《三角函數(shù)的應(yīng)用》示范公開課教案【九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)北師大版】

1/9《三角函數(shù)的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步鞏固解直角三角形有關(guān)知識(shí)，了解仰角、俯角的概念.2.能運(yùn)用解直角三角形知識(shí)解決與仰角、俯角和方位角有關(guān)的實(shí)際問題.3.經(jīng)歷應(yīng)用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的過程，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)在解決問題過程中的作用.4.發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問題的能力.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：能運(yùn)用解直角三角形知識(shí)解決與仰角、俯角和方位角有關(guān)的實(shí)際問題.難點(diǎn)：體會(huì)三角函數(shù)在解決問題過程中的作用.三、教學(xué)用具多媒體等.四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一知識(shí)回顧【知識(shí)回顧】教師活動(dòng)：提出問題，學(xué)生思考并獨(dú)立解決，回答問題.問題1：如圖，在Rt△ABC中，有三條邊a，b，c和三個(gè)角∠A，∠B，∠C.除∠C=90°外，其余五個(gè)元素之間有哪些等量關(guān)系？預(yù)設(shè)：(1)銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°；(2)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=c2；(3)邊與角之間的關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=，tanB=.除直角外，已知兩個(gè)元素(至少一邊)，即可求出其他元素.問題2：貨輪在海上航行時(shí)，會(huì)常用到方位角，那大家記得什么是方位角嗎？預(yù)設(shè)：指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于90°的角，叫做方位角.注意：方位角是以南北為起始線，一般表述為南(北)偏東(西)多少度.如圖：點(diǎn)A在O的北偏東30°點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西45°(西南方向).思考并回答回顧舊知，既是鞏固以前學(xué)習(xí)的知識(shí)，也是為新課學(xué)習(xí)做鋪墊.環(huán)節(jié)二典例探究教師活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過程.【思考】如圖，海中有一小島A，它的周圍有10海里暗礁.今貨船由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東航行20海里后到達(dá)該島的南偏西25°的C處.之后，貨船繼續(xù)向東航行.你認(rèn)為該貨船在繼續(xù)向東航行的途中有觸礁的危險(xiǎn)嗎？你是怎樣想的？與同伴交流.分析：要判斷貨船是否會(huì)觸礁，只需考慮小島A到BC的最短距離是否比10大，即當(dāng)AD＞10時(shí)，則沒有觸礁危險(xiǎn)；當(dāng)AD≤10時(shí)，則有觸礁危險(xiǎn).解：依題意知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC=20nmile，如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC，設(shè)AD=xnmile在Rt△ABD中，BD=AD?tan∠BAD=x?tan55°在Rt△ACD中，CD=AD?tan∠CAD=x?tan25°∴x?tan55°?x?tan25°=20解得x≈20.79nmile＞10nmile，所以不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).【想一想】如圖，小明想測(cè)量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測(cè)得仰角為30°再往塔的方向前進(jìn)50m至B處，測(cè)得仰角為60°，若小明的身高為1.5m，那么該塔有多高？(小明的身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1m).提問：仰角是什么角呢？預(yù)設(shè)：當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角；當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角.如何計(jì)算塔高？分析：要計(jì)算的是CD的長(zhǎng)度，又有CD=DE+EC，CE=1.5m，只要再求出DE的長(zhǎng)度即可.由三角形的外角性質(zhì)得:∠ADB=∠A=30°；因此BD=AB=50m，再由∠DBE的正弦即可求出DE.解：依題意知，∠A=30°，∠DBE=60°，AB=50，則∠ADB=30°(三角形的外角性質(zhì))，∴∠A=∠ADB，∴BD=AB=50m在Rt△DBE中，∠DBE=60°，，∴DE=50sin60°=.∴CD=DE+CE=+1.5≈44.8(m).答：該塔大約有44.8m高.【做一做】某商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，把樓梯的傾斜角由40°減少至35°，已知原樓梯長(zhǎng)為4m，調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)多少？樓梯多占多長(zhǎng)一段地面？(結(jié)果精確到0.01m)教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.分析：求調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)多少實(shí)際上求AD-AC，樓梯多占多長(zhǎng)實(shí)際上求CD的長(zhǎng).解：由已知可知，原來樓梯的高度AB=4sin40°m，占地長(zhǎng)BC=4cos40°m.調(diào)整后，樓梯的長(zhǎng)度變?yōu)?，占地長(zhǎng)即調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)約0.48米，樓梯多占約0.61米的地面.理解題意，試著畫出平面圖，并完成解答.學(xué)習(xí)仰角和俯角的概念.嘗試獨(dú)立解答，再交流討論，展示自己的成功.獨(dú)立解答，并反饋結(jié)果.此題是有關(guān)方位角的實(shí)際問題，體會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程，讓學(xué)生更好的了解和認(rèn)識(shí)解直角三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用的重要性.讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題的思考過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想和分析問題、解決問題的能力.結(jié)合實(shí)際場(chǎng)景，觀察并總結(jié)歸納仰角和俯角的概念，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和總結(jié)概括的能力.進(jìn)一步體會(huì)如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并學(xué)會(huì)正確畫出示意圖，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).環(huán)節(jié)三方法歸納【議一議】教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考；再在小組內(nèi)交流探討，總結(jié)歸納出利用解直角三角形解決實(shí)際問題的一般步驟.預(yù)設(shè)：(1)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；(畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題)(2)根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案；(4)得到實(shí)際問題的答案.獨(dú)立思考，并交流討論，反饋結(jié)果.通過議一議,歸納得出利用解直角三角形解決實(shí)際問題的一般步驟，培養(yǎng)學(xué)生合作意識(shí).環(huán)節(jié)四鞏固新知【隨堂練習(xí)】教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.1.求圖中避雷針CD的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到0.01m).2.如圖，一根燈柱AB被一條鋼纜CD固定，CD與地面的夾角是40°，且DB=5m.現(xiàn)再在C點(diǎn)上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長(zhǎng)度為多少？(結(jié)果精確到0.01m)3.如圖，在宿舍樓的C，D兩點(diǎn)處觀測(cè)與地面垂直的建筑物AB，從點(diǎn)D觀測(cè)點(diǎn)A的俯角是27°，從點(diǎn)C觀測(cè)點(diǎn)B的仰角是50°，已知宿舍樓CD的高度是20m.求建筑物AB的高度(結(jié)果精確到1m).4.如圖，一艘船以每小時(shí)32nmile的速度向正北航行.在A處觀測(cè)到燈塔C在船的北偏東20°方向上；半小時(shí)候船航行到B處，在B處觀測(cè)到燈塔C在船的北偏東65°方向上.求燈塔C與B處之間的距離(結(jié)果精確到0.1nmile).答案：解:依題意知，AB=20m，∠BAD=56°，∠BAC=50°，在Rt△ABD中，在Rt△ABC中，2.解：依題意有，∠BDC=40°，DB=5m，CE=2m.在Rt△BCD中，在Rt△BDE中，答：鋼纜ED的長(zhǎng)度約為7.96m.3.解：依題意有，∠ACB=50°，∠CAD=27°，CD=20m.在Rt△ACD中，在Rt△ABC中，.答：建筑物AB的高度約為47m.4.解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線與點(diǎn)D.依題意有，∠A=20°，∠DBC=65°，AB=32×0.5=16nmile.在Rt△ACD中，在Rt△CDB中，所以燈塔C與B處之間的距離約為7.7m.自主完成練習(xí)，然后集體交流評(píng)價(jià).通過課堂練習(xí)及時(shí)鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)