工程力學(xué)平面力系的平衡條件

2.5平面力系的平衡條件研究思路：受力分析如何簡化？共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)力力偶系可合成為一個(gè)合力偶力向一點(diǎn)平移力系的簡化平衡條件一般力系xyM2M1問題：如何將力移到同一個(gè)作用點(diǎn)上？或者說力如何移到任一點(diǎn)O？OF12.5平面力系的平衡條件作用在剛體上力的F，可以平移到其上任一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一力偶，力偶矩等于力的大小乘以點(diǎn)到力作用線間的距離。2.5.1力對(duì)點(diǎn)之矩1.力的平移定理OFOF'F''hFoM=FhF22.力對(duì)點(diǎn)之矩力F平移，等效變換成作用在O點(diǎn)的力F和力偶M。力偶矩M=Fh，是力F使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量。力臂h為點(diǎn)O（矩心）到力F作用線的垂直距離。

注意力和力偶對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)作用效果的差別。故力F對(duì)任一點(diǎn)O之矩(力矩)為:OF'F''hF力對(duì)點(diǎn)之矩與點(diǎn)有關(guān)；若力過O點(diǎn)，則MO(F)=0。力矩是代數(shù)量，逆時(shí)針為正。3合力矩定理：合力對(duì)點(diǎn)之矩等于其各分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。直接求力矩：MO(F)=F.d=F(Lsina+bcosa+asina)MO(Fx)+MO(Fy)=Fy(L+a)+Fxb=F(Lsina+bcosa+asina)=MO(F)利用合力矩定理：OaF求MO(F)FxFy4推論：力偶對(duì)任一點(diǎn)之矩就等于該力偶矩。注意：力偶在任一軸上的投影為零。MO(F)+MO(F)=FAO+FBO=FAB=M

F

F

OAB力偶有:F=F

;F//F

請(qǐng)自行證明:Fx+Fy=0

xF

F

52.5.2平面一般力系的簡化

若作用于物體上所有的力（包括力偶）都在同一平面內(nèi)，則力系稱為平面一般（任意）力系。平面一般力系：各力作用線匯交于同一點(diǎn)(不含力偶)匯交力系:平行力系:各力作用線相互平行(可包含力偶)特例一般力系yxM2M1匯交力系yxA平行力系yxM36平面一般力系，向任一點(diǎn)O簡化，共點(diǎn)力系可合成為一個(gè)力FR'（主矢）,即：

FR'=F1+F2+…+Fn=Fi或用解析法寫為:FRx=F1x+F2x+…+Fnx=Fx

FRy=F1y+F2y+…+Fny=Fy注意：FR'與簡化中心O點(diǎn)的位置選取無關(guān)。得到一個(gè)匯交于O點(diǎn)的共點(diǎn)力系和一個(gè)平面力偶系。xyO(a)F4F2F1F5F3MyxF2OM3M(b)F3F4F5F1M2M1M4M5yx(c)OFR'MO7力偶系可合成為一個(gè)合力偶，合力偶之矩MO是各力偶之矩的代數(shù)和。即:

MO=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)+MO(M)=MO(Fi)FR'M0O平面一般力系力主矢FR力偶主矩MO

簡化力？平移MO稱為原力系對(duì)簡化中心O的主矩，顯然，MO與簡化中心O點(diǎn)的位置有關(guān)。h=M0/FR

FRA8

情況向O點(diǎn)簡化的結(jié)果力系簡化的最終結(jié)果分類 主矢FR'

主矩MO（與簡化中心無關(guān)）討論1平面一般力系簡化的最終結(jié)果yxOFR'MOFRh3 FR0MO=0合力FR=FR，作用線過O點(diǎn)。2 FR'=0MO0 一個(gè)合力偶，M=MO。1 FR’=0MO=0 平衡狀態(tài)（力系對(duì)物體的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)作用效果均為零）。4FR‘0MO0一個(gè)合力，其大小為FR=FR，

作用線到O點(diǎn)的距離為h=MO/FR'FR在O點(diǎn)哪一邊，由LO符號(hào)決定平面力系簡化的最終結(jié)果，只有三種可能：一個(gè)力；一個(gè)力偶；或?yàn)槠胶饬ο怠?例：求圖示力系的合力。FRx=Fx=F1+4F2/5-3F3/5=6+8-9=5kNFRy=Fy=-3F2/5-4F3/5+F4

=-6-12+8=-10kN合力FR=FR=11.1kN；作用線距O點(diǎn)的距離h為：

h=M0/FR=1.09(m)；

位置由Mo

的正負(fù)確定，如圖。Mo=2F1-3(4F2/5)+4(3F3/5)-4F4+M=12kN.m解：力系向O點(diǎn)簡化，有：xO(m)y(m)22242F1=6KNF2=10KNF3=15KNF4=8KNM=12KN.m4FR

hFR'MO主矢

FR==kN；指向如圖。22yRxRFF￠￠+12510設(shè)載荷集度為為q(x)，在距O點(diǎn)x處取微段dx,微段上的力為q(x)dx。討論2同同向分布平平行力系合合成合力FR的作用線到O的距離為：

h=MO/FR'=

/

òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(xdxq(x)qOxolFRh以O(shè)點(diǎn)為簡化中心，主矢和主矩為：

FR=q(x)dx=；MO=xq(x)dx=òl(fā)dxxq0)(òl(fā)dxxxq0)(FR'0，MO0；故可合成為一個(gè)合力，且

FR=FR'=òl(fā)dxxq0)(FR大小等于分布載荷圖圖形的面積積FR的作用線通過過分布載荷荷圖形的形形心。11故同向分布平平行力系可可合成為一一個(gè)合力，合力的大小小等于分布布載荷圖形形的面積，作用線通過過圖形的形形心，指向與原力力系相同。例求梁上分布布載荷的合合力。解：載荷圖形形分為三部部分，有設(shè)合力FR距O點(diǎn)為x，由合力矩定定理有：-FRx=-FR1-3.5FR2-3FR3=-(1.6+2.1+2.7)=-6.4kN.m得到x=6.4/3.1=2.06m故合力為3.1kN，作用在距O點(diǎn)2.06m處，向下。。FR1=1.6kN;作用線距O點(diǎn)1m。FR2=0.6kN;作用線距O點(diǎn)3.5m。FR3=0.9kN;作用線距O點(diǎn)3m。合力FR=FR1+FR2+FR3=3.1kN。q=0.8kN/m0.22m3mxO32FR11FR2FR3FRx12例求圖中分布布力系的合合力。解：FR1=2q1=1KN;FR2=3q2/2=6KN;合力的大小小：FR=FR2-FR1=5KN方向同F(xiàn)R2，如圖。合力作用位位置(合力矩定理理):FRx=3×FR2-1×FR1;x=(18-1)/5=3.4mq1=0.5KN/m2m3mq2=4KN/mAFR1FR2FRx132.5.3平面力系的的平衡條件件

平面一般力系處于平衡，充分和必要條件為力系的主矢FR'和主矩MO都等于零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必過O點(diǎn)；1、2式指出：若有合力。必垂直于x軸且垂直于y軸。故平面一般力系的平衡方程為：（基本形式）（x軸不平行于y軸）14平面一般力力系平衡方方程還可表表達(dá)為下列列二種形式式：二力矩式（AB不垂垂直于X軸)注意：平衡方程中，投影軸和矩心可任意選取，可寫出無數(shù)個(gè)平衡方程。但只要滿足了其中一組，其余方程均應(yīng)自動(dòng)滿足，故獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)。三力矩式(A、B、C三點(diǎn)不共線線)15取匯交點(diǎn)為為矩心，力力矩方程自自動(dòng)滿足。。獨(dú)立平衡方方程只有二二個(gè),為：

平面匯交力力系:取x軸垂直于各力，則x的投影方程滿足。獨(dú)立平衡方程也只有二個(gè),為：平面平行力系:yxMyx16三拱鉸受力再分析ABCF三鉸拱ABFo討論1：二力平衡必共線F1oF2討論2：三力平衡必共點(diǎn)F1F2F3oBCFB二力桿FC17問題討論1：若q=a,求梁上分布布載荷的合合力。aaar=aq2q解：FR1=3qa=3a2FR2=2a2-a2/2FR=5a2-a2/2;由合力矩定定理有：FRx=1.5aFR1+2aFR2=4.5a3+4a3-a3=8.5a3-a3x=(8.5-)a/(5-/2)FR2FR1xFR18問題討論2：判斷所列平平衡方程組組是否必要要且充分的的。(a)(b)(c)Fx=0Fy=0M0(F)=0Fy'=0Fy'=0MA(F)=0MA(F)=0MA(F)=0MB(F)=0思路：平面力系簡化為為一個(gè)力；或一一力偶；或平衡衡。滿足任一力矩平平衡方程，則不不可能有合力偶偶；滿足任一投影平平衡方程，若有有合力則必垂直直于投影軸。由此，用反證法法判斷。充分

可能有合力（過A垂直于y）

可能有合力（垂直于OAB）xyxyoABC191)剛體靜靜力學(xué)研究的基本問題是：受力分析，平衡衡條件，解決靜靜力平衡問題。。小結(jié)結(jié)4)力F對(duì)任一點(diǎn)O之矩為Mo(F)=F.h。合力對(duì)某點(diǎn)之矩等于其分力對(duì)對(duì)該點(diǎn)之矩的代代數(shù)和。5)作用在剛剛體上力的F，可平移到任一點(diǎn)點(diǎn)，但須附加一力偶，其矩矩等于力F對(duì)平移點(diǎn)之矩MO(F)。3)約束力作用方向向與其所限制的的運(yùn)動(dòng)方向相反