8第四章數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教育的教學(xué)案例設(shè)計(jì)

第四章

數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教育的教學(xué)案例設(shè)計(jì)第四章數(shù)學(xué)史融入學(xué)數(shù)學(xué)教的教學(xué)案設(shè)計(jì)4.1課題：復(fù)數(shù)概念教學(xué)過(guò)程如下：(1)提出問(wèn)題。讓學(xué)生解方程：

x

40學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程的根的判別式

2

程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能求解。教師：如果將數(shù)擴(kuò)展到更大的范圍，方程解的情況如何？（2）介紹數(shù)的概念的發(fā)展數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生發(fā)展起來(lái)的。最早期是建立了自然數(shù)的概念，隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，數(shù)的概念也得到發(fā)展。為了能夠表示相反數(shù)的概念，人們引進(jìn)了零和復(fù)數(shù)即將正整數(shù)零負(fù)整數(shù)構(gòu)成整數(shù)集為了解決分量的問(wèn)題，規(guī)定了一切形如的數(shù)，就把整數(shù)擴(kuò)大為有理數(shù)Q。量與量之間的比值不能用有理數(shù)解決的人們又引入了無(wú)理數(shù)從解方程

x2x40

發(fā)現(xiàn)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因?yàn)樨?fù)數(shù)不能被開放，所以人們又提出了一種新數(shù)——虛數(shù)。(3)得出復(fù)數(shù)的概念形如

a(ab)

的數(shù)被稱為復(fù)數(shù)b時(shí)，就是實(shí)數(shù)時(shí)，就叫做虛數(shù)，當(dāng)

時(shí)，叫做純虛數(shù)；a分別叫做負(fù)a實(shí)部與虛部。--第四章

數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教育的教學(xué)案例設(shè)計(jì)教師：對(duì)于復(fù)數(shù)概念，其幾何意義是什么呢1797年挪威的測(cè)量員威賽爾，在1797年的一篇文章中，除了以1為單位的實(shí)軸外，還引進(jìn)一根以為單位的虛軸，將復(fù)數(shù)

用始點(diǎn)在原點(diǎn)的一條有向線段來(lái)表示（如圖）ybO1ax4.2課題：求球的體積教學(xué)過(guò)程如下：（1）提出問(wèn)題：已知一個(gè)球的半徑為R求這個(gè)球的體積。（2）解答問(wèn)題，劉徽、祖恒的截面法劉徽在《九章算術(shù)》中給出了球體積公V

D

(是求的直徑)是錯(cuò)3誤的，劉徽分析，園與外切正方形的面積比為（果認(rèn)為球與其43外切圓柱的體積之比是，并4

，就可以得到上面所說(shuō)球體體積公式，然而事實(shí)上結(jié)果的比值不是

。劉徽作出球的兩個(gè)互相垂直相交的外切圓柱，稱他們的公共部分為“牟合方蓋方蓋”恰好把立方體的內(nèi)切球包含在內(nèi)并且同它相切，如果用一個(gè)水平面去截它們就得到一個(gè)（球的截面它的外切正方--第四章

數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教育的教學(xué)案例設(shè)計(jì)合方蓋”的截面劉徽指出，在每一高度上的水平截面圓與其外切正方形的積之比都等于

，因此球體積與它的牟合方蓋的體積比都是

，遺憾的是，劉徽未能求出牟合方蓋的體積。南北朝數(shù)學(xué)家祖恒提出一條“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”的原理，并利這一原理求得“牟合方蓋”的體積，從而在劉徽的基礎(chǔ)上徹底解決了球體積問(wèn)題。1祖恒的做法是幾何如圖長(zhǎng)為球半徑的立方體內(nèi)挖去牟8合方蓋，做幾何圖（如圖立的直四棱錐陽(yáng)馬)，使其高為R,底面時(shí)邊1長(zhǎng)的正方形，這個(gè)倒立直角、四棱錐的體積是棱長(zhǎng)為正方體的，3則其體積是R

。于是“牟合方蓋”的八分之一的體積應(yīng)是

，整個(gè)“牟合方蓋”體積為R3。在倒立的直四棱錐高度為l處作截面，則“牟合方1蓋”截面的正方形邊長(zhǎng)為,于是立方體內(nèi)的“牟合方蓋”外部分的8體積為RR2。倒立的直三棱錐l高度處作截面，面積也l。--8牟合方蓋牟合方蓋8牟合方蓋牟合方蓋第四章

數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教育的教學(xué)案例設(shè)計(jì)兩個(gè)幾何體在任一高度處的截面積相等由祖恒原理們的體積相同。1VV正方體合方蓋陽(yáng)馬于是

11R3V83

V牟合方蓋

163

R

所以球

4

3（3）其它解法阿基米德利用力學(xué)原理創(chuàng)造了一種特殊的求積術(shù)——平衡法，他的方法是：設(shè)球的半徑，作球的大圓面以及圓柱、圓錐的軸截面。其中以AB,為兩條母線的圓柱與球外切S是圓柱的兩底面圓心，圓錐的母NL,分別經(jīng)過(guò)圓柱相應(yīng)母線與球的切點(diǎn)。延N，在N距離為x處分別割出球、圓柱、圓錐的厚度為的三個(gè)薄片（可看成近似的圓柱體們的體積分別是

K球薄片圓柱薄片2圓錐薄片

CDNOABL--第四章

數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教育的教學(xué)案例設(shè)計(jì)將球薄片與圓錐薄片懸掛在T處，圓柱薄片仍留在原處，以N為支點(diǎn)考慮兩邊的力矩（不妨設(shè)想比重為1）左力矩

2

x右力矩=2x因此，左