2019-2020學年四川省眉山市高二上學期期末考試數(shù)學（理）試題 掃描版

眉山市高中2021屆第三學期期末教學質(zhì)量檢測(理工類)數(shù)學參考答案及評分意見2020.1一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分）題號123456789101112答案BADCCDBBAADB二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．SKIPIF1<014．SKIPIF1<015．516．SKIPIF1<0三、解答題（本題共6小題，共70分）17.解：（1）由題意可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0SKIPIF1<0所在直線的方程為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0…………3分同理SKIPIF1<0所在直線的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0聯(lián)立方程得SKIPIF1<0……………5分（2）由(1)可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0……………6分設(shè)SKIPIF1<0的外接圓的方程為SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0的坐標可得SKIPIF1<0解方程組可得SKIPIF1<0圓的方程為SKIPIF1<0……………10分18.解：（1）SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0的直徑，點SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的動點SKIPIF1<0SKIPIF1<0……………2分又直線SKIPIF1<0垂直于圓SKIPIF1<0所在平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……………4分又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……………6分（2）因為SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0的正三角形，則SKIPIF1<0……………8分SKIPIF1<0……………12分19.解：（1）設(shè)動點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0由題意可知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上運動SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0………………6分（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的平行直線為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離最大，SKIPIF1<0此時SKIPIF1<0的面積最大，SKIPIF1<0……………12分20.（1）證明：在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB，即BD2＝4＋16－16×＝12，所以BD＝2，所以BD2＋AB2＝AD2，………2分所以△ABD和△EBD均為直角三角形，所以ED⊥DB.………3分又DB是平面EBD和平面ABD的交線，且平面EBD⊥平面ABD，ED?平面EBD，所以ED⊥平面ABD.………4分又AB?平面ABD，所以AB⊥DE.………5分（2）由(1)知∠ABD＝∠CDB＝90°，以D為坐標原點，DB，DC，DE所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)，則D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，A(2，－2，0)，F(xiàn)(，0，1)，所以SKIPIF1<0＝(2，－2，0)，SKIPIF1<0＝(0，0，2)，SKIPIF1<0＝(－，2，1)．………………8分設(shè)平面ADE的法向量為n＝(x，y，z)，則有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令x＝1，則y＝SKIPIF1<0.又z＝0，所以SKIPIF1<0．…10分設(shè)直線AF與平面ADE所成的角為α，MPAEBCDSKIPIF1<0SKIPIF1<0則有MPAEBCDSKIPIF1<0SKIPIF1<021.在△APC中，點M為PA的中點，點N為PC的中點，所以AC∥MN.又MN?平面MDE，AC?平面MDE，所以AC∥平面MDE.………………3分（2）由∠ADC＝90°，得AD⊥CD，由平面PDCE⊥平面ABCD，且平面PDCE∩平面ABCD＝CD，得AD⊥平面PDCE，所以AD⊥PD.在矩形PDCE中，PD⊥CD，則DA，DC,DP兩兩垂直．以D為坐標原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，eq\r(2))，B(1，1，0)，C(0，2，0)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，0，eq\r(2))，eq\o(CP,\s\up6(→))＝(0，－2，eq\r(2))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)．…………4分設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(CP,\s\up6(→))·n＝－2y＋\r(2)z＝0,\o(BC,\s\up6(→))·n＝－x＋y＝0))，取n＝(1，1，eq\r(2))．………5分設(shè)直線PA與平面PBC所成角為θ，則sinθ＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,\a\vs4\al(|\o(AP,\s\up6(→))||n|))＝eq\f(\r(3),6).所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(3),6).……………7分又eq\o(DA,\s\up6(→))＝(1，0，0)，eq\o(DQ,\s\up6(→))＝(0，2－2λ，eq\r(2)λ)，設(shè)平面QAD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(DA,\s\up6(→))·n1＝x1＝0,\o(DQ,\s\up6(→))·n1＝（2－2λ）y1＋\r(2)λz1＝0))，令y1＝eq\r(2)λ，則n1＝(0，eq\r(2)λ，2λ－2)．由平面QAD與平面PBC所成的銳二面角為eq\f(π,3)，………………10分得coseq\f(π,3)＝eq\f(|n1·n|,|n1||n|)＝eq\f(|3\r(2)λ－2\r(2)|,2×\r(2λ2＋4（λ－1）2))＝eq\f(1,2)，所以λ＝eq\f(1,3)或λ＝1(舍去)，所以所求點Q為線段CP上靠近點C的一個三等分點，即在線段PC上存在點Q滿足條件．………………12分22.（1）由題意可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的垂直平分線上∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0………………1分∴SKIPIF1<0點的軌跡為橢圓，且SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由題意可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0………………3分（2）∵SKIPIF1<0，∴四邊形OACB為平行四邊形，當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，顯然不符合題意；當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為y＝kx＋3，SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋3,\f(x2,4)＋y2＝1))，得(1＋4k2)x2＋24kx＋32＝0.……………4分由Δ＝(24k)2－128(1＋4k2)>0得k2>2.x1＋x2＝－eq\f(24k,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(32,1＋4k2).∵S△OAB＝eq\f(1,2)|OD||x1－x2|＝eq\f(3,2)|x1－x2|，∴S?OACB＝2S△OAB＝3|x1－x2|＝3eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝3eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－24k,1＋4k2)))2－4×\f(32,1＋4k2))＝3eq\r(\f(242k2－1281＋4k2,1＋4k22))＝24eq\r(\f(k2－2,1＋4k22))，……………6分令k2－2＝t，則k2＝t＋2(由上式知t>0)，∴S?OANB＝24eq\r(\f(t,4t＋92))＝24eq\r(\f(1,72＋16t＋\f(81,t)))≤24eq\r(\f(1,144))＝2，當且僅當t＝eq\f(9,4)，即k2＝eq\f(17,4)時取等號，∴當k＝±eq\f(\r(17),2)時，平行四邊形OACB的面積的最大值為2.此時直線SKIPIF1<0的方程為y＝±eq\f(\r(17),2)x＋3.……………8分（3）由已知拋物線方程是SKIPIF1<0若直線斜率存在，設(shè)直線與曲線SKIPIF1<0的交點坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足曲線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，兩式作差可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0落在直線SKIPIF1<0上則有SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0，直線方程可以設(shè)為SKIPIF1<0與拋物線方程聯(lián)立SKIPIF1<0