2023年山東省濟寧市中考數(shù)學試卷解析

2023年山東省濟寧市中考數(shù)學試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）（2023?濟寧）﹣的相反數(shù)是（）A．﹣B．C．D．﹣2．（3分）（2023?濟寧）化簡﹣16（x﹣0.5）的結果是（）A．﹣16x﹣0.5B．﹣16x+0.5C．16x﹣8D．﹣16x+83．（3分）（2023?濟寧）要使二次根式有意義，x必須滿足（）A．x≤2B．x≥2C．x＞2D．x＜24．（3分）（2023?濟寧）一個正方體的每個面都有一個漢字，其展開圖如圖所示，那么在該正方體中和“值”字相對的字是（）A．記B．觀C．心D．間5．（3分）（2023?濟寧）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣13x+36=0的兩根，則該三角形的周長為（）A．13B．15C．18D．13或186．（3分）（2023?濟寧）勻速地向一個容器內注水，最后把容器注滿，在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規(guī)律如圖所示（圖中OABC為一折線），這個容器的形狀是下圖中的（）A．B．C．D．7．（3分）（2023?濟寧）只用下列哪一種正多邊形可以進行平面鑲嵌（）A．正五邊形B．正六邊形C．正八邊形D．正十邊形8．（3分）（2023?濟寧）解分式方程+=3時，去分母后變形為（）A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3（1﹣x）D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）9．（3分）（2023?濟寧）如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連．若AB=10米，則旗桿BC的高度為（）A．5米B．6米C．8米D．（3+）米10．（3分）（2023?濟寧）將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C，將△EDF繞點D順時針方向旋轉α（0°＜α＜60°），DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，則的值為（）A．B．C．D．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分11．（3分）（2023?濟寧）2023年，我國國內生產(chǎn)總值約為636000億元，用科學記數(shù)法表示2023年國內生產(chǎn)總值約為億元．12．（3分）（2023?濟寧）分解因式：12x2﹣3y2=．13．（3分）（2023?濟寧）甲乙兩地9月上旬的日平均氣溫如圖所示，則甲乙兩地這10天日平均氣溫方差大小關系為S甲2S乙2（填＞或＜）．14．（3分）（2023?濟寧）在平面直角坐標系中，以原點為中心，把點A（4，5）逆時針旋轉90°，得到的點A′的坐標為．15．（3分）（2023?濟寧）若1×22﹣2×32=﹣1×2×7；（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）=﹣2×3×11；（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+（5×62﹣6×72）=﹣3×4×15；則（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=．三、解答題：本大題共7小題，共55分16．（5分）（2023?濟寧）計算：π0+2﹣1﹣﹣|﹣|17．（7分）（2023?濟寧）某學校初三年級男生共200名，隨機抽取10名測量他們的身高（單位：cm）為：181，176，169，155，163，175，173，167，165，166．（1）求這10名男生的平均身高和上面這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）估計該校初三年級男生身高高于170cm的人數(shù)；（3）從身高為181，176，175，173的男生中任選2名，求身高為181cm的男生被抽中的概率．18．（7分）（2023?濟寧）小明到服裝店進行社會實踐活動，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問題：服裝店準備購進甲乙兩種服裝，甲種每件進價80元，售價120元，乙種每件進價60元，售價90元．計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件．（1）若購進這100件服裝的費用不得超過7500元，則甲種服裝最多購進多少件？？（2）在（1）的條件下，該服裝店對甲種服裝以每件優(yōu)惠a（0＜a＜20）元的價格進行促銷活動，乙種服裝價格不變，那么該服裝店應如何調整進貨方案才能獲得最大利潤？19．（8分）（2023?濟寧）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一個外角．實驗與操作：根據(jù)要求進行尺規(guī)作圖，并在圖中標明相應字母（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）作∠DAC的平分線AM；（2）作線段AC的垂直平分線，與AM交于點F，與BC邊交于點E，連接AE，CF．猜想并證明：判斷四邊形AECF的形狀并加以證明．20．（8分）（2023?濟寧）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．F是邊BC上一點（不與B、C兩點重合），過點F的反比例函數(shù)y=（k＞0）圖象與AC邊交于點E．（1）請用k的表示點E，F(xiàn)的坐標；（2）若△OEF的面積為9，求反比例函數(shù)的解析式．21．（9分）（2023?濟寧）閱讀材料：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，==，利用上述結論可以求解如下題目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵=∴b====3．理解應用：如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，且乙船從B1處按北偏東15°方向勻速直線航行，當甲船航行20分鐘到達A2時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里．（1）判斷△A1A2B2的形狀，并給出證明；（2）求乙船每小時航行多少海里？22．（11分）（2023?濟寧）如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點（點A在點B的上方），與x軸的正半軸交于點C，直線l的解析式為y=x+4，與x軸相交于點D，以點C為頂點的拋物線過點B．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷直線l與⊙E的位置關系，并說明理由；（3）動點P在拋物線上，當點P到直線l的距離最小時．求出點P的坐標及最小距離．2023年山東省濟寧市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）（2023?濟寧）﹣的相反數(shù)是（）A．﹣B．C．D．﹣考點：相反數(shù)．分析：根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得答案．解答：解：﹣的相反數(shù)是，故選：C．點評：本題考查了相反數(shù)，在一個數(shù)的前面加上負號就是這個數(shù)的相反數(shù)．2．（3分）（2023?濟寧）化簡﹣16（x﹣0.5）的結果是（）A．﹣16x﹣0.5B．﹣16x+0.5C．16x﹣8D．﹣16x+8考點：去括號與添括號．分析：根據(jù)去括號的法則計算即可．解答：解：﹣16（x﹣0.5）=﹣16x+8，故選D點評：此題考查去括號，關鍵是根據(jù)括號外是負號，去括號時應該變號．3．（3分）（2023?濟寧）要使二次根式有意義，x必須滿足（）A．x≤2B．x≥2C．x＞2D．x＜2考點：二次根式有意義的條件．分析：根據(jù)二次根式的性質，被開方數(shù)大于或等于0，可以求出x的范圍．解答：解：根據(jù)題意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．故選B．點評：本題考查了二次根式的意義和性質．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．4．（3分）（2023?濟寧）一個正方體的每個面都有一個漢字，其展開圖如圖所示，那么在該正方體中和“值”字相對的字是（）A．記B．觀C．心D．間考點：專題：正方體相對兩個面上的文字．分析：由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題．解答：解：對于正方體的平面展開圖中相對的面一定相隔一個小正方形，由圖形可知，與“值”字相對的字是“記”．故選：A．點評：本題考查了正方體相對的兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解答問題．5．（3分）（2023?濟寧）三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣13x+36=0的兩根，則該三角形的周長為（）A．13B．15C．18D．13或18考點：解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系．分析：先求出方程x2﹣13x+36=0的兩根，再根據(jù)三角形的三邊關系定理，得到合題意的邊，進而求得三角形周長即可．解答：解：解方程x2﹣13x+36=0得，x=9或4，即第三邊長為9或4．邊長為9，3，6不能構成三角形；而4，3，6能構成三角形，所以三角形的周長為3+4+6=13，故選：A．點評：此題主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三邊關系，求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應養(yǎng)成檢驗三邊長能否成三角形的好習慣．6．（3分）（2023?濟寧）勻速地向一個容器內注水，最后把容器注滿，在注水過程中，水面高度h隨時間t的變化規(guī)律如圖所示（圖中OABC為一折線），這個容器的形狀是下圖中的（）9．（3分）（2023?濟寧）如圖，斜面AC的坡度（CD與AD的比）為1：2，AC=3米，坡頂有旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連．若AB=10米，則旗桿BC的高度為（）A．5米B．6米C．8米D．（3+）米考點：解直角三角形的應用-坡度坡角問題．分析：設CD=x，則AD=2x，根據(jù)勾股定理求出AC的長，從而求出CD、AC的長，然后根據(jù)勾股定理求出BD的長，即可求出BC的長．解答：解：設CD=x，則AD=2x，由勾股定理可得，AC==x，∵AC=3米，∴x=3，∴x=3米，∴CD=3米，∴AD=2×3=6米，在Rt△ABD中，BD==8米，∴BC=8﹣3=5米．故選A．點評：本題考查了解直角三角形的應用﹣﹣坡度坡角問題，找到合適的直角三角形，熟練運用勾股定理是解題的關鍵．10．（3分）（2023?濟寧）將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C，將△EDF繞點D順時針方向旋轉α（0°＜α＜60°），DE′交AC于點M，DF′交BC于點N，則的值為（）A．B．C．D．考點：旋轉的性質．專題：計算題．分析：先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質得CD=AD=DB，則∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根據(jù)旋轉的性質得∠PDM=∠CDN=α，于是可判斷△PDM∽△CDN，得到=，然后在Rt△PCD中利用正切的定義得到tan∠PCD=tan30°=，于是可得=．解答：解：∵點D為斜邊AB的中點，∴CD=AD=DB，∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，∵∠EDF=90°，∴∠CPD=60°，∴∠MPD=∠NCD，∵△EDF繞點D順時針方向旋轉α（0°＜α＜60°），∴∠PDM=∠CDN=α，∴△PDM∽△CDN，∴=，在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，∴=tan30°=．故選C．點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了相似三角形的判定與性質．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分11．（3分）（2023?濟寧）2023年，我國國內生產(chǎn)總值約為636000億元，用科學記數(shù)法表示2023年國內生產(chǎn)總值約為6.36×105億元．考點：科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．分析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．解答：解：將636000用科學記數(shù)法表示為6.36×105．故答案為6.36×105．點評：本題考查了科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．12．（3分）（2023?濟寧）分解因式：12x2﹣3y2=3（2x+y）（2x﹣y）．考點：提公因式法與公式法的綜合運用．分析：考查了對一個多項式因式分解的能力，本題屬于基礎題．當一個多項式有公因式，將其分解因式時應先提取公因式，再對余下的多項式繼續(xù)分解．此題應提公因式，再用公式．解答：解：12x2﹣3y2=3（2x﹣y）（2x+y）．點評：本題考查因式分解．因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式與完全平方公式，要能用公式法分解必須有平方項，如果是平方差就用平方差公式來分解，如果是平方和需要看還有沒有兩數(shù)乘積的2倍，如果沒有兩數(shù)乘積的2倍還不能分解．解答這類題時一些學生往往因分解因式的步驟、方法掌握不熟練，對一些乘法公式的特點記不準確而誤選其它選項．要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可以提取公因式的要先提取公因式13．（3分）（2023?濟寧）甲乙兩地9月上旬的日平均氣溫如圖所示，則甲乙兩地這10天日平均氣溫方差大小關系為S甲2＞S乙2（填＞或＜）．考點：方差；折線統(tǒng)計圖．分析：根據(jù)氣溫統(tǒng)計圖可知：貴陽的平均氣溫比較穩(wěn)定，波動小，由方差的意義知，波動小者方差小．解答：解：觀察平均氣溫統(tǒng)計圖可知：乙地的平均氣溫比較穩(wěn)定，波動??；則乙地的日平均氣溫的方差小，故S2甲＞S2乙．故答案為：＞．點評：本題考查方差的意義：方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．14．（3分）（2023?濟寧）在平面直角坐標系中，以原點為中心，把點A（4，5）逆時針旋轉90°，得到的點A′的坐標為（﹣5，4）．考點：坐標與圖形變化-旋轉．分析：首先根據(jù)點A的坐標求出OA的長度，然后根據(jù)旋轉變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，可得OA′=OA，據(jù)此求出點A′的坐標即可．解答：解：如圖，過點A作AC⊥y軸于點C，作AB⊥x軸于點B，過A′作A′E⊥y軸于點E，作A′D⊥x軸于點D，，∵點A（4，5），∴AC=4，AB=5，∵點A（4，5）繞原點逆時針旋轉90°得到點A′，∴A′E=AB=5，A′D=AC=4，∴點A′的坐標是（﹣5，4）．故答案為：（﹣5，4）．點評：此題主要考查了坐標與圖形變換﹣旋轉，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：旋轉變換只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小．15．（3分）（2023?濟寧）若1×22﹣2×32=﹣1×2×7；（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）=﹣2×3×11；（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+（5×62﹣6×72）=﹣3×4×15；則（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=﹣n（n+1）（4n+3）．考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．分析：仔細觀察題目提供的三個算式，發(fā)現(xiàn)結果和式子序列號之間的關系，然后將這個規(guī)律表示出來即可．解答：解：∵1×22﹣2×32=﹣1×2×7=﹣1×2×（4×1+3）；（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）=﹣2×3×11=﹣2×3×（4×2+3）；（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+（5×62﹣6×72）=﹣3×4×15═﹣3×4×（4×3+3）；…（1×22﹣2×32）+（3×42﹣4×52）+…+[（2n﹣1）（2n）2﹣2n（2n+1）2]=﹣n（n+1）（4n+3），故答案為：﹣n（n+1）（4n+3）．點評：本題考查了數(shù)字的變化類問題，仔細觀察提供的算式，用含有n的代數(shù)式表示出來即可．三、解答題：本大題共7小題，共55分16．（5分）（2023?濟寧）計算：π0+2﹣1﹣﹣|﹣|考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪．專題：計算題．分析：原式第一項利用零指數(shù)冪法則計算，第二項利用負整數(shù)指數(shù)冪法則計算，第三項利用算術平方根的定義計算，最后一項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可得到結果．解答：解：原式=1+﹣﹣=．點評：此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．17．（7分）（2023?濟寧）某學校初三年級男生共200名，隨機抽取10名測量他們的身高（單位：cm）為：181，176，169，155，163，175，173，167，165，166．（1）求這10名男生的平均身高和上面這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）估計該校初三年級男生身高高于170cm的人數(shù)；（3）從身高為181，176，175，173的男生中任選2名，求身高為181cm的男生被抽中的概率．考點：列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；算術平均數(shù)；中位數(shù)．分析：（1）利用平均數(shù)及中位數(shù)的定義分別計算后即可確定正確的結論；（2）用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)即可；（3）列表將所有等可能的結果列舉出來，利用概率公式求解即可．解答：解：（1）平均身高為：=169cm；∵排序后位于中間的兩數(shù)167和169，∴中位數(shù)為168cm；（2）∵10人中身高高于170的有4人，∴200名初三學生中共有200×=80人；（3）身高分別為181，176，175，173的四名男生分別用1，2，3，4表示，列表得：12341121314221232433132344414243∵共有12種等可能的結果，有1的有6種，∴身高為181cm的男生被抽中的概率=．點評：本題考查了中位數(shù)、平均數(shù)及列表與樹狀圖的知識，解題的關鍵是能夠利用列表將所有等可能的結果列舉出來，難度不大．18．（7分）（2023?濟寧）小明到服裝店進行社會實踐活動，服裝店經(jīng)理讓小明幫助解決以下問題：服裝店準備購進甲乙兩種服裝，甲種每件進價80元，售價120元，乙種每件進價60元，售價90元．計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件．（1）若購進這100件服裝的費用不得超過7500元，則甲種服裝最多購進多少件？？（2）在（1）的條件下，該服裝店對甲種服裝以每件優(yōu)惠a（0＜a＜20）元的價格進行促銷活動，乙種服裝價格不變，那么該服裝店應如何調整進貨方案才能獲得最大利潤？考點：一次函數(shù)的應用；一元一次不等式組的應用．分析：（1）設甲種服裝購進x件，則乙種服裝購進（100﹣x）件，然后根據(jù)購進這100件服裝的費用不得超過7500元，列出不等式解答即可；（2）首先求出總利潤W的表達式，然后針對a的不同取值范圍進行討論，分別確定其進貨方案．解答：解：（1）設甲種服裝購進x件，則乙種服裝購進（100﹣x）件，根據(jù)題意得：，解得：65≤x≤75，∴甲種服裝最多購進75件；（2）設總利潤為W元，W=（120﹣80﹣a）x+（90﹣60）（100﹣x）即w=（10﹣a）x+3000．①當0＜a＜10時，10﹣a＞0，W隨x增大而增大，∴當x=75時，W有最大值，即此時購進甲種服裝75件，乙種服裝25件；②當a=10時，所以按哪種方案進貨都可以；③當10＜a＜20時，10﹣a＜0，W隨x增大而減?。攛=65時，W有最大值，即此時購進甲種服裝65件，乙種服裝35件．點評：本題考查了一元一次方程的應用，不等式組的應用，以及一次函數(shù)的性質，正確利用x表示出利潤是關鍵．19．（8分）（2023?濟寧）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一個外角．實驗與操作：根據(jù)要求進行尺規(guī)作圖，并在圖中標明相應字母（保留作圖痕跡，不寫作法）（1）作∠DAC的平分線AM；（2）作線段AC的垂直平分線，與AM交于點F，與BC邊交于點E，連接AE，CF．猜想并證明：判斷四邊形AECF的形狀并加以證明．考點：作圖—復雜作圖；角平分線的性質；線段垂直平分線的性質．專題：作圖題．分析：先作以個角的交平分線，再作線段的垂直平分線得到幾何圖形，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由AM平分∠DAC得∠DAM=∠CAM，則利用三角形外角性質可得∠CAM=∠ACB，再根據(jù)線段垂直平分線的性質得OA=OC，∠AOF=∠COE，于是可證明△AOF≌△COE，所以OF=OE，然后根據(jù)菱形的判定方法易得四邊形AECF的形狀為菱形．解答：解：如圖所示，四邊形AECF的形狀為菱形．理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵AM平分∠DAC，∴∠DAM=∠CAM，而∠DAC=∠ABC+∠ACB，∴∠CAM=∠ACB，∴EF垂直平分∠AC，∴OA=OC，∠AOF=∠COE，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE，∴OF=OE，即AC和EF互相垂直平分，∴四邊形AECF的形狀為菱形．點評：本題考查了復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了垂直平分線的性質和菱形的判定方法．20．（8分）（2023?濟寧）在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．F是邊BC上一點（不與B、C兩點重合），過點F的反比例函數(shù)y=（k＞0）圖象與AC邊交于點E．（1）請用k的表示點E，F(xiàn)的坐標；（2）若△OEF的面積為9，求反比例函數(shù)的解析式．考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．分析：（1）易得E點的縱坐標為4，F(xiàn)點的橫坐標為6，把它們分別代入反比例函數(shù)y=（k＞0）即可得到E點和F點的坐標；（2）分別用矩形面積和能用圖中的點表示出的三角形的面積表示出所求的面積，解方程即可求得k的值．解答：解：（1）E（，4），F(xiàn)（6，）；（2）∵E，F(xiàn)兩點坐標分別為E（，4），F(xiàn)（6，），∴S△ECF=EC?CF=（6﹣k）（4﹣k），∴S△EOF=S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△ECF=24﹣k﹣k﹣S△ECF=24﹣k﹣（6﹣k）（4﹣k），∵△OEF的面積為9，∴24﹣k﹣（6﹣k）（4﹣k）=9，整理得，=6，解得k=12．∴反比例函數(shù)的解析式為y=．點評：本題考查了反比例函數(shù)的性質和圖形的面積計算；點在反比例函數(shù)圖象上，則點的橫縱坐標滿足其解析式；在求坐標系內一般三角形的面積，通常整理為矩形面積減去若干直角三角形的面積的形式．21．（9分）（2023?濟寧）閱讀材料：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，==，利用上述結論可以求解如下題目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a，b，c．若∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．解：在△ABC中，∵=∴b====3．理解應用：如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，且乙船從B1處按北偏東15°方向勻速直線航行，當甲船航行20分鐘到達A2時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10海里．（1）判斷△A1A2B2的形狀，并給出證明；（2）求乙船每小時航行多少海里？考點：解直角三角形的應用-方向角問題．分析：（1）先根據(jù)路程=速度×時間求出A1A2=30×=10，又A2B2=10，∠A1A2B2=60°，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可得出△A1A2B2是等邊三角形；（2）先由平行線的性質及方向角的定義求出∠A1B1B2=75°﹣15°=60°，由等邊三角形的性質得出∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，那么∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．然后在△B1A1B2中，根據(jù)閱讀材料可知，=，求出B1B2的距離，再由時間求出乙船航行的速度．解答：解：（1）△A1A2B2是等邊三角形，理由如下：連結A1B2．∵甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，航行20分鐘到達A2，∴A1A2=30×=10，又∵A2B2=10，∠A1A2B2=60°，∴△A1A2B2是等邊三角形；（2）如圖，∵B1N∥A1A2，∴∠A1B1N=180°﹣∠B1A1A2=180°﹣105°=75°，∴∠A1B1B2=75°﹣15°=60°．∵△A1A2B2是等邊三角形，∴∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．在△B1A1B2中，∵A1B2=10，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，∠A2A1B2=60°，由閱讀材料可知，=，解得B1B2==，所以乙船每小時航行：÷=20海里．點評：本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，等邊三角形的判定與性質，方向角的定義，銳角三角函數(shù)的定義，學生的閱讀理解能力以及知識的遷移能力．正確理解閱讀材料是解題的關鍵．22．（11分）（2023?濟寧）如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點（點A在點B的上方），與x軸的正半軸交于點C，直線l的解析式為y=x+4，與x軸相交于點D，以點C為頂點的拋物線過點B．（1）求拋物線的解析式；（2）判斷直線l與⊙E的位置關系，并說明理由；（3）動點P在拋物線上，當點P到直線l的距離最小時．求出點P的坐標及最小距離．考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的長，結合垂徑定理