正方形的判定

第十八章平行四邊形18.2.3正方形第2課時正方形的判定3.

經(jīng)歷探究正方形判定條件的過程，發(fā)展主動探索、研究的習慣.學習目標1.理解并掌握正方形的判定方法;（重點）2.會運用正方形的判定進行證明和計算.（難點）問題：什么是正方形？正方形有哪些性質(zhì)？ABCD正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形.正方形性質(zhì)：①四個角都是直角;

②四條邊都相等; ③對角線相等且互相垂直平分.O問題發(fā)現(xiàn)感受新知正方形的判定活動1：準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，得到一個四邊形.正方形合作探究獲取新知問題1：折疊后得到的特殊四邊形是什么四邊形？為什么？活動2：把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.問題2：經(jīng)過變化后得到特殊四邊形是什么四邊形？正方形正方形正方形+矩形條件菱形條件一組鄰邊相等合作探究獲取新知

判定的兩條途徑

正方形先判定矩形(2)對角線相等對角線垂直一個直角+先判定菱形(1)例1在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?MN證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個角是直角即可.實戰(zhàn)演練運用新知在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN

∠A=∠B=∠C=∠D

AN=BE=CF=DM

∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM

∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF

∴四邊形EFMN是菱形，∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°.

∴四邊形EFMN是正方形.證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°∴四邊形ADFC是矩形.過點D作DG⊥AB，垂足為G∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB∴DE=DG同理：DG=DF∴ED=DF∴四邊形ADFC是正方形.例2如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG實戰(zhàn)演練運用新知例3如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,BACBOEHGF實戰(zhàn)演練運用新知∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO

,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.做一做：順次連接任意四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形、正方形各邊中點能得到怎樣的特殊平行四邊形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四邊形平行四邊形菱形正方形EFGHEFGHEFGH合作探究獲取新知1.下列命題正確的是（）A.四個角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對角線相等的平行四邊形是正方形D.對角線互相垂直的矩形是正方形D鞏固新知深化理解A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC2.在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是正方形的是（）C3.以△ABC的邊AB、AC為邊的等邊三角形ABD和等邊三角形

ACE，四邊形ADFE是平行四邊形.（1）當∠BAC等于

時，四邊形ADFE是矩形；（2）當∠BAC等于

時，平行四邊形ADFE不存在；BCAEFD150°60°4.如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC

,對角線BD平分ABC

,

P是BD上一點,過點P作PMAD

,

PNCD

,垂足分別為M、N.(1)求證：ADB=CDB;(2)若ADC=90,求證：四邊形MPND是正方形.CABDPMN證明：（1）∵AB=BC,BD平分∠ABC.∴∠1=∠2.∴△ABD≌△CBD(AAS).∴∠ADB=∠CDB.12（2）∵∠ADC=90°;

又∵PM⊥AD,PN⊥CD;∴∠PMD=∠PND=90°.∴四邊形NPMD是矩形.∵∠ADB=∠CDB;∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°.

∴DM=PM,DN=PN.∴四邊形NPMD是矩形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）.鞏固新知深化理解通過今天的學習,能說說你的收獲和