǎng)孔KVL方程：R2iR2(t)+uS2(t)-x2(t)=0代入整理得輸出方程：uR1(t)=R1x1(t)3/14/20238.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立二、由輸入-輸出方程建立狀態(tài)方程

這里需要解決的問題是：已知系統(tǒng)的外部描述（輸入-輸出方程、系統(tǒng)函數(shù)、模擬框圖、信號流圖等）；如何寫出其狀態(tài)方程及輸出方程。具體方法：（1）由系統(tǒng)的輸入-輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)，首先畫出其信號流圖或框圖；（2）選一階子系統(tǒng)(積分器）的輸出作為狀態(tài)變量；（3）根據(jù)每個一階子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方程；（4）在系統(tǒng)的輸出端列輸出方程。3/14/20238.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立例1某系統(tǒng)的微分方程為y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+8f(t)試求該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。解由微分方程不難寫出其系統(tǒng)函數(shù)方法一：畫出直接形式的信號流圖設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、x2(t)x1x2由后一個積分器，有由前一個積分器，有系統(tǒng)輸出端，有y(t)=8x1+2x23/14/20238.2連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立方法三：畫出并聯(lián)形式的信號流圖f(t)y(t)設(shè)狀態(tài)變量x1(t)、x2(t)x1x2系統(tǒng)輸出端，有y(t)=6x1-4x2可見H(s)相同的系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇并不唯一。3/14/20238.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立8.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立

與連續(xù)系統(tǒng)類似，具體方法為：（1）由系統(tǒng)的輸入-輸出方程或系統(tǒng)函數(shù)，首先畫出其信號流圖或框圖；（2）選一階子系統(tǒng)(遲延器）的輸出作為狀態(tài)變量；（3）根據(jù)每個一階子系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系列狀態(tài)方程；（4）在系統(tǒng)的輸出端列輸出方程。3/14/20238.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立例1：某離散系統(tǒng)的差分方程為y(k)+2y(k–1)–y(k–2)=f(k–1)–f(k–2)列出其動態(tài)方程。解：不難寫出系統(tǒng)函數(shù)

畫信號流圖：設(shè)狀態(tài)變量x1(k)

，x2(k)

：x1x2x1(k+1)=x2(k)

：x2(k+1)x2(k+1)=x1(k)

–2x2(k)

+f(k)

：輸出方程y

(k)=–x1(k)

+x2(k)3/14/20238.3離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的建立3/14/20238.4連續(xù)狀態(tài)方程的求解8.4連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解狀態(tài)方程和輸出方程的一般形式為用拉普拉斯變換法求解狀態(tài)方程

sX(s)-x(0-)=AX(s)+BF(s)(sI-A)X(s)=x(0-)+BF(s)X(s)=(sI-A)-1x(0-)+(sI-A)-1BF(s)=Φ(s)x(0-)+Φ(s)BF(s)式中Φ(s)=(sI-A)-1常稱為預(yù)解矩陣。Y(s)=CX(s)+DF(s)Yzi(s)=CΦ(s)x(0-)Yzs(s)=[CΦ(s)B+D]F(s)H(s)=[CΦ(s)B+D]Φ(s)的極點就是H(s)的極點.即|sI-A|=0的根。=CΦ(s)x(0-)+[CΦ(s)B+D]F(s)3/14/20238.4連續(xù)狀態(tài)方程的求解例1描述LTI因果系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為解X(s)=Φ(s)[x(0-)+BF(s)]起始狀態(tài)x1(0-)=3，x2(0-)=2，輸入f(t)=δ(t)。求狀態(tài)變量和輸出。并判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。3/14/20238.5離散狀態(tài)方程的求解8.5離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解用Z變換法求解狀態(tài)方程

取單邊z變換:zX(z)-zx(0)=AX(z)+BF(z)Y(z)=CX(z)+DF(z)X(z)=(zI-A)-1zx(0)+(zI-A)-1BF(z)設(shè)Φ(z)=(zI-A)-1

z

X(z)=Φ(z)x(0)+z-1Φ(z)BF(z)Y(z)=CΦ(z)x(0)+[Cz-1Φ(z)B+D]F(z)yx(k)=Z-1[CΦ(z)x(0)]，yf(k)=Z

-1[(Cz-1Φ(z)B+D)F(z)]H(z)=[