10道典型例題掌握初中數(shù)學(xué)最值問(wèn)題

PMN典例掌初數(shù)最問(wèn)PMN解決幾何最值問(wèn)題的通常思路：兩之線最；直外點(diǎn)直上有的線中垂段短三形邊和于三或角兩之小第邊重時(shí)取最）是解決幾何最值問(wèn)題的理論依據(jù)，根據(jù)不同特征轉(zhuǎn)化是解決最值問(wèn)題的關(guān)鍵．通過(guò)轉(zhuǎn)化減少變，向三個(gè)定理靠攏進(jìn)而解決問(wèn)題；直接調(diào)用基本模型也是解決幾何最值問(wèn)題的高效手段．幾何最值問(wèn)題中的基本模型舉例B

A圖形

A

P

l軸對(duì)稱最值

原理特征

ll兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短A，B為點(diǎn)l為直，為定點(diǎn)l為直線，P為線l上一線，MN為直線l上一條個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求APBP的動(dòng)線段，求AMBN的最小值小值

B三角形三邊關(guān)系A(chǔ)，B為點(diǎn)l為直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求-BP的最大值轉(zhuǎn)化

作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的稱點(diǎn)

先平移AM或BN使M，重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)

作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的稱點(diǎn)A折

圖形

M

疊最

B值

原理兩之間線段最短特征

在△中，N點(diǎn)分別是邊AB，BC上動(dòng)點(diǎn)，將△BMN沿MN翻，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，連接AB'求AB'最小值．轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)成求+NC的小值二典題圖P是∠內(nèi)一定點(diǎn)M分別在OA上動(dòng)AOBOP的周長(zhǎng)的最小值為．

3

PMN【分析關(guān)于OA對(duì)稱點(diǎn)接當(dāng)MN是與OA的交點(diǎn)時(shí)eq\o\ac(△,)PMN的周長(zhǎng)最短短值是的長(zhǎng)根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可以證得eq\o\ac(△,)是腰直角三角形此即可求解．【解答解作P關(guān)的稱點(diǎn)D連接OCOD則當(dāng)NCDOA的交點(diǎn)時(shí)，PMN周長(zhǎng)最短，最短的值是CD的．∵關(guān)OA對(duì)，∴∠∠，=OP同理，∠DOP=2∠，=OD1

∴∠COD=∠∠DOP=2（∠∠BOP）=2∠AOB=90°，=．∴△COD是腰直角三角形．則=

2

OC

2

2

=6．【題后思考】本題考查了對(duì)稱的質(zhì)，正確作出圖形，理PMN長(zhǎng)最小的條件是解題的關(guān)鍵．．如圖，當(dāng)四邊形的長(zhǎng)最小時(shí)，=

．【分析】因?yàn)?，的度都是固定的，所以求出PANB的度就行了．問(wèn)題就是+NB什時(shí)候最短．把B點(diǎn)向左平移個(gè)單位到點(diǎn)關(guān)x軸對(duì)稱點(diǎn)″連接AB″交軸從而確定點(diǎn)置，此時(shí)NB最．設(shè)直線AB的析式為=+b待定系數(shù)法求直線解析式．即可求得a的．【解答】解：將點(diǎn)左平移2位與重合，點(diǎn)B向平移單位到（2，作B關(guān)x軸對(duì)稱點(diǎn)″根據(jù)作法知點(diǎn)″，1設(shè)直線AB的析式為=+bk則

，解得k=4，b=﹣7∴y=4x﹣7當(dāng)=0時(shí)，x=

77，即P（，=．444故答案填：

74

．【題后思考】考查關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．2

．如圖、兩在直線的兩側(cè)，點(diǎn)到直線的距離AM，點(diǎn)B到線距離，且MNP為直線上的動(dòng)點(diǎn)，﹣|的最大值為．ADM

B′B

P【分析作點(diǎn)B于直線l的稱B則=PB因PA﹣|=|﹣則當(dāng)A在一條直線上時(shí)，PA﹣PB的值最大．根據(jù)平行線分線段定理即可求得和的然后根據(jù)勾股定理求得、PB的值，進(jìn)而求得﹣|的最大．【解答】解：作點(diǎn)B于線l的稱，并延長(zhǎng)交直線l于．∴N=BN=1過(guò)D點(diǎn)D⊥AM，利用勾股定理求出∴﹣的大值5【題后思考】本題考查了作圖﹣對(duì)稱變換，勾股定理等，熟兩點(diǎn)之間線段最短是答此題的關(guān)鍵．．動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB，=5．如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在邊的處折痕為，當(dāng)點(diǎn)A在BC邊移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)PQ也之移動(dòng)．若限定點(diǎn)P、Q分在AB、上移動(dòng)，則點(diǎn)在BC邊可移動(dòng)的最大距離為．【分析本關(guān)鍵在于找到兩個(gè)極端，即取大或最小值時(shí)，點(diǎn)P或Q的置．經(jīng)實(shí)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，分別求出點(diǎn)與重時(shí)取最大值和點(diǎn)Q重時(shí)的最小值．所以可求點(diǎn)A在邊上移動(dòng)的最大距離為2【解答】解：當(dāng)點(diǎn)P與重時(shí)取最大值是3，當(dāng)點(diǎn)Q與重時(shí)（如圖勾股定理得=4，此時(shí)取最小值為．則點(diǎn)A在邊移動(dòng)的最大距離為3﹣．故答案為：2【題后思考本考查了學(xué)生的動(dòng)手能力及圖形的折疊、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，難度稍大，學(xué)主要缺乏動(dòng)手操作習(xí)慣，單憑想象造成錯(cuò)誤．．如圖，直角梯形紙片ABCD，⊥AB=8ADCD=4點(diǎn)E、分別在線段、上，eq\o\ac(△,將)AEF沿翻折，點(diǎn)A的點(diǎn)記為P．當(dāng)P落直角梯形內(nèi)時(shí)的最小值等于．3

2222【分析如圖，經(jīng)分析、探究，只有當(dāng)直徑F最，且點(diǎn)落在BD上，最?。桓鶕?jù)勾股定理求出BD的度，問(wèn)題即可解決．【解答】解：如圖，∵當(dāng)點(diǎn)P在梯形的內(nèi)部時(shí)，P∠=90°∴四邊形PFAE是直徑的圓內(nèi)接四邊形，∴只有當(dāng)直徑EF最大，且點(diǎn)落在BD上，最小，此時(shí)E與點(diǎn)重合；由題意得：=AB=8，由勾股定理得：BD

=8

+6

2

=80，∴BD=，∴PD=

48

．【題后思考該題以直角梯形為載體，以翻折變換為方法，以考查全等三角形的判定及其性質(zhì)應(yīng)用為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是抓住圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一瞬間，動(dòng)中求靜，以靜制動(dòng)．．如圖，∠MON，矩形ABCD的點(diǎn)、分在邊OM上，當(dāng)B在ON上動(dòng)時(shí)隨之在OM上動(dòng)，矩的狀保持不變，其中AB=2，，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到的最大距離為．【分析的點(diǎn)接ODOE據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得過(guò)時(shí)最大．【解答】解：如圖，取的點(diǎn)，接、OE、，∵∠MON=90°，AB∴=

12

=1∵BC=1，四邊形ABCD是形，∴AD，∴DE=，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，＜OE，4

22222∴當(dāng)過(guò)是最大，最大值為．22222故答案為：

．【題后思考本考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，確定出OD過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)值最大是解題的關(guān)鍵．．如圖，線段AB的為4C為上動(dòng)點(diǎn)，分別以、BC為邊在AB同側(cè)作等腰直eq\o\ac(△,)和等腰直eq\o\ac(△,)，那么DE長(zhǎng)最小值是．【分析】設(shè)AC，﹣，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出=定理然后用配方法即可求解．【解答】解：設(shè)AC=x，BC﹣x，∵△eq\o\ac(△,)均等腰直角三角形

2x，CD′=（4﹣x據(jù)勾股∴=

2x，CD（﹣x∵∠，′=45°，∴∠，∴DECD+CE=

11x+（﹣）﹣x（﹣），22∵根據(jù)二次函數(shù)的最值，∴當(dāng)x取2時(shí)DE取小值，最小值為．故答案為：2．【題后思考本考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二函數(shù)最值．圖形中AK分別為線段BCCDBD上任意一點(diǎn)PKQK的最小值為．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，作點(diǎn)關(guān)于BD的稱點(diǎn)P，接PQ與BD交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)K然根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有線中垂直線段最短的性質(zhì)可知′CD時(shí)QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如圖，AB=2A=120°∴點(diǎn)P到的距離為2×

32

=

3

，∴PK+QK的小值為

3

．5

ADPABPACPABCDeq\o\ac(△,)ADPABPADPABPACPABCDeq\o\ac(△,)ADPABPeq\o\ac(△,)ABCDeq\o\ac(△,)ADPeq\o\ac(△,)ADPeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)【題后思考本考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，熟記菱形的軸對(duì)稱性和利用軸稱確定最短路線的方法是解題的關(guān)鍵．．如圖所示，正方形ABCD的長(zhǎng)為1點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)（可與、重別、C、D作線AP的線垂足分別為、、，BB′+DD的值范圍是．【分析】首先連接，．由正方形的長(zhǎng)為，即可得：

11S=，2S+==

11S，繼而可得AP（′+CCDD）=1又由≤22

，即可求得答案．【解答】解：連接，．∵四邊形是方形，正方形ABCD的長(zhǎng)1∴AB=CD，=1，1∵=，S+S=，2∴+=1，11∴?′+?′+?DD?BBDD）=1222則′+DD

2

，∵≤≤2，∴當(dāng)P與B重時(shí)，有最大值；當(dāng)P與重合時(shí)，有最小值

2

．∴

′+CCDD．故答案為：≤′+CCDD．【題后思考】此題考查了正方形性質(zhì)、面積及等積變換問(wèn)題．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是連接A，DP根據(jù)題意得到++=1，而得到′+CCDD=

2

．6

．圖，菱形ABCD中A°，、的徑分別為和1、F別是邊、和⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF最小值是．【分析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出