2021-2022學年廣西壯族自治區(qū)百色市農(nóng)校綜合中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析

2021-2022學年廣西壯族自治區(qū)百色市農(nóng)校綜合中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.由不等式組圍成的三角形區(qū)域內(nèi)有一個內(nèi)切圓，向該三角形區(qū)域內(nèi)隨即投一個點，該點落在圓內(nèi)的概率是關(guān)于t的函數(shù)，函數(shù)的導數(shù)為，則（

）

A．B．

C．D．符號不確定參考答案：C2.已知命題：實數(shù)的平方是非負數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A.命題是真命題 B.命題是特稱命題C.命題是全稱命題 D.命題既不是全稱命題也不是特稱命題參考答案：C3.如圖，以的邊為直徑的半圓交于點，交于點，于，，,,則長為 （A） （B） （C） （D）參考答案：B考點：相似三角形圓連接BE，因為BC為直徑，所以

所以直角中，

又因為

又，設BF=5x,則BC=6x，

所以

在直角中，

又

故答案為：B4.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限

參考答案：D【知識點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．解析：因為，則復數(shù)對應的點位于第四象限，故選D.【思路點撥】利用復數(shù)的運算法則與幾何意義即可得出．

5.如圖，已知正方體棱長為4，點在棱上，且．點，分別為棱，的中點，是側(cè)面內(nèi)一動點，且滿足.則當點運動時，的最小值是（

）（A）

（B）

（C）（D）參考答案：【知識點】點、線、面間的距離計算G11B解析：以為直徑在平面內(nèi)作圓，該圓的半徑為，再過引的垂線，垂足為，連接，所以，其中的長為棱長4，因此當最小時，就取最小值，點到圓心的距離為3，所以的最小值為：，

所以的最小值為：，故選B.【思路點撥】由是側(cè)面內(nèi)一動點，且滿足，想到以為直徑在平面內(nèi)作圓，點在圓上，在中，，當最小時，就取最小值，從而轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上點的距離問題.6..已知復數(shù)，則下列說法正確的是（）A．z的虛部為4i

B．z的共軛復數(shù)為1﹣4iC．|z|=5

D．z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限參考答案：B7.給定函數(shù)①，②，③，④，其中在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是A．①②

B．②③

C．③④

D．①④參考答案：B略8.函數(shù)，在上的最大值為2，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.已知集合，則(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復數(shù)滿足，則=_________參考答案：略12.（2）（幾何證明選講選做題）如圖，已知：內(nèi)接于圓O，點在的延長線上，是圓O的切線，若，，則的長為

．參考答案：（2）13.已知，則____________.參考答案：略14.已知為球的半徑，過的中點且垂直于的平面截球面得到圓，若圓的面積為，則球的表面積等于__________________.參考答案：15.設x，y滿足不等式組，則的所有值構(gòu)成的集合中元素個數(shù)為____個．參考答案：716.已知，且，則的值為

.參考答案：17.已知定義域為的函數(shù)，若對于任意，存在正數(shù)，都有成立，那么稱函數(shù)是上的“倍約束函數(shù)”。下列函數(shù)：①；

②；③；

④其中正確的結(jié)論的序號是：_________參考答案：①④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.求證：對任意的有成立．

參考答案：用數(shù)學歸納法證明：

①當時，不等式成立；②假設當（，）時，不等式成立，即，那么當時

＝∴當時，不等式成立。由①②知對任意的,不等式成立．略19.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC的面積S的最大值．參考答案：（1）設內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．根據(jù)，可得，所以，又因為，所以．（2），所以，所以（時取等號）．20.設函數(shù)f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求證：當a=﹣時，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實數(shù)a的最大值．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）當a=﹣時，根據(jù)f（x）=的最小值為3，可得lnf（x）最小值為ln3＞lne=1，不等式得證．（Ⅱ）由絕對值三角不等式可得f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范圍．【解答】解：（Ⅰ）證明：∵當a=﹣時，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值為3，∴l(xiāng)nf（x）最小值為ln3＞lne=1，∴l(xiāng)nf（x）＞1成立．（Ⅱ）由絕對值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值為．21.（05年全國卷Ⅰ文）（12分）設正項等比數(shù)列的首項，前n項和為，且。（Ⅰ）求的通項；（Ⅱ）求的前n項和。參考答案：解析：（Ⅰ）由

得即可得因為，所以

解得，因而

（Ⅱ）因為是首項、公比的等比數(shù)列，故則數(shù)列的前n項和前兩式相減，得

即

22.（14分）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．（1）求a1的值；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn；（3）設數(shù)列{bn}滿足bn=，求證：b1+b2+…+bn＜．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）由已知得S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），a2=11，由此能求出a1．（2）當n≥2時，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），從而得到數(shù)列{an}是首項a1=5，公差為6的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{an}的前n項和Sn．（3）由=（），由此能證明b1+b2+…+bn＜．【解答】解：（1）∵Sn=nan﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2=11．∴S2=a1+a2=2a2﹣3×2（2﹣1），∵a2=11，解得a1=5．（2）當n≥2時，由an=Sn﹣Sn﹣1，得an=nan﹣3n（n﹣1）﹣（n﹣1）an﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2），∴（n﹣1）an﹣（n﹣1）an﹣1=6（n﹣1），∴an﹣an﹣1=6，n≥2，n∈N*，∴數(shù)列{a