彈塑性波與沖擊動力學第二章

彈塑性波與沖擊動力學第二章第一頁，共八十一頁，2022年，8月28日2-1物質坐標和空間坐標連續(xù)介質力學的基本出發(fā)點之一，是不從微觀上考慮物體的真實物質結構，而只是在宏觀上把物體看成是連續(xù)不斷的質點所組成的系統(tǒng)，即把物體看成是質點的連續(xù)集合。每個質點在空間上占有一定的空間位置，不同的質點在不同的時間占有不同的空間位置。

構形：一個物體中各質點在一定時刻的相互位置的配置。第二頁，共八十一頁，2022年，8月28日如何描述質點運動？定義坐標系（1）質點命名（為了區(qū)別不同的質點），如Xi(a,b,c)（2）描述質點所占據(jù)的空間位置xi。i=1，一維；i=3，三維

（3）時間坐標t第三頁，共八十一頁，2022年，8月28日

在連續(xù)介質力學中，往往采用兩種觀點和方法來研究介質的運動：

Lagrange方法

Euler方法。相應地，研究桿的運動時，要先選定坐標系統(tǒng)，一般對應有兩種坐標系：Lagrange坐標（即物質坐標，隨著介質質點流動來考察）

Euler坐標（即空間坐標，固定空間位置來考察）。

第四頁，共八十一頁，2022年，8月28日Lagrange描述（方法）：隨著介質中固定的質點來觀察物質的運動，所研究的是在給定的質點上各物理量隨時間的變化，以及這些量由一個質點轉到其他質點時的變化，這種描述介質運動的方法稱為Lagrange描述（方法），又叫隨體法。Euler描述（方法）：在固定的空間點上來觀察物質的運動，所研究的是在給定的空間點上以不同時間到達該點的不同質點的各物理量隨時間的變化，以及這些物理量從一個空間點轉換到另一空間點時的變化，這種描述介質運動的方法稱為Euler描述（方法），又叫當?shù)胤?。第五頁，共八十一頁?022年，8月28日Lagrange坐標：

為了識別運動中物體的一個質點，以一組數(shù)（a，b，c）作為其標記，不同的質點以不同的數(shù)來（a，b，c）表示，這組數(shù)（a，b，c）就稱為Lagrange坐標（或物質坐標、隨體坐標）。

Lagrange表示法：t=t0時位置來表示，Euler坐標：為了表示物體質點在不同時刻運動到空間的一個位置，以一組固定于空間的坐標表示該位置，這組坐標稱為Euler坐標（或空間坐標）第六頁，共八十一頁，2022年，8月28日兩種方法的舉例說明：城市公共交通部門采用兩種方法統(tǒng)計客運量：①在每一輛公交車上安排記錄員，記錄每輛車在不同時刻（站點）上下車人數(shù)（采用Lagrange法，即隨體法）；②在每一站點設記錄員，記錄不同時刻經(jīng)過該站點的車輛上下車人數(shù)，（采用Euler法，即當?shù)胤ǎ?。第七頁，共八十一頁?022年，8月28日以長桿中一維運動為例：

X質點命名（質點在參考時刻的空間位置坐標）：X質點任一時刻t在空間所占位置：x

質點X物理含義：質點在參考時刻t0時在參考空間坐標系中所占據(jù)的位置坐標。參考時刻可以取t0=0時刻，或其它適當?shù)臅r刻；參考空間坐標系可以與描述運動所用的空間坐標系一致，也可以不同，選取原則取決于研究問題的方便性。第八頁，共八十一頁，2022年，8月28日X表示法一：介質的運動可表示為質點X在不同的時間t占據(jù)不同的空間位置x

，即x是X和t的函數(shù)

(2-1-1)

如果固定X，上式給出了質點X如何隨時間運動；如果固定t，上式給出了某時刻各質點所占據(jù)的空間位置。一般來說，在給定時刻，一個質點只能占有一個空間位置，而一個空間位置也只能有一個質點。第九頁，共八十一頁，2022年，8月28日表示法二：反過來只要運動是連續(xù)單值的，（2-1-1）式可反演為

(2-1-2)即X是ｘ和t的函數(shù)。

（2-1-1）式和（2-1-2）式是描述一維長桿中介質運動的兩種形式，二者是可是互換的。X第十頁，共八十一頁，2022年，8月28日

在一維情況下，應用Lagrange方法，可將物理量Ψ表達為質點X和時間t的函數(shù)：Ψ

=F(X,t)。自變量X即為Lagrange坐標（物質坐標）。應用Euler方法，可將物理量Ψ表達為空間坐標x和時間t的函數(shù)：Ψ

=f(x,t)。自變量x即為Euler坐標（空間坐標）。顯然，對于同一物理量Ψ，有Ψ

=F(X,t)

=f(ｘ,t)(2-1-3)第十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日

描述同一物理量Ψ，既可以用物質坐標也可以用空間坐標來進行描述，二者還可以進行轉換。（1）物質坐標系中描述的物理量空間坐標系中描述的物理量由（2-1-2）、（2-1-3）式，有

(2-1-4)

（2）空間坐標系中描述的物理量物質坐標系中描述的物理量由（2-1-1）、（2-1-3）式=有(2-1-5)第十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日2-2時間微商與波速三種微商：空間微商（Euler微商）物質微商（Lagrange微商或隨體微商）隨波微商兩種波速：空間波速（Euler波速）物質波速（Lagrange波速）第十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日空間微商（Euler微商）：在給定空間位置x上，物理量Ψ對時間t的變化率，即

(2-2-1)物質微商（Lagrange微商或隨體微商）：隨著給定的質點X來觀察物理量Ψ對時間t的變化率，即

(2-2-2)第十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日對于（2-2-2）式應用復合函數(shù)求微商的連鎖法則，有

質點X空間位置對時間的物質微商，即質點X的運動速度(2-2-3)(2-2-4)第十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日物理量Ψ為質點速度時，(2-2-4)式變?yōu)橘|點加速度的表達式：

(2-2-5)(2-2-4)式中，等式右邊第一項通常稱為局部變化率，顯然在定常場中該項為零；第二項稱為遷移變化率，在均勻場中該項為零。與此相對應，(2-2-5)式中，等式右邊第一項通常稱為局部加速度，第二項稱為遷移加速度。第十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日物質波速（Lagrange波速）：在物質坐標中來觀察應力波的傳播，設在t時刻波陣面?zhèn)鞑サ劫|點X處，以表示波陣面在物質坐標中的傳播規(guī)律，則物質波速（Lagrange波速）可表示為：

(2-2-6)空間波速（Euler波速）：在空間坐標中來觀察應力波的傳播，設在t時刻波陣面?zhèn)鞑サ娇臻g點x處，以表示波陣面在空間坐標中的傳播規(guī)律，則空間波速（Euler波速）可表示為：

(2-2-7)

物質波速和空間波速都是對同一個應力波的傳播速度的描述，但由于選擇的坐標不同，其數(shù)值不一定相同，除非波陣面前方介質是靜止且無變形的。第十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日隨波微商：隨著波陣面來觀察物理量Ψ對時間t的變化率。根據(jù)坐標系的不同，有兩種表達式，即在空間坐標系中有:(2-2-8)在物質坐標系中有：

(2-2-9)(2-2-9)式中，取物理量Ψ為質點的空間位置x，該式轉變?yōu)椋?/p>

(2-2-10)第十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日

設初始時刻某質點X空間位置根據(jù)定義為X，隨后某時刻該質點到達空間位置x，則位移為u，顯然有，故

一維長桿中X與x的相互關系ε為工程應變。則(2-2-10)式可簡化為：(2-2-11)

可以看出，只有當初始質點速度和初始應變?yōu)榱銜r，空間波速和物質波速值相同。

第十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日

關于空間波速和物質波速的關系，由于通常是取變形（運動）前質點空間位置作為物質坐標，如果波陣面在物質坐標中的傳播速度為C，當考慮到物質坐標本身的變形（運動）時，則相對于波陣面前方質點的相對空間波速應是。這相當于流體力學中的局部聲速。再考慮到質點本身也以速度v在運動，則波陣面在空間坐標中的絕對空間波速顯然是（右傳波，如果是左傳波則為），這就是該式的物理意義。第二十頁，共八十一頁，2022年，8月28日2-3物質坐標描述的桿中縱波控制方程2-3-1基本假定

（1）平截面假定，即假定桿在變形時橫截面保持為平面，沿截面只有均布的軸向應力。按照這一假定，桿中各運動參量（位移、質點速度、應力等）都只是X和t的函數(shù)，應力波傳播的問題就簡化為一維問題了。但是，這一假定只有在長桿的橫向尺寸與應力波的波長相比很小時才近似成立。第二十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日

（2）忽略橫向慣性效應。即忽略桿中質點橫向運動的慣性效應，忽略桿中質點橫向膨脹或收縮對動能的貢獻。這一假定實際上與第一個假定密不可分。質點的橫向運動必然使得動能橫向耗散，減小X方向的動能，從而導致X方向應力波陣面的彎曲。如果忽略橫向慣性效應，則和都等于零，因而處于單向應力狀態(tài)，且因為無橫向能量耗散，應力波陣面不會彎曲，保持平面狀態(tài)。第二十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日

（3）應力只是應變的單值函數(shù)。對于應變率無關理論，材料的本構關系可寫成

（2-3-1）這一假定似乎只有在彈性變形范圍內(nèi)（低應變率）才適用或對應變率不敏感的彈塑性材料近似可用。但可以認為材料在某一應變率范圍內(nèi)近似具有唯一的動態(tài)應力應變關系，在形式上是應變率無關的，但與靜態(tài)應力應變關系不同，因為它在一定意義上已考慮了應變率的影響。應變率無關理論在工程應用中具有十分重要的應用價值。第二十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日2-3-2控制方程組位移連續(xù)方程或質量守恒方程——運動學條件；運動方程或動量守恒方程——動力學條件；能量守恒方程或材料本構關系（物性方程）。第二十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日

（1）位移連續(xù)方程考察一維等截面均勻桿中微元體的縱向運動。取桿變形前（設t0=0時）質點的空間位置作為物質坐標，桿軸為X軸，取一微元dX作為研究對象。桿的原始截面積為A0，原始密度為ρ0。在t=t1時刻微元的兩個截面分別移動到空間位置x和x+dx，則X截面發(fā)生的位移為。第二十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日根據(jù)位移連續(xù)條件，為連續(xù)函數(shù)，有：可得位移連續(xù)方程（或稱ε和v的相容方程）：

（2-3-2）第二十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日

（2）

動量守恒方程由圖所示，根據(jù)牛頓第二定律，作用在微元體兩個截面上的作用力之差應等于微元體質量與加速度的乘積，即引入工程應力，可得

（2-3-3）此即動量守恒方程（或稱σ和v的相容方程）。第二十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日

（3）

能量守恒方程或材料本構關系（物性方程）由于應力波傳播速度很高，在應力波通過微元體的時間內(nèi)，微元體還來不及和鄰近的微元體及周圍介質交換熱量，因而可視為絕熱過程，這一過程遵守能量守恒關系。（2-3-1）式給出的材料的本構關系式實際上是絕熱過程中得到的，故無需再另外列出能量守恒方程，由方程（2-3-1）~（2-3-3）可以組成關于變量σ、ε和v的封閉的控制方程組：

（2-3-4）第二十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日

（1）以ε和v為未知變量的控制方程組連續(xù)可微，對于連續(xù)波波速（2-3-5）則（2-3-6）代入（2-3-3）式可得

（2-3-7）上式與位移連續(xù)方程（2-3-2）式就共同組成了以ε和v為未知變量的控制方程組，即（2-3-8）第二十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日

（2）以σ和v為未知變量的控制方程組

由（2-3-6）式和（2-3-2）式可以得到

（2-3-9）

它與運動方程（2-3-3）式共同組成了以σ和v為未知變量的控制方程組，即（2-3-10）第三十頁，共八十一頁，2022年，8月28日

（3）以u為未知變量的二階偏微分方程由于ε和速度v都是位移u的一階微商，即，，代入（2-3-7）式，可得

（2-3-11）該方程通常稱為波動方程，描述了一維桿中應力縱波的傳播規(guī)律。第三十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日不同形式表示的一維應力縱波的控制方程：第三十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日

2-4特征線與特征線上的相容關系控制方程組波陣面參數(shù)σ、ε、v和u等

隨X、t的變化規(guī)律。但是由這些偏微分方程組獲得解析解并不容易。對于一維波傳播的基本方程組，除了彈性波是線性方程外，一般都是非線性的。因此大多數(shù)實際問題，往往只能用一些近似的數(shù)值方法求解。

特征線方法是解決波傳播問題最為重要的方法之一，具有重要的應用價值，因為它是求解雙典型線型偏微分方程的主要解法之一，可以把解兩個自變量的偏微分方程問題轉化為解特征線上的常微分方程問題。

第三十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日

按照偏微分方程理論，對任意一個二階偏微方程：

系數(shù)A、B、C、D、E和G，都僅依賴于X和t，與u無關，則方程為二階線性偏微分方程；還與u有關時，則方程為非線性的。

G=0時，為齊次方程。第三十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日

按照方程解的特性，可以根據(jù)判別式△=B2-4AC的數(shù)值將其劃分為三種類型：（1）△<0時，稱為橢園型方程，其自變量（X，t）平面上沒有實特征線。解這類方程，其因變量及其方向導數(shù)在解區(qū)的整個邊界上都必須給定才行。（2）△=0時，稱為拋物線型方程，其自變量平面上只有一條實特征線。（3）△>0時，稱為雙曲線型方程，其自變量平面上有兩條實特征線。前面的波動方程（2-3-11）式就屬于雙曲線型方程。第三十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日

何謂特征線？可用不同而又相互等價的方法來定義。物理意義上：特征線是在（X-t）平面上擾動波陣面?zhèn)鞑サ能壽E。圖中曲線上各點的斜率就是擾動波的傳播速度，式中正負號分別對應于向右和向左的傳播速度。

第三十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日

在數(shù)學意義上：（1）方向導數(shù)法（Curant和Friedrichs提出）（2）不定線方法

方向導數(shù)法：如果能把某二階偏微分方程或等價的一階偏微分方程組的線性組合化為只包含自變量平面上某一曲線Γ的方向導數(shù)的形式時，則曲線Γ即為該方程（或方程組）的特征線，而該曲線各點的斜率dX/dt稱為該特征線的特征方向。

不定線法：如果對于自變量平面（X，t）上某曲線Γ，由沿此曲線Γ上給定的初值連同偏微分方程一起不足以確定全部偏導數(shù)的話，則此曲線Γ稱為特征線。第三十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日

用方向導數(shù)法和不定線法來定義特征線，分別從不同角度反映了特征線的某種性質，采用不同的方法所得到的特征線是相同的。控制方程特征線方程特征線上相容關系式特征線解法方向導數(shù)法不定線法第三十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日方向導數(shù)含義：

在（X，t）平面內(nèi)有一曲線Γ，函數(shù)f(X,t)在S方向上的方向導數(shù)定義為：

它可以給出在與曲線Γ相切方向上對S的變化率。其中S的方向即為：

第三十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日例1：已知一維縱波的波動方程，采用方向導數(shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關系。

例2：已知一維縱波的控制方程，采用方向導數(shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關系。第四十頁，共八十一頁，2022年，8月28日例3：已知一維縱波的控制方程，采用方向導數(shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關系。例4：已知一維縱波的控制方程，采用不定線法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關系。第四十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日例1：已知一維縱波的波動方程，采用方向導數(shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關系。

(1)解：設在自變量平面（X，t）上有某曲線Γ（X，t），對于u的一階偏導數(shù)v、ε，沿此曲線方向的微分分別為：

(2)(3)第四十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日

dX和dt是曲線Γ上微段dS在兩軸上的分量，即是曲線Γ在（X，t）點上的斜率。如果曲線Γ是二階偏微分方程(1)式的特征線，則該式能化為只包含沿此曲線的方向微分。將(2)和(3)式進行線性組合就能實現(xiàn)，即(2)+λ*（3）有

(4)此時，線性組合式應與(1)式等價，即(1)、(4)兩方程應等價，有：第四十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日可得，則

上式即為所求特征線微分方程，對其積分可得相應的特征線方程。由(4)式，可得只包含沿特征線方向微分的常微分方程：

第四十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日例2：已知一維縱波的控制方程，采用方向導數(shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關系。

解：對于上式中的一階偏微分方程組，根據(jù)特征線方向導數(shù)法的定義，（1）式乘以λ加上（2）式進行線性組合：兩函數(shù)v、ε所對應的特征方向應當相同，即有：第四十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日（特征線微分方程）（3）式可轉變?yōu)椋杭从校簭亩傻茫海ㄌ卣骶€上的相容關系）第四十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日例3：已知一維縱波的控制方程，采用方向導數(shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關系。解過程略，方法同前。結果：特征線的微分方程仍為，特征線上的相容關系的常微分表達式為：實際上可由(2-3-6)式和(2-4-16)直接可以得到上式。第四十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日例4：已知一維縱波的控制方程，采用不定線法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關系。解：將一維應力縱波以ε和v為未知變量的控制方程組與參量v和ε構成方程組如下第四十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日此方程可看成解四個偏導數(shù)、、、的代數(shù)方程組，可用矩陣的形式表示為：第四十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日若曲線為特征線,上述方程的解不確定,則應有即第五十頁，共八十一頁，2022年，8月28日同樣可解得：第五十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日

對于一維應力縱波，特征線微分方程和特征線上的相容關系分別為：第五十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日2-5空間坐標描述的控制方程與特征線比較第五十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日比較比較比較第五十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日

利用特征線解法，可以得到空間坐標描述的一維應力縱波的特征線微分方程和特征線上的相容關系式：第五十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日

物質坐標描述與空間坐標描述的控制方程可以通過坐標變換得到，變換公式為：

控制方程的形式雖然在兩種坐標中不同，但問題的物理實質不會因為坐標系的不同而不同。第五十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日

關于測試元件測試的波速關系：當測試元件固定在空間中，測得的是Euler波速；當測試元件固定在試件上，測得的是Lagrange波速；如果波陣面前方的質點速度和應變皆為0，則測得的兩種波速值相等。第五十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日思考題：1、什么是特征線？什么類型的問題可用特征線法求解？2、特征線的物理含義是什么？3、為什么用特征線法求得的解就是原方程的解？第五十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日作業(yè)：用方向導數(shù)法求求下列偏微分方程組的特征方程和特征相容關系：（1）一維應力縱波（空間坐標系）（2）一維等熵流第五十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日（3）一維桿運動（4）球面等熵流（5）二維定常

等熵流第六十頁，共八十一頁，2022年，8月28日2-6波陣面上的守恒方程運動學條件——質量守恒方程動力學條件——動量守恒方程能量守恒方程第六十一頁，共八十一頁，2022年，8月28日奇異面：具有導數(shù)間斷的面，在數(shù)學上稱為奇異面。

強間斷：如果位移函數(shù)u的一階導數(shù)間斷，即質點速度和應變在波陣面上有突躍（波陣面前后參量的差值為一有限值），稱為強間斷或一階奇異面。如遞增硬化材料中的塑性波由于高幅值擾動的波速大于低幅值擾動的波速所形成的應力波的波剖面是間斷的，常稱為沖擊波。2-6-1強間斷和弱間斷第六十二頁，共八十一頁，2022年，8月28日

弱間斷：如果函數(shù)u及其一階導數(shù)皆連續(xù)（波陣面前后v、ε參量的差值為無窮小值），但其二階導數(shù)如加速度等發(fā)生間斷，稱為二階奇異面，依此類推，還可以有更高階的奇異面，這種二階或更高階的奇異面都稱為弱間斷。二階奇異面所對應的應力波通常稱為加速度波。弱間斷所對應的應力波其波剖面是連續(xù)的，稱為連續(xù)波。第六十三頁，共八十一頁，2022年，8月28日第六十四頁，共八十一頁，2022年，8月28日令，外加載荷保持恒值，則弱間斷邊界條件便轉換成強間斷邊界條件。第六十五頁，共八十一頁，2022年，8月28日2-6-2質量守恒方程

ψ表示物理參量,[ψ]表示該參量的在波陣面前后的變化值。

設有平面波陣面以波速D向右傳播，波陣面上的任一物理量，設波陣面之前和之后的ψ值分別表示為和，則波陣面前后參量的變化值表示為。

第六十六頁，共八十一頁，2022年，8月28日

對于一階奇異面（強間斷）有，則上式變?yōu)镸axwell定理考察物理量對時間的變化率，即隨波微商有：

對和分別取隨波微商并相減，可得

第六十七頁，共八十一頁，2022年，8月28日

對于二階奇異面，用ψ的一階偏導數(shù)和代替式中的ψ，有

ψ及其一階導數(shù)連續(xù)，二階導數(shù)間斷，有，，從而有：

第六十八頁，共八十一頁，2022年，8月28日

上三式分別對應于ψ本身、ψ的一階導數(shù)和二階導數(shù)發(fā)生間斷情況下波陣面上運動學相容條件的通式。對于左行波，用-D替代D即可。Maxwell定理第六十九頁，共八十一頁，2022年，8月28日通式中ψ用位移u來代替，顯然有對于沖擊波波陣面：

對于加速波波陣面：

上兩式分別為沖擊波和加速度波波陣面的運動學相容條件——質量守恒條件。第七十頁，共八十一頁，2022年，8月28日2-6-3動量守恒方程上兩式