2018-2019學年吉林省長春外國語高二下學期第一次月考數(shù)學試題（解析版）

2018-2019學年吉林省長春外國語高二下學期第一次月考數(shù)學試題一、單選題1．若集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：把A中元素代入B中解析式求出y的值，確定出B，找出兩集合的公共元素，從而求得其交集.詳解：把A中代入B中得：，即，則故選C.點睛：由二次函數(shù)的值域求法，運用列舉法化簡集合B，再由交集的定義，即可得到所求.2．命題的否定是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得到結論．【詳解】命題，是全稱命題，命題，的否定是：，，故選：C．【點睛】本題考查含有量詞的命題的否定．3．設函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝()A． B．3 C． D．【答案】D【解析】【詳解】,,故選D.4．若則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用有理指數(shù)冪與對數(shù)的運算性質分別比較，，與0和1的大小得答案．【詳解】解：，，，．故選：B．【點睛】本題考查指對數(shù)值的大小比較，考查有理指數(shù)冪與對數(shù)的運算性質和單調(diào)性的應用．5．如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)開口向上的二次函數(shù)在對稱軸左邊單調(diào)遞減，即可求出的取值范圍。【詳解】的對稱軸為，又開口向上，即在上單調(diào)遞減即即故選A【點睛】本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間，主要注意區(qū)分函數(shù)在上是減函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，屬于基礎題。6．已知函數(shù)，若，則（）A． B． C．10 D．無法確定【答案】A【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，據(jù)此分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，則，則，若，則.故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的解析式，涉及函數(shù)值的計算．7．為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖像（）A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位【答案】C【解析】先化簡變形把變?yōu)?，然后由平移公式有對應相等可得，顯然是向左平移．8．若數(shù)列滿足，前三項和，則（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】推導出數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，由前三項和，解得，由此能求出．【詳解】解：數(shù)列滿足，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，前三項和，，解得，．故選：A．【點睛】本題考查數(shù)列的第3項的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質等基礎知識，考查運算求解能力．9．已知與垂直，則實數(shù)的值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】由題意利用兩個向量垂直的性質，兩個向量的數(shù)量積公式，求得實數(shù)的值.【詳解】已知與垂直，，則實數(shù)，故選：B．【點睛】本題考查兩個向量垂直的坐標運算公式以及數(shù)量積公式．10．已知直線與平行，則實數(shù)a的值為A．－1或2 B．0或2 C．2 D．－1【答案】D【解析】根據(jù)兩直線平行，列方程，求的a的值.【詳解】已知兩直線平行，可得a?a-（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．經(jīng)過驗證可得：a=2時兩條直線重合，舍去．∴a=-1．故選：D【點睛】對于直線若直線11．已知圓：與圓：的公共弦所在直線恒過定點，且點在直線上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】與,相減得公共弦所在直線方程：，即，所以由得，即，因此，選D.點睛：在利用基本不等式求最值或值域時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.12．已知為偶函數(shù)，對任意，恒成立，且當時，.設函數(shù)，則的零點的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由為偶函數(shù)，對任意，恒成立，知，所以函數(shù)的周期,又知，所以函數(shù)關于對稱，當時，做出其圖象.并做關于的對稱圖象，得到函數(shù)在一個周期上的圖象，其值域為，令，得，在同一直角坐標系內(nèi)作函數(shù)在上的圖象，由圖象可知共有8個交點，所以函數(shù)的零點的個數(shù)為8個.點睛：涉及函數(shù)的周期性及對稱性問題，一般要關注條件中的以及函數(shù)的奇偶性，通過變形處理都可以轉化為函數(shù)的對稱性及周期性問題，結合對稱性及周期性可研究函數(shù)零點個數(shù)及圖像交點個數(shù)問題.二、填空題13．已知變量滿足約束條件，則的最小值為_______【答案】【解析】作出滿足不等式組的可行域，由可得可得為該直線在軸上的截距，截距越大，越小，結合圖形可求的最大值【詳解】作出變量，滿足約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示：由于可得，則表示目標函數(shù)在軸上的截距，截距越大，越小作直線，然后把直線向平域平移，由題意可得，直線平移到時，最小，由可得，此時．故答案為：-3【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于中檔題．14．已知向量夾角為，且，則__________．【答案】【解析】試題分析：的夾角，，，，.【考點】向量的運算.【思路點晴】平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担善鸬交睘楹喌拿钣?利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù).15．若，且，則的最小值為_______.【答案】【解析】將變換為，展開利用均值不等式得到答案.【詳解】若，且，則時等號成立.故答案為【點睛】本題考查了均值不等式，“1”的代換是解題的關鍵.16．曲線在點（0，1）處的切線方程為.【答案】【解析】試題分析：，，切線斜率為，切線方程為，即.故答案為.【考點】利用導數(shù)求切線方程.三、解答題17．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當時，函數(shù)的最大值與最小值的和為，求實數(shù)的值．【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）.【解析】（1）利用二倍角公式和兩角和的正弦公式進行化簡為正弦型函數(shù)，進而求得最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當時，，再求出的最大值與最小值，然后列出方程求得的值．【詳解】（1）函數(shù)，函數(shù)的最小正周期為：，令，，解得：，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，；（2）當時，，令，解得：，此時函數(shù)取得最小值為：，令，解得：，此時函數(shù)取得最大值為：，又的最大值與最小值的和為，所以有：，解之得：.【點睛】本題考查三角恒等變換，考查正弦型函數(shù)的性質，考查運算求解能力，考查邏輯思維能力，屬于中檔題.18．等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；（2）.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件列有關和的方程組，求出和，即可求出等差數(shù)列的通項公式；（2）將數(shù)列的通項公式裂項，然后利用裂項求和法求出數(shù)列的前項和?！驹斀狻浚?）設等差數(shù)列的公差為，由可得，解得，；（2），?！军c睛】本題考查等差數(shù)列通項公式、裂項求和法，在求解等差數(shù)列的通項公式時，一般利用方程思想求出等差數(shù)列的首項和公差求出通項公式，在求和時要根據(jù)數(shù)列通項的基本結構選擇合適的求和方法對數(shù)列求和，屬于?？碱}型，屬于中等題。19．某校高一某班的某次數(shù)學測試成績（滿分為100分）的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據(jù)此解答下列問題：（1）求分數(shù)在的頻率及全班人數(shù)；（2）求分數(shù)在之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中間的矩形的高.（3）若從分數(shù)在和分數(shù)在90分以上的試卷選3份試卷進行試卷分析，求最高分的試卷被抽中的概率.【答案】（1）頻數(shù)0.08，全班人數(shù)25人；（2）頻數(shù)4，高0.016；（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖得分數(shù)在，的頻率為0.08，由莖葉圖得分數(shù)在，的頻數(shù)為2，由此能求出全班人數(shù)；（2）由莖葉圖得分數(shù)在，之間的頻數(shù)為4，由此能求出矩形的高；（3）分數(shù)在，的試卷有4份，分數(shù)在90分以上的試卷中選;中2份，基本事件總數(shù)，最高分的試卷被抽中包含的基本事件個數(shù)，由此能求出最高分的試卷被抽中的概率．【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖得分數(shù)在，的頻率為：，由莖葉圖得分數(shù)在，的頻數(shù)為2，全班人數(shù)為：，（2）由莖葉圖得分數(shù)在，之間的頻數(shù)為：，矩形的高為：．（3）從分數(shù)在，和分數(shù)在90分以上的試卷選3份試卷進行試卷分析，分數(shù)在，的試卷有4份，分數(shù)在90分以上的試卷中選中2份，基本事件總數(shù)，最高分的試卷被抽中包含的基本事件個數(shù)，最高分的試卷被抽中的概率．【點睛】本題考查頻率、頻數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖、莖葉圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力．20．已知圓內(nèi)有一點，為過點且傾斜角為的弦（1）當時，求弦長；（2）當弦被點平分時，求直線的方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)題意求出直線的斜率，表示出的方程，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再由半徑，利用垂徑定理及勾股定理求出弦的長即可；（2）根據(jù)為弦的中點，得出垂直于，根據(jù)直線的斜率求出直線的斜率，即可確定出直線的方程．【詳解】解：圓的方程可化為：，則，半徑，當時，直線的斜率為1，則直線方程為，則圓心到直線的距離，所以弦長；（2）設直線的斜率為，根據(jù)條件可知，則，所以，則直線的方程為，即．【點睛】本題考查直線與圓相交的性質，涉及的知識有：直線的斜率與傾斜角之間的關系，直線的點斜式方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握定理是解本題的關鍵．21．已知函數(shù)在處取得極小值.（1）求；（2）若對恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）求出導函數(shù)利用（2），得，在處取得極小值，得，然后求出的解析式即可；（2）求出函數(shù)的最值，要使在，上恒成立，只需，求解即可．【詳解】解：（1），由已知，所以，所以，所以，(2)由（1）得，由題可知，對恒成立，即對恒成立，，令，則或當，函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，所以，所以，解得或.【點睛】本題考查運用導數(shù)研究單調(diào)性、極值和最值，以及利用導函數(shù)解決恒成立問題，考查分析問題解決問題的能力．22．在極坐標系中，已知曲線，將曲線上的點向左平移一個單位，然后縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到曲線，又已知直線（是參數(shù)），且直線與曲線交于，兩點.（1）求曲線的直角坐標方程，并說明它是什么曲線；（2）設定點，求.【答案】(1)，表示焦點坐標為，長軸長為4的橢圓.(2).【解析】（1）先把曲線的極坐標方程化成直角方程，在利用變換得到曲線，它是橢圓．（2）點在直線上，可用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義來求．【詳解】（1）曲線的直角坐標方程為：即．∴曲線的直角坐標方程為，∴曲線表示焦點坐標為，長軸長為的橢圓．（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的方程中，得．設兩點對應的參數(shù)分別為，∴，∴．【點睛】如果直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)且，是直線的傾斜角），那么表示與之間的距離．因此，在參數(shù)方程中，針對直線上的動點到