工程力學(xué)之應(yīng)力應(yīng)變

應(yīng)力應(yīng)變分析本章研究一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力和應(yīng)變是變形體力學(xué)中非常重要的概念。主要內(nèi)容如下：應(yīng)力應(yīng)變分析§11.1一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)§11.2應(yīng)力張量的表示方法§11.3平面應(yīng)力狀態(tài)§11.4應(yīng)力圓§11.5三向應(yīng)力狀態(tài)§11.6應(yīng)變狀態(tài)(與平面應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的)§11.7應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系§11.1一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)內(nèi)力是截面上的分布內(nèi)力的等效力系載荷集度稱為上的平均應(yīng)力將分解為與法向和切向的力，內(nèi)力與應(yīng)力的概念則稱為正應(yīng)力（法向應(yīng)力）

稱為剪應(yīng)力（切應(yīng)力）M點(diǎn)在截面上的正應(yīng)力M點(diǎn)在截面上的剪應(yīng)力應(yīng)力的量綱一點(diǎn)處所有各方位截面上的應(yīng)力的集合稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，一點(diǎn)處的應(yīng)力與其集度以及的法向相關(guān),因此可用兩個并在一起的矢量表示,并且在不同的坐標(biāo)系中滿足一點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，這在數(shù)學(xué)上成為張量，描述應(yīng)力的張量稱為應(yīng)力張量§11.2應(yīng)力張量的表示方法取一包圍該點(diǎn)的微元體（單元體）其各棱邊相互垂直，各棱邊的長分別為或由于單元體很小其上的應(yīng)力可看作均勻分布各面上的應(yīng)力可用3*3的矩陣表示（i,j=1,2,3）應(yīng)力分量,應(yīng)力張量。按上述約定假設(shè)應(yīng)力的方向?qū)φ龖?yīng)力，則是拉應(yīng)力為正。考慮單元體力矩對軸的平衡方程有：（不考慮體力偶）同理上述關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等定理設(shè)表示軸與軸的方向余弦。則可以證明應(yīng)力張量可用來描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)坐標(biāo)變換矩陣§11.3平平面應(yīng)力狀態(tài)態(tài)若單元體上不為為零的應(yīng)力分量量都位于同一平平面內(nèi)稱為平面面應(yīng)力狀態(tài)。例如當(dāng)物體的表表面不受力時(shí)在在表面取出單元元體例如外力作用在在板平面內(nèi)的薄薄板設(shè)不為0的應(yīng)力力分量都位于xy平面內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)給出各方位截面上的應(yīng)力情況，截面

上的應(yīng)力,其與

軸正向的夾角以逆時(shí)針方向?yàn)檎跏紗卧w：顯然：由將代入

由同理可得(a)(b)(c)式有兩個解將(c)式代入(b)式有單元體上剪應(yīng)力力為0的截面稱稱為主平面主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力主應(yīng)力為各方程截面上正應(yīng)力的極值一個為極大值一個為極小值、以主平面為單元體的各面稱為主單元體同理可求出的極值及例已知初始單元元體上的應(yīng)力（（Mpa）求主單元體上的的應(yīng)力并畫出主主單元體解：§11.4應(yīng)應(yīng)力圓一點(diǎn)處平面應(yīng)力力狀態(tài)的圖解法法，直觀各方位位的應(yīng)力情況一一目了然。由(a)(b)上兩式兩邊平方方后相加則上式在應(yīng)力坐坐標(biāo)中為一圓稱稱為應(yīng)力圓莫爾爾圓圓心坐標(biāo)：半徑：因此，當(dāng)連續(xù)變化至?xí)r，坐標(biāo)繞應(yīng)力圓的圓心轉(zhuǎn)一周

應(yīng)力圓的畫法：建應(yīng)力坐標(biāo)系，取比例尺,定點(diǎn)或由圓心,半徑——畫圓

應(yīng)力圓上一點(diǎn)，由繞圓心轉(zhuǎn)過角，對應(yīng)截面上的應(yīng)力

應(yīng)力圓畫畫法證明：同理可以證明：

及的方位極值點(diǎn)的方位與主平面方位相差對應(yīng)的應(yīng)力

任意兩相互垂直直截面上的正應(yīng)應(yīng)力之和由(a)式例確定主平面方程畫出主單元體及其上的應(yīng)力，并在應(yīng)力圓上標(biāo)出圖示截面上的應(yīng)力單位：

解：主單元體：例2已知應(yīng)力圓畫出初始單元體及其應(yīng)力主單元體及應(yīng)力單位解：初始單元體體半徑

主單元體：§11.5三三向應(yīng)力狀狀態(tài)將三個主應(yīng)力按按代數(shù)量的大小小順序排列因此根據(jù)每一點(diǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可可以找到3個相相互垂直的主應(yīng)應(yīng)力三向應(yīng)力圓空間任意方程截面上的應(yīng)力，與三向應(yīng)力圓所夾陰影面中某點(diǎn)的應(yīng)力坐標(biāo)表示。

一點(diǎn)處最大的剪應(yīng)力

三向應(yīng)力圓單向、雙向、三三向應(yīng)力狀態(tài)例：求

解：在，平面內(nèi)

三向應(yīng)力圓如圖圖注意：不是同一一平面的應(yīng)力不不能用平面應(yīng)力力狀態(tài)方法求解解?！?1.6應(yīng)應(yīng)變狀態(tài)（與平面應(yīng)力狀狀態(tài)對應(yīng)的）一點(diǎn)的變形有線應(yīng)變和剪應(yīng)變，單元體的相應(yīng)尺寸與應(yīng)變相乘得單元體的變形

在，坐標(biāo)下

在，坐標(biāo)下，方向到方向夾角

令，各個方位應(yīng)變的情況稱為一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與平面應(yīng)力狀態(tài)的分析類似有

應(yīng)變花：可證明：在應(yīng)力或變形不是很大的情況下（線彈性范圍）主應(yīng)力與主應(yīng)變的方位是重合的?；⒖硕?/p>

比例系數(shù)稱為材料的彈性模量

比例系數(shù)稱為泊松比

§11.7應(yīng)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系系1、單向應(yīng)力狀狀態(tài)2、純剪應(yīng)力狀狀態(tài)在線彈性范圍內(nèi)

剪切虎克定律

——剪切彈性模量

可證明

只有作用時(shí)3、廣義虎克定定律對主單元體例：已知一構(gòu)件表面一點(diǎn)的應(yīng)變

求該點(diǎn)的主應(yīng)應(yīng)力和最大剪應(yīng)應(yīng)力解：設(shè)

則

整理后例2已知，求設(shè)

解：取一單元體體積受應(yīng)力作用變形變形后的體積

4、體積變形單位體積的改變量