函數(shù)極限概念

關(guān)于函數(shù)極限概念第一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二章極限本章學(xué)習(xí)要求：了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運(yùn)用“ε－δ”和“ε－X”語(yǔ)言描述函數(shù)的極限。理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。理解無(wú)窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無(wú)窮小量間的關(guān)系。掌握無(wú)窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)極限。了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系。理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極限求相應(yīng)的函數(shù)極限。第二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二章極限第二節(jié)函數(shù)的極限與性質(zhì)三.極限定義及定理小結(jié)四.函數(shù)極限的基本性質(zhì)第三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日由于數(shù)列實(shí)際上可以看成是定義域?yàn)檎麛?shù)域的函數(shù),所以,可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中,并用極限理論研究函數(shù)的變化情形.的圖形可以看出:如何描述它？第四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日第五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義想想：如何從幾何的角度來(lái)表示該定義？第六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日第七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日將圖形對(duì)稱過(guò)去后,你有什么想法?將圖形對(duì)稱第八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義第九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形,你有什么想法?第十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日你能否由此得出一個(gè)極限的定義和一個(gè)重要的定理.現(xiàn)在從整體上來(lái)看這個(gè)圖形,你有什么想法?第十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義第十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日由于

|

x|>X>0x>X

或

x<X,所以,x

按絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí),又包含了

x

的情形.既包含了

x+,第十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理及極限的三個(gè)定義即可證明該定理.由絕對(duì)值關(guān)系式:第十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日證成立.由極限的定義可知:例1第十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日解無(wú)限縮小,可以小于任意小的正數(shù).因而應(yīng)該有下面證明我們的猜想:證明過(guò)程怎么寫？例2第十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日這里想得通嗎？第十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日由圖容易看出：分析需要證明之處請(qǐng)同學(xué)們自己證一下.例3第十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日例4證第十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日

x

x0

時(shí)函數(shù)的極限,是描述當(dāng)x無(wú)限接近

x0

時(shí),

函數(shù)

f(x)的變化趨勢(shì).第二十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日f(shuō)(x)在點(diǎn)

x0=0處有定義.函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0=1處沒(méi)有定義.例5第二十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義第二十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日((第二十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日證這是證明嗎？非常非常嚴(yán)格！例6第二十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日證例7第二十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日證？如何處理它例8第二十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日這里|x+2|沒(méi)有直接的有界性可利用,但又必須設(shè)法去掉它.因?yàn)閤1,所以,從某時(shí)候開(kāi)始x

應(yīng)充分地接近

1

.(

)0x21111+1??????????分析結(jié)論第二十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日證證畢例8第二十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日在極限定義中：1)

與

和x0有關(guān),即=

(

,x0).一般說(shuō)來(lái),

值越小,相應(yīng)的

值也越小.

2)不等式|f(x)－a|<

既要對(duì)任意的>0,同時(shí)也要對(duì)x

x0以任何方式進(jìn)行都成立.3)函數(shù)f(x)以a為極限,但函數(shù)f(x)本身可以不取其極限值a.第二十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日y=a

y=a

y=axOyx0x0

x0+

曲線只能從該矩形的左右兩邊穿過(guò)第三十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.函數(shù)的左、右極限定義第三十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日定義第三十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個(gè)不存在.找找例題！函數(shù)在點(diǎn)x0處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：第三十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日y=f(x)xOy11在x=1處的左、右極限.解例9第三十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日定理利用|xx0|<

<xx0<和極限的定義,即可證得.第三十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日解例10第三十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日解例11第三十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日例12證第三十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日三、極限定義及定理小結(jié)第三十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日極限定義一覽表目標(biāo)不等式過(guò)程描述度量極限形式第四十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日極限定義一覽表目標(biāo)不等式過(guò)程描述度量極限形式第四十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日重要定理第四十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日在以后的敘述中,如果函數(shù)f(x)極限的某種性質(zhì)與運(yùn)算對(duì)任何一種極限過(guò)程均成立,則將使表示對(duì)任意一種極限過(guò)程的函數(shù)用符號(hào)四、函數(shù)極限的基本性質(zhì)極限.函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限的性質(zhì)類似,我們只列舉出來(lái),其證明過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們自己看書.第四十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.有界性定理若limf(x)存在,

則函數(shù)

f(x)在該極限過(guò)程中必有界.2.唯一性定理若limf(x)存在,

則極限值必唯一.3.保號(hào)性定理極限值的正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)的關(guān)系函數(shù)值的正負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系第四十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日極限值的正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)的關(guān)系該定理也稱為第一保號(hào)性定理第四十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日極限值正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)關(guān)系的推論作輔助函數(shù)F(x)=f(x)c

再利用定理的結(jié)論即可得證.第四十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日函數(shù)值的正負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系該定理也稱為第二保號(hào)性定理第四十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二保號(hào)性定理成立.運(yùn)用反證法,設(shè)f(x)0

(f(x)0)時(shí),有a<0(a>0),則由第一保號(hào)性定理將推出

f(x)<0

(f(x)>0)的矛盾,該矛盾就證明了第四十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日注意:當(dāng)f(x)>0

(f(x)<0)時(shí),按照第二保號(hào)性定理也只能得到a0(a0)結(jié)論.第四十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13第五十頁(yè)，共五十二頁(yè)，編輯于2023年，星期日函數(shù)值正負(fù)與極限值正負(fù)關(guān)系的推論若極限limf(x)=a,

limg(x)=b存在,即

limf(x)limg(x).且在該極限過(guò)程中

f(x)