二元函數(shù)偏導數(shù)與全微分

二元函數(shù)偏導數(shù)與全微分第一頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分一、偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)三、全微分四、全微分在近似計算中的應用第二頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分一、偏導數(shù)1、偏導數(shù)的定義第三頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分第四頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分第五頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如函數(shù)在點處第六頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分例1

求解法1解法2在點(1,2)處的偏導數(shù).第七頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分例2

設證例3

求的偏導數(shù).解求證:第八頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分偏導數(shù)記號是一個例4

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,第九頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分2.偏導數(shù)的幾何意義如圖第十頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分（1）幾何意義:第十一頁，共33頁。§5.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分（2）偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系？但函數(shù)在該點處并不連續(xù).偏導數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在

連續(xù)，第十二頁，共33頁。則稱它們是z=f(x,y)§5.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分二、高階偏導數(shù)設z=f(x,y)在域D

內存在連續(xù)的偏導數(shù)若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，的二階偏導數(shù).按求導順序不同,有下列四個二階偏導數(shù):第十三頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分類似可以定義更高階的偏導數(shù).例如，z=f(x,y)關于x

的三階偏導數(shù)為z=f(x,y)關于x的n–1

階偏導數(shù),再關于y

的一階偏導數(shù)為第二、三個偏導數(shù)稱為混合偏導數(shù).二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).第十四頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分解第十五頁，共33頁。§5.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分例6

求函數(shù)解

注意:此處但這一結論并不總成立.的二階偏導數(shù)及第十六頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分具備怎樣的條件才能使混合偏導數(shù)相等？問題例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),當三階混合偏導數(shù)在點(x,y,z)

連續(xù)時,有第十七頁，共33頁。§5.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分證第十八頁，共33頁。§5.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分例8

證明函數(shù)滿足證利用對稱性,有方程第十九頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分三、全微分全增量第二十頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分定義2

如果函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關，稱為函數(shù)在點(x,y)

的全微分,記作若函數(shù)在域D內各點都可微,則稱函數(shù)

f(x,y

)在點(x,y)

可微，的全增量則稱此函數(shù)在D內可微.第二十一頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分證“可微”與“連續(xù)”的關系？第二十二頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分“可微”與“偏導數(shù)存在”的關系？第二十三頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分同樣可證證

由全增量公式得到對x的偏增量因此有第二十四頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分反例:函數(shù)易知

但注:定理3

的逆定理不成立.偏導數(shù)存在函數(shù)不一定可微!因此,函數(shù)在點不可微.第二十五頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分定理4(可微的充分條件)若函數(shù)的偏導數(shù)則函數(shù)在點連續(xù)，在該點可微.且全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).例如,三元函數(shù)的全微分為：第二十六頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分例9

計算函數(shù)

在點(2,1)處的全微分.解例10

計算函數(shù)的全微分.解

第二十七頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分可知當*四、全微分在數(shù)值計算中的應用

近似計算:由全微分定義較小時,及有近似等式:(可用于近似計算;誤差分析)(可用于近似計算)第二十八頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分例11

計算的近似值.

解

設,則取則第二十九頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分半徑由20cm

增大解已知即受壓后圓柱體體積減少了

例12

有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到20.05cm

,則高度由100cm

減少到99cm

,體積的近似改變量.

求此圓柱體第三十頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的計算、偏導數(shù)的幾何意義高階偏導數(shù)（偏增量比的極限）純偏導混合偏導（相等的條件）內容小結第三十一頁，共33頁?！?.2二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分思考練