人教版數(shù)學八年級上冊等腰三角形性質及判定提高知識講解_第1頁
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PAGE等腰三角形性質及判定(提高)【學習目標】1.掌握等腰三角形的性質,并能利用它證明兩個角相等、兩條線段相等以及兩條直線垂直.2.掌握等腰三角形的判定定理.3.熟練運用等腰三角形的判定定理與性質定理進行推理和計算.【要點梳理】要點一、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的兩條邊叫做腰,另一邊叫做底,兩腰所夾的角叫做頂角,底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,則它叫等腰三角形,其中AB、AC為腰,BC為底邊,∠A是頂角,∠B、∠C是底角.要點詮釋:等腰直角三角形的兩個底角相等,且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角,不能為鈍角(或直角),但頂角可為鈍角(或直角).∠A=180°-2∠B,∠B=∠C=.要點二、等腰三角形的性質1.等腰三角形的性質性質1:等腰三角形的兩個底角相等(簡稱“等邊對等角”).性質2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合(簡稱“三線合一”).2.等腰三角形的性質的作用性質1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù).性質2用來證明線段相等,角相等,垂直關系等.3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高(頂角平分線或底邊上的中線)所在直線是它的對稱軸,通常情況只有一條對稱軸.要點三、等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱“等角對等邊”).要點詮釋:等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理,是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據(jù).等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理.【典型例題】類型一、等腰三角形中的分類討論 1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°,則頂角的度數(shù)為().A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°【答案】D;【解析】由等腰三角形的性質與三角形的內(nèi)角和定理可知,等腰三角形的頂角可以是銳角、直角、鈍角,然而題目沒說是什么三角形,所以分類討論,畫出圖形再作答.(1)頂角為銳角如圖①,按題意頂角的度數(shù)為60°;(2)頂角為直角,一腰上的高是另一腰,夾角為0°不符合題意;(3)頂角為鈍角如圖②,則頂角度數(shù)為120°,故此題應選D.【總結升華】這是等腰三角形按頂角分類問題,對于等腰三角形按頂角分:等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形,故解此題按分類畫出相應的圖形再作答.舉一反三:【變式】(2020?杭州校級二模)等腰三角形有一個外角是100°,這個等腰三角形的底角是.【答案】50°或80°.解:①若100°的外角是此等腰三角形的頂角的鄰角,則此頂角為:180°﹣100°=80°,則其底角為:(180°﹣80°)÷2=50°;②若100°的外角是此等腰三角形的底角的鄰角,則此底角為:180°﹣100°=80°;故這個等腰三角形的底角為:50°或80°.故答案為:50°或80°.類型二、等腰三角形的操作題2、根據(jù)給出的下列兩種情況,請用直尺和圓規(guī)找到一條直線,把△ABC恰好分割成兩個等腰三角形(不寫做法,但需保留作圖痕跡,在圖中標注分割后的角度);并根據(jù)每種情況分別猜想:∠A與∠B有怎樣的數(shù)量關系時才能完成以上作圖?(1)如圖①△ABC中,∠C=90°,∠A=24°;猜想:(2)如圖②△ABC中,∠C=84°,∠A=24°;猜想:【思路點撥】在等腰三角形中,“等邊對等角”與“等角對等邊”,本題應從角度入手進行考慮.【答案與解析】(1)作圖:猜想:∠A+∠B=90°,(2)作圖:猜想:∠B=3∠A.【總結升華】對圖形進行分割是近年來出現(xiàn)的一類新題型,主要考查對基礎知識的掌握情況以及動手實踐能力,本類題目的答案有時不唯一.舉一反三:【變式】直角三角形紙片ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC,如圖,將紙片沿某條直線折疊,使點A落在直角邊BC上,記落點為D,設折痕與AB、AC邊分別交于點E、F,探究:如果折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形,那么紙片中的∠B的度數(shù)是多少?寫出你的計算過程,并畫出符合條件的折疊后的圖形.【答案】解:若△CDF是等腰三角形,則一定是等腰直角三角形.設∠B為度∠1=45°,∠2=∠A=90°-①當BD=BE時∠3=,45°+90°-+=180°,=30°.②經(jīng)計算ED=EB不成立.③當DE=DB時∠3=180°-245°+90°-+180°-2=180°,=45°.綜上所述,∠B=30°或45°.類型三、等腰三角形性質判定綜合應用3、(2020?應城市二模)如圖,點D、E在△ABC的BC邊上,AB=AC,AD=AE.求證:BD=CE.【思路點撥】要證明線段相等,只要過點A作BC的垂線,利用三線合一得到P為DE及BC的中點,線段相減即可得證.【答案與解析】證明:如圖,過點A作AP⊥BC于P.∵AB=AC,∴BP=PC;∴AD=AE,∴DP=PE,∴BP﹣DP=PC﹣PE,∴BD=CE.【總結升華】本題考查了等腰三角形的性質;做題時,兩次用到三線合一的性質,由等量減去等量得到差相等是解答本題的關鍵.舉一反三:【變式】如圖,已知AD是△ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證:AC=BF.【答案】證明:延長AD至點G,使DG=AD,連接BG.ABCDABCDEFG4、如圖,AC=BC,∠ACB=90°,∠A的平分線AD交BC于點D,過點B作BE⊥AD于點E.求證:BE=AD.【答案與解析】證明:如圖,延長BE、AC交于點F.∵∠1=∠2,AE=AE,∠AEB=∠AEF=90°,∴△AEB≌△AEF(ASA).∴BE=FE=BF.∵∠3=90°-∠F=∠2,BC=AC,∴△BCF≌△ACD(ASA)∴BF=AD,BE=AD.【總結升華】在幾何解題的過程中,當遇到角分線或線段垂線時??紤]使用翻折變換,可保留原有圖形的性質,且使原來分散的條件相對集中,以利于問題

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