2023年江蘇省高等數(shù)學(xué)競賽本科一級試題與評分標(biāo)準(zhǔn)

2023本一試題解答與評分標(biāo)準(zhǔn)一．填空題（每小題4分，共20分）(1)設(shè)則.(2).(3).(4)已知函數(shù)可微，函數(shù)由確定，滿足則.(5)設(shè)是區(qū)域的邊界曲線，取逆時針方向,則.一.答案:(1)(2)(3)(4)(5)二.解下列兩題（每小題5分，共10分）(1)求極限(2)求極限解(1)記因為（1分）所以（2分）因為應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則得（2分）(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)得（2分）（1分）因為應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則得（2分）三.（10分）已知函數(shù)在處可導(dǎo),數(shù)列滿足:且試求解由在處可導(dǎo)得(2分)(2分)應(yīng)用極限的性質(zhì)得(1分)(1分)代入原式得(2分)(2分)四.(10分)已知試判別:(1)在區(qū)間上是否連續(xù)?若有間斷點,判斷其類型;(2)在區(qū)間上是否存在原函數(shù)?若存在,寫出一個原函數(shù);若不存在,寫出理由;(3)在區(qū)間上是否可積?若可積,求出若不可積,寫出理由.解(1)在區(qū)間上不連續(xù).(1分)由于不存在,所以不存在,在處不連續(xù),是第二類振蕩型間斷點.(2分)(2)在區(qū)間上存在原函數(shù).(1分)在區(qū)間上的一個原函數(shù)為(上式2分,下式1分)(3)由于是在上的唯一間斷點，在上有界,所以在區(qū)間上可積.(1分)下面用2種方法計算定積分:方法1(2分)方法2(2分)五.(14分)已知曲面與平面的交線是橢圓,在平面上的投影也是橢圓,(1)試求橢圓的四個頂點的坐標(biāo)(位于第象限,);(2)判斷橢圓的四個頂點在平面上的投影是否是,寫出理由.解(1)橢圓在平面上的投影為(2分)因為關(guān)于原點中心對稱,所以橢圓的中心是為了求橢圓的四個頂點的坐標(biāo),只要求橢圓上到坐標(biāo)原點的最大距離與最小距離的點.取拉格朗日函數(shù)(1分)由的1,2式消去得與第3式聯(lián)立解得(2分)當(dāng)時解得可疑的條件極值點當(dāng)時解得可疑的條件極值點由于橢圓的四個頂點存在,則上述的坐標(biāo)即為所求四個頂點的坐標(biāo).(2分)(2)解法1橢圓的四個頂點在平面上的投影不是(1分)(反證)假設(shè)橢圓的四個頂點在平面上的投影是,則的坐標(biāo)為(2分)由于橢圓的中心是所以橢圓的短半軸長半軸由此得橢圓所圍圖形的面積為(2分)這是不對的.因為所以橢圓的長半軸短半軸于是橢圓所圍圖形的面積為(1分)由于平面的法向量的方向余弦中所以橢圓所圍圖形的面積應(yīng)為導(dǎo)出矛盾.(1分)解法2橢圓的四個頂點在平面上的投影不是(1分)(反證)假設(shè)橢圓的四個頂點在平面上的投影是,則其中的坐標(biāo)為(1分)因為關(guān)于原點中心對稱,所以橢圓的中心是為了求橢圓的四個頂點滿足的方程,只要求橢圓上到坐標(biāo)原點的最大距離與最小距離的點.令(2分)由方程組中（1），（2），（3）式聯(lián)立消去，得(2分)將的坐標(biāo)代入得即的坐標(biāo)不滿足方程組，所以不是橢圓的頂點。導(dǎo)出矛盾。(1分)解法3應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求橢圓上四個頂點的坐標(biāo)(題目沒有這個要求，如果有學(xué)生用此方法求解,時間上可能得不賞失,而且往往解不到底，難得全分).因為關(guān)于原點中心對稱,所以橢圓的中心是為了求橢圓的四個頂點的坐標(biāo),只要求橢圓上到坐標(biāo)原點的最大距離與最小距離的點.令(2分)由方程組中（1），（2），（3）式聯(lián)立消去，得(2分)將此式與（4），（5）式聯(lián)立并消去得令代入此式得解得(1分)當(dāng)時，可解得由此可得兩個可疑的條件極值點(1分)當(dāng)時，可解得由此可得兩個可疑的條件極值點由于橢圓的四個頂點存在,則上述的坐標(biāo)即為所求四個頂點的坐標(biāo).在平面上的投影顯然不是(1分)注上述解法3中若將改為則得下列等價結(jié)論：解得當(dāng)時，可解得由此可得兩個可疑的條件極值點當(dāng)時，可解得由此可得兩個可疑的條件極值點的坐標(biāo)即為所求四個頂點的坐標(biāo).六.（12分）設(shè)取上側(cè),試求曲面積分解方法1設(shè)取下側(cè),原式(2分)記(2分)記與所圍的區(qū)域為應(yīng)用高斯公式得原式(2分)(此積分下面用2種方法求)(法1)(3分)令(3分)(法2)(2分)(2分)令(2分)方法2采用統(tǒng)一投影法,由于(2分)所以原式(2分)(2分)(2分)(2分)(2分)七.（12分）已知二次錐面與平面的交線是一條直線,(1)試求常數(shù)的值,并求直線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)平面通過直線,且與球面相切,試求平面的方程.解(1)二次錐面與平面相交有3種可能:一條直線或兩條直線或一點.令得相交為一條直線的充要條件是上式有唯一解,（2分）而上式有唯一解的充要條件是所以時是一條直線.（2分）時由解得所以直線通過點因直線又通過原點取直線的方向為則直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2分）(2)設(shè)平面的方程為其法向量為因故（1分）球面的球心為,半徑為為1,平面與球面相切時球心到平面的距離為1,所以有（2分）取由解得因此所求平面的方程為或（3分）八.（12分）已知函數(shù)在區(qū)間上關(guān)于的冪級數(shù)展式為(1)試求;(2)證明級數(shù)收斂,并求該級數(shù)的和.