2021版北師大版文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析 4.5函數(shù)y=sin（ωx+φ）的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2021版高考北師大版文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析4.5函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單含解析溫馨提示：此套題為Word版,請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊.核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一函數(shù)y=Asin（ωx+φ)的圖像及圖像變換1.若函數(shù)f(x)=cos2x-π6，為了得到函數(shù)g(x）=sin2x的圖像，A。向右平移π6B.向右平移π3C。向左平移π6D.向左平移π32.若將函數(shù)y=2cosx(sinx+cosx）-1的圖像向左平移φ個(gè)單位，得到的函數(shù)是偶函數(shù),則φ的最小正值是 (）A.π8 B.3π8 C。π23.已知函數(shù)f(x）=sin(ωx+φ）（ω〉0),若f(x）的圖像向左平移π3個(gè)單位所得的圖像與f(x)的圖像向右平移π6個(gè)單位所得的圖像重合,則ω的最小值為4.已知函數(shù)f(x）=4cosx·sinx+π6+a（1)求a的值及f(x)的最小正周期;（2)畫(huà)出f（x）在［0，π]上的圖像?！窘馕觥?.選A。f(x)=cos2x-π6=sinπ2+2x-π6=sin2x+π2。選A?；?jiǎn)函數(shù):y=2cosx(sinx+cosx)-1=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=2sin2x向左平移φ個(gè)單位可得y=2sin2x因?yàn)閥=2sin2x所以2φ+π4=π2+kπ,k∈Z,φ=kπ2+π由k=0可得φ的最小正值是π83。函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0）,把f(x）的圖像向左平移π3個(gè)單位所得的圖像為y=sin=sinωx+ωπ3+=sinωx-根據(jù)題意可得y=sinωx+ωπ3ωπ3+φ=2kπ—ωπ6+φ，k∈Z，求得ω=4k，k∈Z，故答案:44.（1）f(x）=4cosxsinx+=4cosx·32sinx+1=3sin2x+cos2x+1+a=2sin2x+π所以a=-1,最小正周期T=2π2=（2)由（1)知f(x)=2sin2x+πx0π5211π2x+ππππ32π13f（x)=2sin2120-201畫(huà)圖如圖所示:1.由函數(shù)y=sinx的圖像通過(guò)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ）的圖像有兩條途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移".2。y=Asin(ωx+φ）的圖像可用“五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)圖得到,可通過(guò)變量代換z=ωx+φ計(jì)算五點(diǎn)坐標(biāo)?！久霘⒔^招】排除法解T1，變形f（x)=sin2x+π3,觀察發(fā)現(xiàn)ω=2，所以不能平移π3,排除B,D；代入T4，可用伸縮法畫(huà)f（x)的圖像?？键c(diǎn)二由圖像求解析式【典例】1。已知函數(shù)y=f（x)=2sin(ωx+φ）ω>0,-π2<φ<A。2,-π3 B。2，-C.4,-π6 D.4，2.函數(shù)f(x)=Asin（ωx+φ）(A〉0，ω>0，|φ|〈π）的部分圖像如圖所示，則函數(shù)f（x)的解析式為。 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1看到A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),想到了求周期，從而求ω。由A，B兩點(diǎn)的位置想到了特殊點(diǎn)，從而求φ.2由圖像的最高點(diǎn)及最低點(diǎn)，想到了求A以及周期,從而確定ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)想到了求φ.【解析】1.選A。由題圖可知,34T=5π12+π所以2πω=π，即由2×5π12+φ=π2+2kπφ=-π3+2kπ，k∈Z，又—π2<φ〈故φ=—π32。由題圖知A=2,T4=7π12-π所以T=π，ω=2，所以f(x)=2sin(2x+φ)，又π3所以2×π3+φ=π+2kπ(k∈Z)，φ=π3+2kπ（k又｜φ｜〈π,所以φ=π3，所以f（x）=2sin2答案：f（x)=2sin2【一題多解】由題圖知A=2，T4=7π12—π3=π4ω·π所以f（x)=2sin2x答案：f（x)=2sin2確定y=Asin(ωx+φ)+B（A〉0，ω〉0)的解析式的步驟(1）求A,B,確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則A=M-m2（2）求ω，確定函數(shù)的周期T,則ω=2π（3)求φ，常用方法有:①代入法:把圖像上的一個(gè)已知點(diǎn)代入（此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）或把圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入.②五點(diǎn)法：確定φ值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法"中的特殊點(diǎn)作為突破口.具體如下：“第一點(diǎn)"(即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx+φ=0;“第二點(diǎn)”（即圖像的“峰點(diǎn)”)為ωx+φ=π2;“第三點(diǎn)”(即圖像下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx+φ=π；“第四點(diǎn)"（即圖像的“谷點(diǎn)”）為ωx+φ=3π2；“第五點(diǎn)”（即圖像上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)）為1。已知函數(shù)f（x）=Asin(ωx+φ）A>0,ω>0,|φA。f(x)=sin3x+π3C.f（x）=sinx+π3 【解析】選D。由圖像可知T4=5π12-π6=π4，所以T=π,所以ω=2πT=2，所以排除A、C；把x=2.已知函數(shù)f(x）=Asin(ωx+φ）A>0,|φ|<π2【解析】由圖像知A=2,又1=2sin(ω×0+φ)，即sinφ=12，又｜φ｜<π2，所以φ=π6.又11π12×ω+π6=2π，令2x+π6=π2+kπ（k∈Z),得x=kπ2+π所以f(x)=2sin2x+π6的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=kπ2答案：x=kπ2+π6（k考點(diǎn)三函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用命題精解讀1?？际裁?（1)三角函數(shù)模型的應(yīng)用,方程根(函數(shù)零點(diǎn))問(wèn)題，圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用等;(2)考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，以及數(shù)形結(jié)合的思想。2.怎么考：與三角函數(shù)圖像與性質(zhì),方程根,零點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)際問(wèn)題結(jié)合考查求解析式，性質(zhì),參數(shù)等。3。新趨勢(shì)：以考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用為主.學(xué)霸好方法三角函數(shù)模型的應(yīng)用策略（1）三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面:一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問(wèn)題;二是把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.(2)研究y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)時(shí)可將ωx+φ視為一個(gè)整體,利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題.三角函數(shù)模型的應(yīng)用【典例】(2020·滁州模擬）某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測(cè)部門(mén)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn):該地區(qū)近幾年的生豬收購(gòu)價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況:月份x1234收購(gòu)價(jià)格y（元/斤）6765選用一個(gè)三角函數(shù)模型來(lái)近似描述收購(gòu)價(jià)格(元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系為. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解析】設(shè)y=Asin（ωx+φ）+B（A〉0,ω〉0）,由題意得A=1，B=6，T=4，因?yàn)門(mén)=2πω,所以ω=π2因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí),y=6，所以sinπ2故π2+φ=2kπ，k∈Z，可取φ=-π所以y=sinπ2x-π2答案：y=—cosπ2方程根(函數(shù)零點(diǎn)）問(wèn)題【典例】已知函數(shù)f(x）=2sinωxcosωx+23sin2ωx-3（ω〉0)的最小正周期為π。 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。(2）將函數(shù)f（x）的圖像向左平移π6個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖像，若y=g(x）在[0,b](b>0)上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值【解析】（1)f（x)=2sinωxcosωx+3(2sin2ωx—1）=sin2ωx-3cos2ωx=2sin2ωx由最小正周期為π,得ω=1，所以f（x)=2sin2x-π3，由2kπ-≤2kπ+π2(k∈整理得kπ—π12≤x≤kπ+5π12所以函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間是kπ-π12（2）將函數(shù)f(x)的圖像向左平移π6所以g(x)=2sin2x+1.令g（x)=0，得x=kπ+7π12或x=kπ+11π所以在［0,π]上恰好有兩個(gè)零點(diǎn),若y=g(x）在[0，b］上有10個(gè)零點(diǎn),則b不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.所以b的最小值為4π+11π12=方程的根與函數(shù)圖像的交點(diǎn)有何關(guān)系？提示:方程根的個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).綜合應(yīng)用問(wèn)題【典例】（2019·全國(guó)卷Ⅲ）設(shè)函數(shù)f(x）=sinωx+π5（ω>0）,已知f(x)在［0,2π］上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，①f(x)在（0,2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②f(x)在(0,2π）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③f（x）在0,④ω的取值范圍是125其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是 （）A.①④ B。②③ C。①②③ D.①③④【解析】選D。①若f（x）在[0，2π］上有5個(gè)零點(diǎn)，可畫(huà)出大致圖像,由圖1可知，f(x)在(0,2π）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)，所以①正確.②由圖1、圖2可知，f（x）在（0,2π）有且僅有2個(gè)或3個(gè)極小值點(diǎn),故②錯(cuò)誤。③函數(shù)f(x）=sinωx+-π2+2kπ<ωx+π5<π2+2kπ2k-7取k=0,當(dāng)ω=125時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為-724π〈x〈1當(dāng)ω=2910時(shí),單調(diào)遞增區(qū)間為-729π<x<3綜上可得f（x)在0,π10④當(dāng)f（x)=sinωx+π5=0時(shí),ωx+π5=k所以x=kπ-因?yàn)閒(x）在[0，2π]上有5個(gè)零點(diǎn).所以當(dāng)k=5時(shí)，x=5π-π5當(dāng)k=6時(shí)，x=6π-π解得125≤ω〈2910，故所以結(jié)論正確的編號(hào)有①③④.本題考查哪些知識(shí)？提示:三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ）的圖像與性質(zhì),制圖用圖能力,數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。1.某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)y=a+Acosπ6(x-6)(x=1，2，3,…,12）來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高為28℃,12月份的月平均氣溫最低為18℃【解析】因?yàn)楫?dāng)x=6時(shí),y=a+A=28;當(dāng)x=12時(shí)，y=a-A=18，所以a=23,A=5,所以y=f(x）=23+5cosπ6所以當(dāng)x=10時(shí)，f（10)=23+5cosπ=23—5×12=20.5（℃答案：20。52.（2020·臨沂模擬)函數(shù)f(x）=sin2x-π【解析】由題意知，函數(shù)f(x）的圖像上相鄰的兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為函數(shù)f(x)的一個(gè)最小正周期，函數(shù)f(x)的最小正周期為2π答案:π3。已知關(guān)于x的方程2sin2x-3sin2x+m—1=0在π2,π上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則m【解析】方程2sin2x—3sin2x+m—1=0可轉(zhuǎn)化為m=1—2sin2x+3sin2x=cos2x+3sin2x=2sin2x+π6，x∈π2,π.設(shè)2x+π6=t,則t∈76π,136π,所以題目條件可轉(zhuǎn)化為m2=sint,t∈76π由圖像知,m2的取值范圍是-1,-答案：(—2,—1)1。函數(shù)y=Asin（ωx+φ)(A〉0,ω>0)的部分圖像如圖所示，則f(1)+f(2)+f（3)+…+f（2022)的值等于(）A。2 B.2+22C.2+2 D。2-2【解析】選A.由圖像知A=2，φ=0,T=8,所以2πω=8，即ω=π4因?yàn)橹芷跒?，且f(1)+f(2）+…+f（8)=0,所以f(1)+f(2)+…+f（2022）=f(1)+f(2)+f(3)+f（4）+f（5)+f(6)=2sinπ4+2sinπ2+2sin3π4+2sinπ+2sin5π2。(2019·全國(guó)卷Ⅰ)關(guān)于函數(shù)f（x)=sin|x|+｜sinx|有下述四個(gè)結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)②f（x）在區(qū)間π2③f(x)在［-π，π]有4個(gè)零點(diǎn)④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是 （)A。①②④ B。②④ C。①④ D。①③【解析】選C.因?yàn)閒（-x)=sin|-x｜+｜sin（—x）|=sin|x｜+｜sinx｜=f（x),所以f（x）為偶函數(shù),故①正確.當(dāng)π2<x〈π時(shí)，f(x)=2sinx,它在區(qū)間π2,π單調(diào)遞減,故②錯(cuò)誤。當(dāng)0≤x≤π時(shí)，f(x）=2sinx，它有兩個(gè)零點(diǎn)：0,π;當(dāng)-π≤x〈0時(shí)，f(x）=sin(—x