數(shù)學(xué)必修平面向量綜合練習(xí)題

數(shù)學(xué)必平面向量綜合習(xí)題ItlastJanuary2,2021

一、選擇題【共12小題】1下列說(shuō)法中正確的()A.兩個(gè)單位向量的數(shù)量積為1B.若a·b=a·c且a≠0,則b=cC.D.若⊥c,(a+c)·b=a·b參考答案與解析解析：A中兩向量的夾角不確;B若a⊥b,a⊥c,bc反方向則不成立;C中應(yīng)為

;Db⊥cb·c=0,所(a+c)·b=a·b+c·b=a·b.答案：D要考察知識(shí):向量、向量的運(yùn)算2、設(shè)e是單位向量,=2e,=-2e,||=2,四邊形ABCD()||=2,四邊形ABCD()=|=2,四邊形ABCD()2|=2,四邊形ABCD(),|=2,四邊形ABCD()則|=2,則四邊形ABCD()四|=2,則四邊形ABCD()邊|=2,則四邊形ABCD()形|=2,則四邊形ABCD()A|=2,四邊形ABCD()B|=2,四邊形ABCD()C|=2,四邊形ABCD()D|=2,四邊形ABCD()是|=2,則四邊形ABCD()(|=2,四邊形ABCD()|=2,四邊形ABCD()|=2,四邊形ABCD(

)|=2,四邊形ABCD()|=2,四邊形ABCD())|=2,四邊形ABCD()|=2,四邊形ABCD()A.梯形B.形C.矩形D.方形參考答案與解析解析：是平行四邊形又因?yàn)閨|=|

,所以||=||,且AB∥CD,以四邊形ABCD|=2,所以四邊形ABCD是菱形.答案：B要考察知識(shí):向量、向量的運(yùn)算3、已知|a|=|b|=1a的夾角為90°,c=2a+3b，d=ka-4b,c⊥d,實(shí)數(shù)k的值為()參考答案與解析解析：∵c⊥d,2k-12=0,∴k=6.答案：A要考察知識(shí):向量、向量的運(yùn)算4、設(shè)0≤θ2π,已知兩個(gè)向量

=(cosθsinθ),=(2+sinθ，θ)，則向量)

長(zhǎng)度的最大值(A.B.C.D.參考答案與解析解析：所以||=

=(2+sinθ,2-cosθ),≤=.答案：C要考察知識(shí):向量與向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示5、設(shè)向量a=(1,-3)b=(-2,4)c=(-1,-2)，若表示向量4a4b-2c2(a-c)d有向線(xiàn)段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為(

)A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)參考答案與解析解析：依題意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以d=-6a+4b-4c=(-2，-6).答案：D要考察知識(shí):向量與向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示6、已知向量a=(34)b=(-3，1)a的夾角為θ,θ等()A.參考答案與解析解析：由已知得，|a|=5，

，所以θ=

.由于θ∈0，π］,所以θ=.所以θ==-3.答案：D要考察知識(shí):向量與向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示7、向量a不共線(xiàn),

=a+kb,=la+b(k、∈R),且

與

共線(xiàn),、l應(yīng)滿(mǎn)足()+l=0=0+1=0=0參考答案與解析解析：因?yàn)?/p>

與

共線(xiàn),所以設(shè)

=λ(λ∈R),即la+b=λ(a+kb)=λa+λkb,所(l-λ)a+(1-λk)b=0.因?yàn)閍不共線(xiàn),以l-去得即kl-1=0.答案：D要考察知識(shí):向量、向量的運(yùn)算8、已知平面內(nèi)三點(diǎn)A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且λPB,的值為()

C.D.參考答案與解析解析：因?yàn)?/p>

=λ,所以(4，4)=λ(22).以.答案：C要考察知識(shí):向量與向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示9、設(shè)平面向量a1a2，a3和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1，b2b3足|bi|=2|ai|且ai順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后bi同，其中i=1，23則()+b2+b3=0+b3=0+b2-b3=0+b2+b3=0參考答案與解析解析：根據(jù)題意,向量的物理意,共點(diǎn)的向量模伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,三個(gè)向量都順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后力為原來(lái)的2倍,原來(lái)的合力為零所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0.答案：D要考察知識(shí):向量、向量的運(yùn)算10、設(shè)過(guò)點(diǎn)P(xy)的線(xiàn)分別與x軸的正半軸和y的正半軸交于AB兩，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y對(duì)稱(chēng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若方程是()

,且

·=1,則P點(diǎn)的軌跡+y2=1(x0,y＞0)=1(x0,y0)=1(x0,y＞0)+3y2=1(x＞0)參考答案與解析解析：設(shè)P(x,y),Q(-x,y).設(shè)A(xA),xA,B(0,yByB0,yB)=(xAx,-y).

=(x,y-∵又∵·

=2PA,∴x=2(xA,x),y-yB=2y,xA=

x,yB=3y(x0,y＞0).

x,3y)=1,x2+3y2=1(x＞0,y0).即答案：D要考察知識(shí):向量、向量的運(yùn)算11、已知△ABC，點(diǎn)D在BC上，且是()

，若

,則的值A(chǔ).C.參考答案與解析解析：△ABC中

==()=-

，故r+s=0.答案：B要考察知識(shí):向量、向量的運(yùn)算12、定義a※b=|a||b|sin，θ向量a和b的夾角，|a|、|b|別為ab的模，已知點(diǎn)A(-3,2)B(2,3),O坐標(biāo)原點(diǎn)，則)

※

等于(參考答案與解析解析：由題意可知

=(-3,2),=(2,3),計(jì)算得

·

=-3×2+2×3=0另一方面

·

=||||cosθ，∴cosθ=0,又∈(0,π)從而sinθ=1，※=||||sinθ=13.答案：D要考察知識(shí):向量與向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示二、填空題【共4道小題】1已知a+b+c=0,且a|=3,|b|=5,|c|=7,向量a與b的夾角是_

參考答案與解析解析：由已知得a+b=-c,邊平方得所以2a·b=72-32-52=15.設(shè)與b的夾角為θ,θ=所以答案：60°要考察知識(shí)點(diǎn):量、向量的運(yùn)算

==,2、若

=2e1+e2,=e1-3e2,

=5e1+λe2,B、CD點(diǎn)共線(xiàn),實(shí)數(shù)λ=___________.參考答案與解析解析：由已知可得

=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2,=(5e1+λe2)-(e1-3e2)=4e1+(λ+3)e2.由于BC、D三共,所以存在實(shí)數(shù)m使得

,即-e1-4e2=m4e1+(λ+3)e2.以-1=4m-4=m(λ+3),消mλ=13.答案：13主要考察知識(shí):向量、向量的運(yùn)算3、已知e1e2是夾角為60°的個(gè)單位向,則a=2e1+e2夾角是__________.參考答案與解析解析：運(yùn)用夾角公式cosθ=

，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié).答案：120°要考察知識(shí):向量、向量的運(yùn)算4、如圖2-1示，兩射線(xiàn)OA與OB于，則下列選項(xiàng)中向量的終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的是_________________.圖①②+③④+⑤-參考答案與解析解析：由向量減法法則可③⑤不符合條件,②然滿(mǎn)足，④滿(mǎn)足.答案：①②要考察知識(shí):向、向量的運(yùn)算

三、解答題【共6道小題】1、如圖2-2示，△ABC,

=c,=a,=b,且a·b=b·c=c·a試判斷△ABC形狀.圖參考答案與解析解：∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.又∴-(a+c)·(a-c)=0,∴|c|=|a|.理,|b|=|a|,故|a|=|b|=|c|,所以△ABC等邊三角形.要考察知識(shí):向量、向量的運(yùn)算2、如圖2-3示,知||=||=1，、

的夾角為120°,

與

的夾角為

|=5,用，

表示

.(注：cos75°=)圖參考答案與解析解：設(shè)

=λ+μ,則又

·=(λ+μ)·=λ+μ·=λ+μcos120°=λμ.·=||||cos45°=5cos45°=,∴λμ=,·=(λ+μ)·=λ·+μ=λcos120°+μ=λ+μ.又

·=||·|,∴λ+μ=.

∴λ=,μ=.∴=+.主要考察知識(shí):量、向量的運(yùn)算3、在四邊形ABCD(AB、CD時(shí)針排列),

=(6，1)

=(-2，-3).有∥,又有

⊥,求

的坐標(biāo).參考答案與解析解：設(shè)4,2-y),=(x-2,y-3).

=(x,y),

=(6+x,1+y),=(4+x,y-2),=(-x-又

∥

及

⊥,所以①(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0.②解得∴

或=(-6,3)(2,-1).要考察知識(shí):向量與向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示4、已知平面向量a=(

,-1),b=(,).(1)證明a⊥b;(2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k、t,使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,函數(shù)關(guān)系式參考答案與解析(1)明：因?yàn)閍·b=(

，-1)·(

，

)==0，所以a⊥b.(2)解：由已知得a|==2，|b|==1,由于x⊥y,所x·y=0,［a+(t2-3)b·(-ka+tb)=0.所以-ka2+ta·b-k(t2-3)b·a+t(t2-3)b2=0.

由于以-4k+t(t2-3)=0.所以t(t2-3).由已知k，t同時(shí)為零得k=

≠0).要考察知識(shí):向量與向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示5、已知a、bc是同一平面內(nèi)的三個(gè)向,中(1)|c|=,且∥a,求c的坐標(biāo);(2)|b|=,且a+2b與2a-b直,a與b的夾角θ.參考答案與解析解：(1)c=(xy),∵|c|=①∵c∥a,a=(12),即y=2x.

,∴,即x2+y2=20,聯(lián)立①②

或∴c=(2,4)(-2,-4).(2)∵(a+2b)即①∵|a|2=5|b|2=,代入①式得a·b=.∴cosθ==-1.又∵θ∈0，π］，∴π.要考察知識(shí):向量與向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

6、如圖2-4示,知