人教版數(shù)學八年級上冊等腰三角形性質及判定提高知識講解

PAGE等腰三角形性質及判定（提高）【學習目標】1.掌握等腰三角形的性質，并能利用它證明兩個角相等、兩條線段相等以及兩條直線垂直．2.掌握等腰三角形的判定定理．3.熟練運用等腰三角形的判定定理與性質定理進行推理和計算．【要點梳理】要點一、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．要點詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.要點二、等腰三角形的性質1.等腰三角形的性質性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．2.等腰三角形的性質的作用性質1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．要點三、等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據(jù).等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理.【典型例題】類型一、等腰三角形中的分類討論 1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為()．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°【答案】D；【解析】由等腰三角形的性質與三角形的內(nèi)角和定理可知，等腰三角形的頂角可以是銳角、直角、鈍角，然而題目沒說是什么三角形，所以分類討論，畫出圖形再作答．(1)頂角為銳角如圖①，按題意頂角的度數(shù)為60°；(2)頂角為直角，一腰上的高是另一腰，夾角為0°不符合題意；(3)頂角為鈍角如圖②，則頂角度數(shù)為120°，故此題應選D．【總結升華】這是等腰三角形按頂角分類問題，對于等腰三角形按頂角分：等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形，故解此題按分類畫出相應的圖形再作答.舉一反三：【變式】（2020?杭州校級二模）等腰三角形有一個外角是100°，這個等腰三角形的底角是．【答案】50°或80°．解：①若100°的外角是此等腰三角形的頂角的鄰角，則此頂角為：180°﹣100°=80°，則其底角為：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的鄰角，則此底角為：180°﹣100°=80°；故這個等腰三角形的底角為：50°或80°．故答案為：50°或80°．類型二、等腰三角形的操作題2、根據(jù)給出的下列兩種情況，請用直尺和圓規(guī)找到一條直線，把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形（不寫做法，但需保留作圖痕跡，在圖中標注分割后的角度）；并根據(jù)每種情況分別猜想：∠A與∠B有怎樣的數(shù)量關系時才能完成以上作圖？（1）如圖①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：（2）如圖②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：【思路點撥】在等腰三角形中，“等邊對等角”與“等角對等邊”，本題應從角度入手進行考慮.【答案與解析】（1）作圖：猜想：∠A＋∠B＝90°，（2）作圖：猜想：∠B＝3∠A.【總結升華】對圖形進行分割是近年來出現(xiàn)的一類新題型，主要考查對基礎知識的掌握情況以及動手實踐能力，本類題目的答案有時不唯一.舉一反三：【變式】直角三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點A落在直角邊BC上，記落點為D，設折痕與AB、AC邊分別交于點E、F，探究：如果折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形，那么紙片中的∠B的度數(shù)是多少？寫出你的計算過程，并畫出符合條件的折疊后的圖形．【答案】解：若△CDF是等腰三角形，則一定是等腰直角三角形.設∠B為度∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－①當BD＝BE時∠3＝，45°＋90°－＋＝180°，＝30°.②經(jīng)計算ED＝EB不成立.③當DE＝DB時∠3＝180°－245°＋90°－＋180°－2＝180°，＝45°.綜上所述，∠B＝30°或45°.類型三、等腰三角形性質判定綜合應用3、（2020?應城市二模）如圖，點D、E在△ABC的BC邊上，AB=AC，AD=AE．求證：BD=CE．【思路點撥】要證明線段相等，只要過點A作BC的垂線，利用三線合一得到P為DE及BC的中點，線段相減即可得證．【答案與解析】證明：如圖，過點A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC；∴AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．【總結升華】本題考查了等腰三角形的性質；做題時，兩次用到三線合一的性質，由等量減去等量得到差相等是解答本題的關鍵.舉一反三：【變式】如圖，已知AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．【答案】證明：延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG.ABCDABCDEFG4、如圖，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分線AD交BC于點D，過點B作BE⊥AD于點E.求證：BE＝AD.【答案與解析】證明：如圖，延長BE、AC交于點F.∵∠1＝∠2，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°，∴△AEB≌△AEF（ASA）.∴BE＝FE＝BF.∵∠3＝90°－∠F＝∠2，BC＝AC,∴△BCF≌△ACD（ASA）∴BF＝AD，BE＝AD.【總結升華】在幾何解題的過程中，當遇到角分線或線段垂線時?？紤]使用翻折變換，可保留原有圖形的性質，且使原來分散的條件相對集中，以利于問題