高斯公式-通量與散度

第六節(jié)Green公式Gauss公式推廣一、高斯公式*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件*三、通量與散度高斯公式*通量與散度

引言?！R公式：格林公式：三者共性（實(shí)質(zhì)）：把內(nèi)部問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊界問(wèn)題來(lái)處理.高斯公式：一、高斯公式

定理1設(shè)空間閉區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍成，函數(shù)P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)在Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有或（1′）這里Σ是Ω的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，cosα、cosβ、cosγ是Σ上點(diǎn)(x，y，z)處的法向量的方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高斯公式。下面先證:證明稱為XY-型區(qū)域,則定理1設(shè)所以若不是XY–型區(qū)域,則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè)XY–型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：定理1（2）關(guān)于Ω的邊界曲面的正向：Ω是單連通區(qū)域時(shí)取外側(cè)；Ω是復(fù)連通區(qū)域時(shí)外層取外側(cè)，內(nèi)層取內(nèi)側(cè)。關(guān)于高斯公式的說(shuō)明:（1）如穿過(guò)Ω內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線與Σ的交點(diǎn)多于兩個(gè)時(shí)，采用分塊的方法…（3）高斯公式成立的條件：P、Q、R在Ω上一階偏導(dǎo)連續(xù)。（4）Σ不閉合時(shí)，采取“補(bǔ)面”的方法：Σ+Σ1封閉，所圍區(qū)域Ω。及易于計(jì)算根據(jù)Gauss公式，用三重積分來(lái)計(jì)算曲面積分是比較方便的，但Gauss公式同時(shí)也說(shuō)明，可用曲面積分來(lái)計(jì)算三重積分Gauss公式的實(shí)質(zhì)表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.(5)由兩類曲面積分之間的關(guān)系知高斯公式的另一種形式：例1其中為柱面閉域

的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).解利用Gauss公式,得原式=及平面z=0,z=3所圍空間思考:若為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),如何計(jì)算?利用質(zhì)心公式,注意用Gauss公式計(jì)算這里若改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?例2其中為錐面解取上側(cè)介于z=0及z=h之間部分的下側(cè),,,為法向量的方向角.所圍區(qū)域?yàn)?則利用Gauss公式計(jì)算積分作輔助面利用質(zhì)心公式,注意思考:提示:介于平面z=0及z=2之間部分的下側(cè).先二后一計(jì)算曲面積分作取上側(cè)的輔助面例3設(shè)為曲面取上側(cè),求解

作取下側(cè)的輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)拉普拉斯算子【證】利用高斯公式，即得PQR*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件1.連通區(qū)域的類型設(shè)有空間區(qū)域G,若G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G,則稱G

為空間二維單連通域;若G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片全屬于G的曲面,則稱G為例如,球面所圍區(qū)域環(huán)面所圍區(qū)域立方體中挖去一個(gè)小球所成的區(qū)域不是二維單連通區(qū)域.既是一維也是二維單連通區(qū)域;是二維但不是一維單連通區(qū)域;是一維但空間一維單連通域.2.閉曲面積分為零的充要條件定理2在空間二維單連通域G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),為G內(nèi)任一閉曲面,則①證根據(jù)高斯公式可知②是①的充分條件.的充要條件是:②“必要性”.用反證法.已知①成立,“充分性”.因P,Q,R在G內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則存在鄰域則由高斯公式得與①矛盾,故假設(shè)不真.因此條件②是必要的.取外側(cè),*三、通量與散度引例.設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的密度為1,速度場(chǎng)為理意義可知,設(shè)為場(chǎng)中任一有向曲面,單位時(shí)間通過(guò)曲面的流量為則由對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物由兩類曲面積分的關(guān)系,流量還可表示為若為方向向外的閉曲面,

當(dāng)>0時(shí),說(shuō)明流入的流體質(zhì)量少于當(dāng)<0時(shí),說(shuō)明流入的流體質(zhì)量多于流出的,則單位時(shí)間通過(guò)的流量為當(dāng)=0時(shí),說(shuō)明流入與流出的流體質(zhì)量相等.流出的,表明內(nèi)有泉;表明內(nèi)有洞;根據(jù)高斯公式,流量也可表為方向向外的任一閉曲面

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記所圍域?yàn)?設(shè)是包含點(diǎn)M且為了揭示場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)M處的特性,在式兩邊同除以的體積V,并令以任意方式縮小至點(diǎn)M則有此式反應(yīng)了流速場(chǎng)在點(diǎn)M的特點(diǎn):其值為正,負(fù)或0,分別反映在該點(diǎn)有流體涌出,吸入,或沒有任何變化.定義設(shè)有向量場(chǎng)其中P,Q,R具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),是場(chǎng)內(nèi)的一片有向則稱曲面,其單位法向量n,為向量場(chǎng)A通過(guò)在場(chǎng)中點(diǎn)M(x,y,z)處記作divergence顯然有向曲面的通量(流量).稱為向量場(chǎng)A在點(diǎn)M的散度.高斯公式可寫成表明該點(diǎn)處有正源,表明該點(diǎn)處有負(fù)源,表明該點(diǎn)處無(wú)源,散度絕對(duì)值的大小反映了源的強(qiáng)度.若向量場(chǎng)A處處有例如,勻速場(chǎng)故它是無(wú)源場(chǎng).說(shuō)明: