華師大版七年級上冊初一數(shù)學(xué)（提高版）(全冊知識點考點梳理、重點題型分類鞏固練習(xí))(家教、補習(xí)、復(fù)習(xí)用)

華師大版七年級上冊數(shù)學(xué)

重難點突破

全冊知識點梳理及重點題型舉一反三鞏固練習(xí)

有理數(shù)的意義

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握用正負(fù)數(shù)表示實際問題中具有相反意義的量；

2.理解正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念；

3.掌握有理數(shù)的分類方法，初步建立分類討論的思想.

【要點梳理】

要點一、正數(shù)與負(fù)數(shù)

11

+----

像+3、+1.5、2、+584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)；像一3、-1.5>2、-584等

在正數(shù)前面加“一”號的數(shù)，叫做負(fù)數(shù).

要點詮釋：

(1)一個數(shù)前面的是這個數(shù)的性質(zhì)符號，常省略，但不能省略.

(2)用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時，哪種為正可任意選擇，但習(xí)慣把“前進、上

升”等規(guī)定為正，而把“后退、下降”等規(guī)定為負(fù).

(3)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線.

要點二、有理數(shù)的分類

.正整數(shù),正整數(shù)(1)按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類：

正有理數(shù)，

整數(shù)

0正分?jǐn)?shù)(2)按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類：

夕整數(shù)有理數(shù),

有理數(shù)，0

.正分?jǐn)?shù).負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)，負(fù)有理數(shù)<

,負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

要點詮釋：

(1)有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，整數(shù)也可以看作是分母為1的數(shù).

(2)分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)可以互化，所以有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可看作分?jǐn)?shù)，

但無限不循環(huán)小數(shù)不是分?jǐn)?shù)，例如汗.

(3)正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù).

【典型例題】

類型一、正數(shù)與負(fù)數(shù)

1.(2016?廣州)中國人很早開始使用負(fù)數(shù)，中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方

程”一章，在世界教學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù).如果收入100元記作+100元.那么-80元

表示()

A.支出20元B,收入20元C.支出80元D.收入80元

【思路點撥】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示.

【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，收入100元記作+100元，

則-80表示支出80元.

故選：C.

【總結(jié)升華】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解"正"和"負(fù)”的相對性，確定一

對具有相反意義的量.

舉一反三：

【有理數(shù)的意義356786概念的應(yīng)用例3(1)】

【變式1】(2015?太倉市模擬)一種大米的質(zhì)量標(biāo)識為°(50±0.5)千克“，則下列各袋大米

中質(zhì)量不合格的是()

A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克

【答案】D.

解：“50±0.5千克”表示最多為50.5千克，最少為49.5千克.

【變式2](1)如果收入300元記作+300元，那么支出500元用表示，。元表

示.

⑵若購進50本書，用-50本表示，則盈利30元如何表示？

【答案】⑴-500元；既沒有收入也沒有支出.(2)不是一對具有相反意義的量，不能表示.

【變式3】如果60m表示“向北走60m”,那么"向南走40m”可以表示為().

A.-20mB.-40mC.20mD.40m

【答案】B

2.體育課上，華英學(xué)校對九年級男生進行了引體向上測試，以能做7個為標(biāo)準(zhǔn)，超過

的次數(shù)記為正數(shù)，不足的次數(shù)記為負(fù)數(shù)，其中8名男生的成績?nèi)缦拢?,-1,0,3,-2,-3,

1,0

(1)這8名男生有百分之幾達到標(biāo)準(zhǔn)？

(2)他們共做了多少引體向上？

【答案與解析】(1)由題意可知：正數(shù)或0表示達標(biāo)，

2x100%=62.5%

而正數(shù)或0的個數(shù)共有5個，所以百分率為：8；

答：這8名男生有62.5%達到標(biāo)準(zhǔn).

(2)(7+2)+(7-1)+7+(7+3)+(7-2)+(7-3)+(7+1)+7=56(個)

答：他們共做了引體向上56個.

【總結(jié)升華】一定要先弄清"基準(zhǔn)”是什么.

類型二、有理數(shù)的分類

【有理數(shù)的意義356786概念的應(yīng)用例2】

▼3.下面說法中正確的是().

A.非負(fù)數(shù)一定是正數(shù).

B.有最小的正整數(shù)，有最小的正有理數(shù).

C.一定是負(fù)數(shù).

D.正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱正有理數(shù).

【答案】D

【解析】（A）不對，因為非負(fù)數(shù)還包括0；（B）最小的正整數(shù)為1,但沒有最小的正有理數(shù)；

（Q不對，當(dāng)以為負(fù)數(shù)或o時，則一〃為正數(shù)或o,而不是負(fù)數(shù)；（D）對

【總結(jié)升華】一個有理數(shù)既有性質(zhì)符號，又有除性質(zhì)符號外的數(shù)值部分，兩者合在一起才表

示這個有理數(shù).

舉一反三：

【變式1】判斷題：

（1）0是自然數(shù)，也是偶數(shù).（）（2）0既可以看作是正數(shù)，也可以看成是負(fù)數(shù).

（）

（3）整數(shù)又叫自然數(shù).（）（4）非負(fù)數(shù)就是正數(shù)，非正數(shù)就是負(fù)數(shù).（）

【答案】，，X,X,X

【變式2】下列四種說法，正確的是（）.

（A）所有的正數(shù)都是整數(shù)（B）不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)

（C）正有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)。）0不是最小的有理數(shù)

【答案】D

IF4.請把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號里.

7

■■

1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,23,0.23.

正整數(shù)集合:{,?,）,負(fù)整數(shù)集合:{…},

整數(shù)集合:{???},正分?jǐn)?shù)集合:{…},

負(fù)分?jǐn)?shù)集合:{…},分?jǐn)?shù)集合:{…},

非負(fù)數(shù)集合：{…},非正數(shù)集合：{…}.

■■

【答案】正整數(shù):1;負(fù)整數(shù)：-700;整數(shù)：1,0,-700;正分?jǐn)?shù)：0.0708,3.14159265,0.23；

7

負(fù)分?jǐn)?shù)：-3.88,23；

7

■■---

分?jǐn)?shù)：0.0708,3.14159265,0.23,-3.88,23；

■■

非負(fù)數(shù)：1,0.0708,3.14159265,0,0.23；

_7_

非正數(shù)：-700,-3.88,0,23

正整數(shù)

正有理數(shù)

正分?jǐn)?shù)【解析】

有理數(shù)，0【總結(jié)升華】填數(shù)的方法有兩種：一種是逐個考察，進行

負(fù)整數(shù)填寫；二是逐個填寫相關(guān)的集合，從給出的數(shù)中找出屬于這個

負(fù)有理數(shù)＜

負(fù)分?jǐn)?shù)集合的數(shù).此外注意幾個概念：非負(fù)數(shù)包括。和正數(shù)；非正數(shù)包

括0和負(fù)數(shù).

舉一反三:

_2

【變式】（2014秋?惠安縣期末）在有理數(shù)3、-5、3.14中，屬于分?jǐn)?shù)的個數(shù)共有—個.

【答案】2.

類型三、探索規(guī)律

5.某校生物教師李老師在生物實驗室做實驗時，將水稻種子分組進行發(fā)芽試驗：第1

組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，….按此規(guī)律，那么請你推測第

n組應(yīng)該有種子是粒.

【答案】（2%+1）

【解析】第1組取3粒，第2組取5粒，第3組取7粒，第4組取9粒，…，由此我們觀

察到的粒數(shù)與組數(shù)之間有一定關(guān)系：3=2x1+1,5=2x2+l,7=2x3+1,9=2x4+1,

■■■,按此規(guī)律，第n組應(yīng)該有種子數(shù)（2附+1）粒.

【總結(jié)升華】研究一列數(shù)的排列規(guī)律時，其中的數(shù)與符號往往都與序數(shù)有關(guān).

舉一反三：

【變式1】有一組數(shù)列：2,-3,2,-3,2,-3,…，根據(jù)這個規(guī)律，那么第2010個數(shù)是：一

【答案】-3

22J__L_L

【變式2】觀察下列有規(guī)律的數(shù)：2'6'12'20'30''根據(jù)其規(guī)律可知第9個數(shù)是:

1

【答案】90

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.（2014?甘肅模擬）下列語句正確的（）個

（1）帶“-”號的數(shù)是負(fù)數(shù)；

（2）如果a為正數(shù)，則-a一定是負(fù)數(shù)；

（3）不存在既不是正數(shù)又不是負(fù)數(shù)的數(shù)；

（4）0℃表示沒有溫度.

A.0B.1C.2D.3

2.關(guān)于數(shù)V,以下各種說法中，錯誤的是（）

A.0是整數(shù)B.0是偶數(shù)

C.0是正整數(shù)D.0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)

3.如果規(guī)定前進、收入、盈利、公元后為正，那么下列各語句中錯誤的是（）

A.前進-18米的意義是后退18米

B.收入-4萬元的意義是減少4萬元

C.盈利的相反意義是虧損

D.公元-300年的意義是公元后300年

4.一輛汽車從甲站出發(fā)向東行駛50千米，然后再向西行駛20千米，此時汽車的位置是（）

A.甲站的東邊70千米處B.甲站的西邊20千米處

C.甲站的東邊30千米處D.甲站的西邊30千米處

5.在有理數(shù)中，下面說法正確的是（）

A.身高增長12c制和體重減輕L2館是一對具有相反意義的量

B.有最大的數(shù)

C.沒有最小的數(shù)，也沒有最大的數(shù)

D.以上答案都不對

6.下列各數(shù)是正整數(shù)的是（）

A.-1B.2C.0.5D.

二、填空題

1.（2014秋?朝陽區(qū)期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可記作

11.

2.在數(shù)0.5,-2-,100,0,1--45,0.1中，非負(fù)數(shù)是_______________;非正數(shù)

22

是.

3.把公元2008年記作+2008,那么-2008年表示.

4.既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)的有理數(shù)是.

5.（2016春?溫州校級期中）如果向東行駛10米，記作+10米，那么向西行駛20米，記作

米."

6.是整數(shù)而不是正數(shù)的有理數(shù)是.

7.既不是整數(shù)，也不是正數(shù)的有理數(shù)是.

8.一種零件的長度在圖紙上是（-°s）毫米，表示這種零件的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是亳米，

加工要求最大不超過毫米，最小不小于毫米.

三、解答題

1.說出下列語句的實際意義.

（1）輸出-12t（2）運進-5t（3）浪費-14元（4）上升-2m⑸向南走-7m

2.（2014秋?晉江市期末）下面兩個圈分別表示負(fù)數(shù)集和分?jǐn)?shù)集，請把下列6個數(shù)填入這兩

個圈中合適的位置.

-（-至）?

-28%,7,-2014,3.14,-（+5）,-0.3

用數(shù)集分?jǐn)?shù)集

3.(2015秋?贛州校級期末)隨著人們的生活水平的提高，家用轎車越來越多地進入普通家

庭.小明家買了一輛小轎車，他連續(xù)記錄了7天中每天行駛的路程，以50km為標(biāo)準(zhǔn)，多

于50km的記為不足50km的記為剛好50km的記為“0”，記錄數(shù)據(jù)如下

表：

時間第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

路程

-8-11-140-16+41+8

(km)

(1)請你估計小明家的小轎車一月(按30天計)要行駛多少千米？

(2)若每行駛100km需用汽油8L,汽油每升7.14元，試求小明家一年(按12個月計)的

汽油費用是多少元？

4.觀察下面依次排列的一列數(shù)，它的排列有什么規(guī)律?請接著寫出后面的兩個數(shù)，你能說出

第2011個數(shù)是什么嗎？

(1)1)-2,3,-4,5,-6,7,-8,,,>???

111111

(2)-1,2,-3,4,5,6,7,,

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】(1)帶號的數(shù)不一定是負(fù)數(shù)，如-(-2),錯誤；

(2)如果a為正數(shù)，則-a一定是負(fù)數(shù)，正確；

(3)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故不存在既不是正數(shù)又不是負(fù)數(shù)的數(shù)此表述錯

誤；

(4)0℃表示沒有溫度，錯誤.

綜上，正確的有(2),共一個.

2.【答案】C

【解析】0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，但0是整數(shù)，是偶數(shù)，是自然數(shù).

3.【答案】D

【解析】D錯誤，公元-300年的意義應(yīng)該是公元前300年.

4.【答案】C

【解析】畫個圖形有利于問題分析，向東50千米然后再向西20千米后顯然此時汽車在

甲站的東邊30千米處.

5.【答案】C

【解析】A錯誤，因為身高與體重不是具有相反意義的量；B錯誤，沒有最大的數(shù)也沒有

最小數(shù)；C對.

6.【答案】B

二、填空題

1.【答案】-5米

1-.-2工

2.【答案】0.5,100,0,20.1；2,o,-45

【解析】正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).

3.【答案】公元前2008年

【解析】正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量.

4.【答案】0

【解析】既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)只有零.

5.【答案】-20.

【解析】解：?：向東行駛10米，記作+10米，

向西行駛20米，記作-20米，

故答案為：-20.

6.【答案】負(fù)整數(shù)和0

【解析】整數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)，又因為不是正數(shù)，所以只能是負(fù)整數(shù)和0.

7.【答案】負(fù)分?jǐn)?shù)

【解析】不是整數(shù)，則只能是分?jǐn)?shù)，又不是正數(shù)，所以只能是負(fù)分?jǐn)?shù).

8.【答案】10,1003,9.98

【解析】1°踹表示的數(shù)的范圍為：大于(10902),而小于(10+0.03),即大于9.98

而小于10.03.

三、解答題

1.【解析】(1)輸出-⑵表示輸入⑵；

(2)運進-5t表示運出5t;

(3)浪費-14元表示節(jié)約14元；

(4)上升-2m表示下降2m；

(5)向南走-7m表示向北走7m.

提示：表示相反意義的量.

50X7-8-11-14-16+41+8

解：⑴7=50,

50X30=1500(km).

答：小明家的小轎車一月要行駛1500千米；

1500

(2)100X8X7.14X12=10281.6(元)，

答：小明家一年的汽油費用是用281.6元.

4.【解析】⑴9,-10,-??,2011,???

1_11

(2)3~9，"~20n，"

數(shù)軸與相反數(shù)(提高)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.熟練掌握數(shù)軸及相反數(shù)的相關(guān)概念，并能靈活運用；

2.理解有理數(shù)與藪軸上的點的關(guān)系，并會借助數(shù)軸比較兩個數(shù)的大??；

3.會求一個數(shù)的相反數(shù)，并能借助數(shù)軸理解相反數(shù)的概念及幾何意義；

4.掌握多重符號的化簡；

5.通過例子，體會數(shù)形結(jié)合的思想.

【要點梳理】

要點一、數(shù)軸

1.定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.

要點詮釋：

(1)原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可.

(2)長度單位與單位長度是不同的，單位長度是根據(jù)需要選取的代表“1”的線段，而長度

單位是為度量線段的長度而制定的單位.有km、m、dm、cm等.

(3)原點、正方向、單位長度可以根據(jù)實際靈活選定，但一經(jīng)選定就不能改動.

2.數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系：任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，但數(shù)軸上的點不都

表示有理教，還可以表示其他數(shù)，比如汗.

要點詮釋：

(1)一般地，數(shù)軸上原點右邊的點表示正數(shù)，左邊的點表示負(fù)數(shù)；反過來也對，即正數(shù)用

數(shù)軸上原點右邊的點表示，負(fù)數(shù)用原點左邊的點表示，零用原點表示.

(2)在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

要點二、相反數(shù)

1.定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)；0的相反數(shù)是0.

要點詮釋：

(1)"只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同；

(2)“0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，不能漏掉；

(3)相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能說是相反數(shù)；

(4)求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上號即可.

2.性質(zhì)：

(1)互為相反數(shù)的兩數(shù)的點分別位于原點的兩旁，且與原點的距離相等(這兩個點關(guān)于原

點對稱).

(2)互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0.

要點三、多重符號的化荷

多重符號的化簡，由數(shù)字前面號的個數(shù)來確定，若有偶數(shù)個時，化簡結(jié)果為正，如

-{-[-(-4)]}=4；若有奇數(shù)個時，化簡結(jié)果為負(fù),如T+[-(-4)]}=-4.

要點詮釋：

(1)在一個數(shù)的前面添上一個"+仍然與原數(shù)相同，如+5=5,+(-5)=-5.

(2)在一個數(shù)的前面添上一個“一”，就成為原數(shù)的相反數(shù).如一(一3)就是一3的相反數(shù)，

因此，一(-3)=3.

【典型例題】

類型一、數(shù)軸的概念

C1.小明的家與他上學(xué)的學(xué)校、書店依次坐落在一條東西走向的大街上，小明家位于學(xué)校

西邊30米處，書店位于學(xué)校東邊100米處，小明從學(xué)校沿這條大街向東走了40米，接著又

向西走了100米到達超市，試用數(shù)軸表示出小明的家、學(xué)校、書店、超市的位置.

【思路點撥】我們把小明行走的過程想象為點在數(shù)軸上移動的過程，使問題化難為易.用數(shù)

軸表示數(shù)時，要根據(jù)實際需要，每個單位表示的數(shù)可大可小，但整體要保持統(tǒng)一.

【答案與解析】以學(xué)校作為數(shù)軸的原點，向東的方向即學(xué)校的東邊為正方向，把20米作為

單位長度，所以學(xué)校、家、書店和超市的位置如圖所示.

超市小明家學(xué)校書店

----------?i?J-------4-□-------1-------------------1--------4--------1-------1~

-60-40-20020406080100

【總結(jié)升華】原點，正方向，單位長度三者缺一不可.

舉一反三：

【變式】如圖為北京地鐵的部分線路.假設(shè)各站之間的距離相等且都表示為一個單位長.現(xiàn)

以萬壽路站為原點，向右的方向為正，那么木樨地站表示的數(shù)為,古城站表示的數(shù)

為;如果改以古城站為原點，那么木樨地站表示的數(shù)變?yōu)?

。

小

。

0。■

公

玉

八

五

萬

八

主

泉

懾

寶

?

角

壽

W禮

o=占

墳

路

松

山

路

常

士

胞

博

城

站

站

站

站

站

站

樂

路

物

站

站

通

館

站

站

【答案】3,-5,8

類型二、相反數(shù)的概念

^^2.(2016?哈爾濱模擬)在數(shù)軸上到表示3的點距離為5個單位長度的正數(shù)是()

A.-2B.8C.-2或8D.5

【思路點撥】因為在數(shù)軸上與某一點距離相等的點有兩個，分別在該點的兩側(cè)，本題正確

選項必須符合兩個條件，所以借助數(shù)軸分析即可求解.

【答案】B

【解析】解：因為在數(shù)軸上到表示3的點距離為5個單位長度的點有兩個:A和B,如下圖

所示：

A.B

-5-4-3-5-1019545fi7l59>

而點A表示的數(shù)為-2,點B表示的數(shù)為8,

又因為8為正數(shù)，

故正確答案選:B.

【總結(jié)升華】本題考查了正負(fù)數(shù)的概念以及數(shù)軸上的點與有理數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，借助數(shù)軸分

析求解比較好.

舉一反三：

【變式1】

(1)如果a=-13,那么一a=;(2)如果一a=-5.4,那么a=;

(3)如果一x=-6,那么x=;(4)—x=9,那么x=.

【答案】(1)13；(2)5.4；(3)6;(4)-9

【變式2】一4的倒數(shù)的相反數(shù)是()

_1_1

A.-4B.4C.-4D.4

【答案】D

【數(shù)軸和相反數(shù)例1(1)?(7)]

【變式3】填空：

(1)一(一2.5)的相反數(shù)是;(2)是-100的相反數(shù)；⑶是的相反數(shù);

(4)的相反數(shù)是-1.1；(5)8.2和互為相反數(shù)；(6)a和互為相反數(shù).

(7)的相反數(shù)比它本身大，的相反數(shù)等于它本身.

【答案】(一2.5);100;5；1.1；-8.2;-a;負(fù)數(shù)；0

【數(shù)軸和相反數(shù)例1(8)]

yyj+力

.已知幽小互為相反數(shù)，則2a+2加+2-........

3

【答案】2

【解析】根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的性質(zhì)，可知四+%=0,代入上式可得：0+2-0=2.

【總結(jié)升華】若陽’閥互為相反數(shù)，則附+%=0或切=一匕

舉一反三：

r1

1-—m

【變式】已知2加-1與2互為相反數(shù)，求根的值.

(2w-l)+(7--w)=0

【答案】因為互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0,所以2,解得：

類型三、多重符號的化簡

▼4.(2014秋?本溪校級月考)化簡：

(1)-{+[-(+3)]}；

(2)(-|-3|)}.

【解析】

解：(1)原式=-{+[-3]}=-{-3}=3;

(2)原式=-{-[-(-3)]}=-{-[+3])=-{-3}=3.

【總結(jié)升華】多重符號化簡的規(guī)律解決這類問題較為簡單.即數(shù)一下數(shù)字前面有多少個負(fù)

號.若有偶數(shù)個，則結(jié)果為正；若有奇數(shù)個，則結(jié)果為負(fù).

舉一反三：

【變式】當(dāng)+6前面有2011個正號時，化簡結(jié)果為：；當(dāng)+6前面有2011

個負(fù)號時，化簡結(jié)果為：；當(dāng)+6前面有2012個負(fù)號時，化簡結(jié)果

為：.

【答案】6;-6;6

類型四：利用數(shù)軸比較大小

【數(shù)軸和相反數(shù)例4(4)]

C5.若p,g兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如下圖所示，請用或填空.

q0P

①尸------<7；②一0--------0;③一0...........-q;④--------q;

【答案】>;<;<;>

【解析】根據(jù)相反數(shù)的幾何意義，將p,q,-p,-q均表示在數(shù)軸上，如下圖：

"-5-p0P~

然后再根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大，及原點右邊的點表示大于0的正數(shù)，而原點左

邊的點表示小于()的負(fù)數(shù)，可得上述答案.

【總結(jié)升華】在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于

0;正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).

舉一反三：

【變式】(2015?東城區(qū)二模)如圖，數(shù)軸上有A,B,C,D四個點，其中到原點距離相等

的兩個點是()

―A?-----?B-------!C?!------D?->

-2-101?

A.點B與點DB.點A與點CC.點A與點DD.點B與點C

【答案】C.

類型五、數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用

^^6.點A在數(shù)軸上，若將A向左移動4個單位長度，再向右移動2個單位長度，此時

A點所表示的數(shù)是原來A點所表示的數(shù)的相反數(shù)，原來A點表示的是什么教?把你的研究過

程在數(shù)軸上表示出來.

【思路點撥】根據(jù)數(shù)軸是以向右為正方向，故數(shù)的大小變化和平移變化之間的規(guī)律：左減右

加.

【答案與解析】

解：如圖所示，B點表示A點移動后的位置.則AB=2.因為A、B表示一對相反數(shù).所以

原點。是AB的中點，AO=OB,所以A點表示1.

________卜__.

-I0I

【總結(jié)升華】先畫出數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸理解題目中的數(shù)量關(guān)系，將有利于問題的解決.

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.(2014?衡陽一模)如圖所示，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)可能是()

l-^lt||||

-a-2~~~n_i?~~<

A.1.5B.-1.5C.-2.6D.2.6

2.從原點開始向右移動3個單位，再向左移動1個單位后到達A點，則A點表示的數(shù)是

().

A.3B.4C.2D.-2

3.數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點.某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這條數(shù)軸上任意畫出

一條長為2004厘米的線段AB,則線段AB蓋住的整點的個數(shù)是()

A.2002或2003B.2003或2004

C.2004或2005D.2005或2006

4.北京、紐約等5個城市的國際標(biāo)準(zhǔn)時間(單位：小時)可在數(shù)軸上表示如圖

經(jīng)約多倫多倫敦北京首爾

1」」1」」.]?

—8―7——5—3—2—1012345678910

若將兩地國際標(biāo)準(zhǔn)時間的差簡稱為時差，則()

A.首爾與紐約的時差為13小時

B.首爾與多倫多的時差為13小時

C.北京與紐約的時差為14小時

D.北京與多倫多的時差為14小時

5.一個數(shù)的相反數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)一定是()

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)

6.在①+(+1)與-(-1)；②-(+1)與+(-1);③+(+1)與-(+1)；④+(-1)與(1)中，互

為相反數(shù)的是()

A.①②B.②③C.③④D.②④

7-(-2)=()

A.-2B.2C.±2D.4

二、填空題

1.(2016春?新泰市校級月考)不大于4的正整數(shù)的個數(shù)為.

2.(2015春?岳池縣期中)已知數(shù)軸上有A,B兩點，A,B之間的距離為1,點A與原點O

的距離為3,那么點B對應(yīng)的數(shù)是.

3.若a為有理數(shù)，在-a與a之間(不含-a與a)有21個整數(shù)，則a的取值范圍是.

4.如圖所示，矩形ABCD的頂點A,B在數(shù)軸上，CD=6,點A對應(yīng)的數(shù)為-1,則點B所對

應(yīng)的數(shù)為

D.--------------r

A0B

5.數(shù)軸上離原點的距離小于3.5的整數(shù)點的個數(shù)為冽，距離原點等于3.5的點的個數(shù)為閥，

則活一為=----

6.已知*與V互為相反數(shù)，V與z互為相反數(shù)，又z=2,則z-'+>y=.

【數(shù)軸和相反數(shù)例4(5))

7.已知一l<a<O<lVb,請按從小到大的順序排列-1,-a,0,1,-b為.

【數(shù)軸和相反數(shù)例5]

8.若a為正有理數(shù)，在一a與a之間(不含一a與a)有1997個整數(shù)，則a的取值范圍

是.若a為有理數(shù)，在一a與a之間(不含一a與a)有1997個整數(shù)，則a的取值范圍

是_.

三、解答題

1.小敏的家、學(xué)校、郵局、圖書館坐落在一條東西走向的大街上，依次記為A、B、C、D,

學(xué)校位于小敏家西150米，郵局位于小敏家東100米，圖書館位于小敏家西400米.

⑴用數(shù)軸表示A、B、C、D的位置(建議以小敏家為原點).

⑵一天小敏從家里先去郵局寄信后.以每分鐘50米的速度往圖書館方向走了約8分

鐘.試問這時小敏約在什么位置?距圖書館和學(xué)校各約多少米？

2.(2016春?北京校級模擬)化簡：-{+[-(-|-6.5|)J}.

3.化簡下列各數(shù)，再用連接.

⑴(54)⑵-(+3.6)(3)I(4)

4.(2014秋?宜賓校級期中)若a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m是最大的負(fù)整

2a+2b-W+m2

數(shù).求代數(shù)式2的值.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】C

【解析】1.點A位于-3和-2之間，...點A表示的實數(shù)大于-3,小于-2.

2.【答案】C

3.【答案】C

【解析】若線段AB的端點與整數(shù)重合，則線段AB蓋住2005個整點；若線段AB的端點

不與整點重合，則線段AB蓋住2004個整點.可以先從最基礎(chǔ)的問題入手.如AB

=2為基礎(chǔ)進行分析，找規(guī)律.所以答案：C

4.【答案】B

【解析】本題以“北京等5個城市的國際標(biāo)準(zhǔn)時間”為材料，編擬了一道與數(shù)軸有關(guān)的實

際問題.從選項上分析可得：兩個城市之間相距幾個單位長度，兩個點之間的距

離即為時差.所以首爾與紐約的時差為14小時，首爾與多倫多的時差為13小時，

北京與紐約的時差為13小時，北京與多倫多的時差為12小時.因此答案：B.

5.【答案】C

【解析】負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是0,而非負(fù)數(shù)就是正數(shù)和0,所以負(fù)數(shù)和0

的相反數(shù)是非負(fù)數(shù)，即非正數(shù)的相反數(shù)是非負(fù)數(shù).

6.【答案】C

【解析】先化簡在判斷，①+(+1)=1,-(-1)=1,不是相反數(shù)的關(guān)系；②-(+1)=-1,

+(-1)=-1,不是相反數(shù)的關(guān)系；③+(+1)=1,-(+1)=-1,是相反數(shù)的關(guān)系；

④+(-1)=-1,-(-1)=1,是相反數(shù)的關(guān)系，所以③④中的兩個數(shù)是相反數(shù)的關(guān)系，

所以答案為：C

7.【答案】B.

二、填空題

1.【答案】4.

【解析】解：如圖所示：

-S-4-a-2-1012325

由數(shù)軸上4的位置可知：不大于4的正整數(shù)有1、2、3、4共4個.

故答案為：4個.

2.【答案】±2,±4

【解析】解：...點A和原點。的距離為3,

...點A對應(yīng)的數(shù)是±3.

當(dāng)點A對應(yīng)的數(shù)是+3時，則點B對應(yīng)的數(shù)是1+3=4或3-1=2;

當(dāng)點A對應(yīng)的數(shù)是-3時，則點B對應(yīng)的數(shù)是-3+1=-2或-3-1=-4.

3［笈案］1。<。=11或-11Ka<—10

4.【答案】5

【解析】CD=AB=6,即A、B兩點間距離是6,故點B對應(yīng)的數(shù)為5.

5.【答案】1

［解析］由題意可知：活=7,%=2,所以掰—2陷=7_3x2=l

6.【答案】-2

【解析】因為冗z均為V的相反數(shù)，而一個數(shù)的相反數(shù)是唯一的，所以z=x,z=2,

而V為z的相反數(shù)，所以為-2,綜上可得：原式等于2

7.【答案】一b<-l<0<-a<l

8.［答案］998<a<999；998<aX999或一999工一998

1.【解析】

⑴如圖所示

⑵小敏從郵局出發(fā)，以每分鐘50米的

速度往圖書館方向走了約8分鐘，其路程為50X8=400(米)，由上圖知，此時小敏位于家西

300米處，所以小敏在學(xué)校與圖書館之間，且距圖書館100米，距學(xué)校150米.

2.【解析】

解：-{+[-(-1-6.51)]}=-[|-6.5|]=-6.5.

(5、5

一+一

3.【解析】(1)-(-54)=54(2)-(+3.6)=-3.6⑶13

52

-(+3,6)<-(+-)<4-<-(-54)

畫出數(shù)軸即得：35

4.【解析】根據(jù)題意：a+b=0,cd=l,m=-1,

2a+2b--^+m2合

則代數(shù)式2=2(a+b)-2+m2=0-2+1=2.

絕對值及有理數(shù)的大小比較(提高)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.借助數(shù)軸理解絕對值的概念，知道|a|的絕對值的含義；

2.會求一個數(shù)的絕對值，并會用絕對值比較有理數(shù)的大??；

3.理解并會熟練運用絕對值的非負(fù)性進行解題.

【要點梳理】

要點一、絕對值

1.定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|.

要點詮釋：

(1)絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反教；

0的絕對值是0.即對于任何有理數(shù)a都有：

a(a>0)

|a|=?0(a=0)

-a(a<0)

(2)絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離，離原點的距

離越遠(yuǎn)，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小.

(3)一個有理數(shù)是由符號和絕對值兩個方面來確定的.

2.性質(zhì)：

(1)0除外，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù).

(2)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等.

(3)絕對值具有非負(fù)性，即任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0.

要點二、有理數(shù)的大小比較

-------1-------1-------1.數(shù)軸法：在數(shù)軸上表示出兩個有理數(shù)，左邊的數(shù)總比右邊的

數(shù)小.如：a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a<b.

2.法則比較法：

兩個數(shù)比較大小，按數(shù)的性質(zhì)符號分類，情況如下：

同為正號：絕對值大的數(shù)大

兩數(shù)同號

同為負(fù)號：絕對值大的反而小

兩數(shù)異號正數(shù)大于負(fù)數(shù)

正數(shù)與0:正數(shù)大于0

一數(shù)為0

負(fù)數(shù)與0：負(fù)數(shù)小于0

要點詮釋：

利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大小的步驟：(1)分別計算兩數(shù)的絕對值；(2)比較絕對值

的大??；(3)判定兩數(shù)的大小.

3.作差法：設(shè)a、b為任意數(shù)，若a-b>0,則a>b；若a-b=0,則a=b；若a-bVO,a<b；

反之成立.

4.求商法：設(shè)a、b為任意正數(shù)，若8，則若8，則a=3;若8，則

a<b；反之也成立.若a、b為任意負(fù)數(shù)，則與上述結(jié)論相反.

5.倒數(shù)比較法：如果兩個數(shù)都大于零，那么倒數(shù)大的反而小.

【典型例題】

類型一、絕對值的概念

1-如果|x|=6,|y|=4,且x<y.試求x、y的值.

【思路點撥】6和-6的絕對值都等于6,4和-4的絕對值都等于4,所以要注意分類討論.

【答案與解析】

解：因為|x|=6,所以x=6或x=-6；

因為|y|=4,所以y=4或y=-4；

由于x<y,故x只能是-6,因此x=-6,y=±4.

【總結(jié)升華】已知絕對值求原數(shù)的方法：⑴利用概念；⑵利用數(shù)形結(jié)合法在數(shù)軸上表示出

來.無論哪種方法但要注意若一個數(shù)的絕對值是正數(shù)，則此數(shù)有兩個，且互為相反數(shù).此外，

此題x=-6,y=±4,就是x=-6,y=4或x=-6,y=-4.

舉一反三：

【變式】（2015?畢節(jié)市）下列說法正確的是（）

A.一個數(shù)的絕對值一定比0大

B.一個數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小

C.絕對值等于它本身的數(shù)一定是正數(shù)

D.最小的正整數(shù)是1

【答案】D.

類型二、含有字母的絕對值的化簡

2.（2016春?都勻市校級月考）若-l<x<4,則|x+l|-|x-4|=.

【思路點撥】根據(jù)絕對值的性質(zhì)：當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；當(dāng)a是負(fù)有

理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a,可得|x+l|=x+l,|x-4|=-x+4,然后再合并同類項

即可.

【答案】2x-3.

【解析】

解：原式=x+l-（-x+4）,

=x+l+x-4,

=2x—3.

【總結(jié)升華】此題主要考查了絕對值，關(guān)鍵是掌握絕對值的性質(zhì)，正確判斷出x+1,x-4

的正負(fù)性.

舉一反三：

C..?..‘、【變式】已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上

-3-2-102對應(yīng)的點的位置如圖所示：

化簡：|3白一c|+|2a+8|—|c—

【答案】解：由圖所示，可得c<一3<—1<。<0<2<小.

??3?—c>0,2a+b>0>c-b<0,

|3a_c|+|2a+NTc-B|=(3a-c)4-(2a+i)-[-(c-i)]

=3a—c+(2a+B)+(c—力)=3a—c+2a+b+c-b=5a?

??原式=5a,

類型三、絕對值非負(fù)性的應(yīng)用

.已知a、b為有理數(shù)，且滿足：1|2&+1|+|2-5|=0,則