2022-2023學年湖北省襄陽市高二年級上冊學期第三次月考數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年湖北省襄陽市第四中學高二上學期第三次月考數(shù)學試題一、單選題1．若1，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)列，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】利用等差中項與等比中項的性質(zhì)求出，從而可得答案.【詳解】因為1，a，3成等差數(shù)列，1，b，4成等比數(shù)，所以，所以的值為，故選：D.2．雙曲線上的點到上焦點的距離為12，則到下焦點的距離為（

）A．22 B．2 C．2或22 D．24【答案】A【分析】設(shè)的上、下焦點分別為，根據(jù)雙曲線的定義求出或，再根據(jù)可得.【詳解】設(shè)的上、下焦點分別為，則．因為,,所以，，則，由雙曲線的定義可知，，即，解得或，當時，，不符合題意；當時，，符合題意.綜上所述：.故選：A3．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點的距離的比為常數(shù)的點的軌跡為圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知，圓上有且只有一個點滿足，則的值為（

）A．1 B．3 C．1或5 D．2或3【答案】C【分析】設(shè)，由兩點間的距離公式得，又圓上有且僅有一點P滿足，分兩圓外切和內(nèi)切，即可得到答案.【詳解】設(shè)，由，得，整理得，又圓：上有且僅有一點滿足，所以兩圓相切，圓的圓心坐標為，半徑為2，圓：的圓心坐標為，半徑為，兩圓的圓心距為3，當兩圓外切時，，得，當兩圓內(nèi)切時，，得.綜上可知，或.故選：C.4．過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交于，兩點，使得，若這樣的直線有且只有兩條，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別求解，在同一支上和不在同一支上，結(jié)合這樣的直線有且只有兩條，列出不等式組或，即得解【詳解】若，在同一支上，當時為雙曲線的通經(jīng)，即有；若，不在同一支上，則．因為與不可能同時等于6，所以或，解得或故選：B5．已知數(shù)列的前項和組成的數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由得，即，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得答案.【詳解】，，因為，所以，可得，而，所以時，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，所以.故選：A.6．有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點，已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（不含最底層正方體的底面面積）超過34，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】設(shè)從最底層開始的第層的正方體棱長為，則為等比數(shù)列，由此求出塔形表面積的表達式，令即可得出的范圍．【詳解】設(shè)從最底層開始的第層的正方體棱長為，，，，則為以2為首頂，以為公比的等比數(shù)列，是以4為首項，以為公比的等比數(shù)列．塔形的表面積，令，解得，該塔形中正方體的個數(shù)至少為5個．故選：B．7．在數(shù)列中，，且，若數(shù)列單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．（2，） B．（2，3） C．（，4） D．（2，4）【答案】C【分析】由遞推關(guān)系，結(jié)合條件，求出數(shù)列的通項公式，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，列不等式可求實數(shù)a的取值范圍.【詳解】因為，所以，，所以，又，，所以數(shù)列的偶數(shù)項按項數(shù)從小到大排列可得一公差為3的等差數(shù)列，所以當為偶數(shù)時，，當為大于等于3的奇數(shù)時，，因為數(shù)列{an}單調(diào)遞增，所以，所以當為大于等于3的奇數(shù)時，，化簡可得，當為大于等于4偶數(shù)時，，解得，由可得，，所以，故選：C.8．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).已知數(shù)列滿足，且，若，數(shù)列的前項和為，則（

）A．4956 B．4959 C．4962 D．4965【答案】B【分析】先利用累加法求出，得到當時，；當時，；當時，；當時,，直接求和可得答案.【詳解】由，且，根據(jù)累加法可得：，所以.所以.當時，；當時，；當時，；當時,.因此.故選：B.二、多選題9．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差為，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．當時，取得最小值【答案】ACD【分析】根據(jù)題干條件利用可得到，，，然后即可根據(jù)三個結(jié)論依次判斷四個選項的正誤.【詳解】因為，所以，，.對于A、B選項，因為，，所以，故選項A正確，選項B錯誤；對于C，因為，所以，故選項C正確；對于D，因為，，可知，，等差數(shù)列為遞增數(shù)列，當時，，當時，，所以當時，取得最小值，故D選項正確.故選：ACD.10．已知數(shù)列滿足，其中，為數(shù)列的前n項和，則下列四個結(jié)論中，正確的是（

）A． B．數(shù)列的通項公式為：C．數(shù)列的前n項和為： D．數(shù)列為遞減數(shù)列【答案】ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求數(shù)列通項公式；利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和;根據(jù)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系判斷數(shù)列的單調(diào)性.【詳解】因為，所以當時，，兩式相減得，所以，又因為當時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為：，故A正確，B錯誤，，所以，故C正確；因為，隨著的增大，在減小，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故D正確.故選:ACD.11．已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓交y軸于M，N兩點，設(shè)線段AB的中點為P，O為坐標原點，則下列說法中正確的是（

）A．B．若，則直線AB的斜率為C．若拋物線上存在一點到焦點F的距離等于3，則拋物線的方程為D．若點F到拋物線準線的距離為2，則的最小值為【答案】AD【分析】通過設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，，選項均可轉(zhuǎn)化為坐標的運算，代入根與系數(shù)的關(guān)系，得到結(jié)果，C選項可直接根據(jù)焦半徑公式，計算并判斷.【詳解】設(shè)，，直線l的方程為，由

得，則，．對于A，，故A正確；對于B，根據(jù)拋物線的定義可知，，故，所以，解得，所以直線l的斜率，故B不正確；對于C，由題意可知，解得，則拋物線的方程為，故C不正確；對于D，由題意可知，所以．易得，其中d是點P到y(tǒng)軸的距離，r為以AB為直徑的圓的半徑，且，．又，，且，所以，，所以，當時，取得最小值，故D正確．故選:.12．斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第項，則數(shù)列滿足：，，記，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由數(shù)列的遞推公式可判斷AB，由累加法可判斷CD.【詳解】由知，的前10項依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，即，A項正確；根據(jù)遞推公式，得，B正確；，，，，所以，即，故C正確；由遞推式，得，，…，，累加得，所以，所以，即，D項錯誤；故選：ABC.三、填空題13．正項等比數(shù)列中，，且存在兩項使得，則的最小值為___________.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式可構(gòu)造方程求得，進而化簡已知等式得到，根據(jù)，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，由得：，則，解得：（舍）或，由得：，，即；（當且僅當，時取等號），的最小值為.故答案為：.14．已知各項為正的數(shù)列的前項和為，滿足，則的最小值為___________.【答案】2【分析】根據(jù)，可得時，，求得的表達式，即可求得，代入化簡，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】各項為正的數(shù)列，，時，，即，化為：，，，又，解得，數(shù)列是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．，，，當且僅當時取等號，的最小值為2,故答案為：2．15．已知雙曲線的左，右頂點分別為，點在直線上運動，若的最大值為，則雙曲線的離心率為__________.【答案】##【分析】根據(jù)題意結(jié)合兩角差的正切公式整理可得，利用基本不等式求其最大值，即可得，運算求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為F，，則，由題意可得：，∵，當且僅當，即時等號成立，∴，整理可得：，故，即.故答案為：.16．已知橢圓的左?右焦點分別為，以線段為直徑的圓交于兩點，其中點在第一象限，點在第三象限，若，則的離心率的取值范圍是__________.【答案】【分析】首先畫出圖形，設(shè)，，根據(jù)橢圓的定義和圓的性質(zhì)得到，，從而得到，再構(gòu)造函數(shù)求其范圍即可.【詳解】如圖所示：設(shè)，，因為點在第一象限，所以.又因為均在以線段為直徑的圓上，所以四邊形為矩形，即.因為，所以，即.因為，，所以，即.因為，設(shè)，，即，.因為，所以在區(qū)間單調(diào)遞增.所以，即.當時，解得，即，解得；當時，解得，即，即.綜上.故答案為：四、解答題17．已知橢圓經(jīng)過點．(1)求的標準方程；(2)若直線與交于、兩點，且弦的中點為，求直線的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）將點的坐標代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的標準方程；（2）分析可知直線的斜率存在，設(shè)點、，由題意可得，利用點差法可求得直線的斜率.【詳解】（1）解：依題意可得，故橢圓的標準方程為．（2）解：，所以，點在橢圓內(nèi)，若直線軸，則的中點在軸上，不合乎題意，設(shè)點、，由題意可得，則，兩式相減，得．即，所以直線的斜率．18．已知數(shù)列的前n項和為，且，．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)．【分析】（1）首先利用，消元后再構(gòu)造數(shù)列的遞推形式，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可知，再根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可證明；（3）由（2）可得，再利用錯位相減法求和.【詳解】（1）證明：因為，時，，得所以當時，，兩式作差得，所以，又，所以，即，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列．（2）證明：由（1）可知，即，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列．（3）由（2）可知，即，根據(jù)題意得，則，所以，兩式相減得，即，所以．19．已知雙曲線的一條漸近線方程為，點在雙曲線上.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過定點的動直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點，與其兩條漸近線分別交于（點在點的左邊）兩點，證明：線段與線段的長度始終相等.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的標準方程.（2）設(shè)出直線的方程，并分別與雙曲線的漸近線方程、雙曲線方程聯(lián)立，利用中點坐標公式判斷出線段和共中點，從而證得線段與線段的長度始終相等.【詳解】（1）由雙曲線可得漸近線方程為，由漸近線方程的斜率為，有，可得.將點代入雙曲線的方程，有.聯(lián)立方程，解得，故雙曲線的標準方程為.（2）設(shè)點的坐標分別為，線段的中點的坐標為，線段的中點的坐標為.依題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，得；聯(lián)立方程，得.所以可得.聯(lián)立方程，消去后整理得，由解得，且，由于直線與雙曲線左右兩支分別相交，所以.所以，可得，所以，所以線段和共中點，故有.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.20．已知等比數(shù)列的前n項和為，且對，恒成立，，．(1)求數(shù)列的通項公式及前n項和；(2)設(shè)，求證：．【答案】(1)，，（）；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意解出、，再利用等比數(shù)列通項公式以及求和公式即可.（2）首先求出，再利用裂項相消求和，結(jié)合的范圍即可證明.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為q，由，，則，故．由得，解得∴，．（）（2）由（1）可知，，故∵，，則∴．故命題得證.21．在xoy坐標平面內(nèi)，已知橢圓的左、右焦點分別為、，直線與相交于A、B兩點．(1)記d為A到直線的距離，當變化時，求證：為定值；(2)當時，求的值；(3)過B作BM⊥x軸，垂足為M，OM的中點為N，延長AN交于另一點P，記直線PB的斜率為，當取何值時，有最小值？并求出此最小值．【答案】(1)答案見詳解；(2)；(3)答案見解析.【分析】（1）設(shè)，求出以及，進而可推出，即可證明為定值；（2）由平行四邊形可得.根據(jù)橢圓的定義有，根據(jù)余弦定理即可求出結(jié)果；（3）設(shè)，，則.令直線的斜率為，則直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得到坐標與的關(guān)系，進而表示出之間的關(guān)系，推出，然后根據(jù)基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）證明：設(shè)點坐標為，則有，.由已知可得，，，，，，.則，到直線的距離為.則，所以，是個與無關(guān)的定值，即當變化時，為定值.（2）如圖，連結(jié)，根據(jù)橢圓的對稱性，可得四邊形為平行四邊形.由橢圓的定義可得，，所以有.因為，所以.在中，由余弦定理可得，，即，又，兩式作差可得，則.（3）設(shè)，則，，故，.令直線的斜率為，則直線的方程為：，代入橢圓方程可得，，根據(jù)韋達定理可得，，于是.故，又因為.故.又因為，所以，.于是根據(jù)基本不等式，可得，當且僅當，即時，等號成立.所以，當，有最小值.【點睛】“設(shè)而不求”是解析幾何解題的基本手段，是比較特殊的一種思想方法.本題中，設(shè)出點的坐標較多，直線數(shù)量較多，需要轉(zhuǎn)