數(shù)學(xué)歸納法高二數(shù)學(xué)組修改后11

數(shù)學(xué)歸納法(一)勤行學(xué)區(qū)高二數(shù)學(xué)組一、教學(xué)目標(biāo)：1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，理解數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟。2．掌握數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的方法。3．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。二、教學(xué)重點(diǎn)：掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及證明問(wèn)題的方法。難點(diǎn)：能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。從前，有個(gè)小孩叫萬(wàn)百千，他開始上學(xué)識(shí)字。第一天先生教他個(gè)“一”字。第二天先生又教了個(gè)“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并預(yù)先在紙上劃了三橫。果然這天教了個(gè)“三”字。于是他得了一個(gè)結(jié)論：“四”一定是四橫，“五”一定是五橫，以此類推，…從此，他不再去上學(xué)，家長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)他為何不去上學(xué)，他自豪地說(shuō)：“我都會(huì)了”。家長(zhǎng)要他寫出自己的名字，“萬(wàn)百千”寫名字結(jié)果可想而知。”

一、設(shè)置情景，導(dǎo)學(xué)探究：情境1.萬(wàn)百千的笑話費(fèi)爾馬(1601.8—1665.1)，法國(guó)數(shù)學(xué)家。

情境2費(fèi)馬猜想三角形的內(nèi)角和為180°，四邊形的內(nèi)角和為2?180°，五邊形的內(nèi)角和3?180°，于是有：凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)?180°。情境3

思考：

得出以上三個(gè)結(jié)論所用的方法有什么共同點(diǎn)？得到的結(jié)論是否正確？（2）不完全歸納法考察部分對(duì)象，得到一般結(jié)論的推理方法

（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成猜想盒子中5個(gè)小球，如何證明他們是黃色的？情境4（1）完全歸納法：考察全體對(duì)象，得到一般結(jié)論的推理方法（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對(duì)，實(shí)施較難）歸納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法解：猜想：

如何通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立？證明

對(duì)于數(shù)列｛｝，已知，求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜想？提出問(wèn)題思考：在多米諾骨牌游戲中，要讓這些骨牌全部倒下，必須具備哪些條件呢？實(shí)驗(yàn)演示，探求新知多米諾骨牌課件演示

能使多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？（1）第一塊骨牌倒下。（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。條件（1）和（2）作用是什么？條件（1）是基礎(chǔ)，條件（2）是一種遞推關(guān)系。多米諾骨牌游戲的原理

這個(gè)猜想的證明方法（1）第一塊骨牌倒下。（2）任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊倒下，則必須保證下一塊要相繼倒下。根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當(dāng)n=1時(shí)猜想成立。（2）若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即。根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立。知識(shí)遷移，合作討論

對(duì)于由不完全歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)自然數(shù)的數(shù)學(xué)命題我們常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性：

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立，（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時(shí)命題成立證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法親臨過(guò)程形成概念例1

用數(shù)學(xué)歸納法證明

證明（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式成立．這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．由（1）和（2），可知等式對(duì)任何正整數(shù)n都成立．（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)那么當(dāng)n=k+1時(shí)，知識(shí)應(yīng)用鞏固深化如果是等差數(shù)列，已知首項(xiàng)為，公差為，那么對(duì)一切都成立．證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式是成立的．（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，就是那么當(dāng)n=k+1時(shí)，這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立由（1）和（2）可知，等式對(duì)任何都成立．練習(xí)用數(shù)學(xué)歸納法證明：遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法步驟，用框圖表示為：驗(yàn)證n=n0時(shí)命題成立。若n=k(k≥n0)

時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。命題對(duì)從n0開始的所有的正整數(shù)n都成立。歸納奠基歸納遞推

注：兩個(gè)步驟,一個(gè)結(jié)論,缺一不可回顧總結(jié)反思提高勇攀高峰數(shù)學(xué)思想：遞推思想、類比思想、歸納思想

數(shù)學(xué)方法：數(shù)學(xué)歸納法——證明與正整數(shù)有關(guān)的命題數(shù)學(xué)知識(shí)：數(shù)學(xué)歸納法要點(diǎn)：兩個(gè)步驟一結(jié)論第二步中證明n=k+1命題成立是全局的主體，主要注意兩個(gè)“湊”：一是“湊”n=k時(shí)的形式（這樣才好利用歸納假設(shè)），二是“湊”目標(biāo)式。注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。1、閱讀作業(yè)：通讀教材2、書面作業(yè)