2020高考壓軸題-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)核心考點和高考數(shù)學(xué)橢圓曲線的知識總結(jié)

2020高考壓軸題一一函數(shù)

與導(dǎo)數(shù)核心考點和高考

數(shù)學(xué)橢圓曲線的知識總結(jié)

2020高考壓軸題-一函數(shù)

與導(dǎo)數(shù)核心考點

目錄

題型一切線型

1.求在某處的切線方程

2.求過某點的切線方程

3.已知切線方程求參數(shù)

題型二單調(diào)型

1.主導(dǎo)函數(shù)需“二次求導(dǎo)”型

2.主導(dǎo)函數(shù)為“一次函數(shù)”型

3.主導(dǎo)函數(shù)為“二次函數(shù)”型

4.已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍

題型三極值最值型

1.求函數(shù)的極值

2.求函數(shù)的最值

3.已知極值求參數(shù)

4.已知最值求參數(shù)

題型四零點型

1.零點（交點，根）的個數(shù)問題

2.零點存在性定理的應(yīng)用

3.極值點偏移問題

題型五恒成立與存在性問題

1.單變量型恒成立問題

2.單變量型存在性問題

3.雙變量型的恒成立與存在性問題

4.等式型恒成立與存在性問題

題型六與不等式有關(guān)的證明問題

1.單變量型不等式證明

2.含有曰與Inx的不等式證明技巧

3.多元函數(shù)不等式的證明

4.數(shù)列型不等式證明的構(gòu)造方法

題型一切線型

1.求在某處的切線方程

3x2

例1.12015重慶理20]求函數(shù)在點(1，/⑴)處的切線方程.

解：由f(x)=G，彳導(dǎo)尸(x)=—=，切點為(1,；),斜率為尸⑴=￡

3333

由f(l)=9得切點坐標(biāo)為(1，*由尸(1)=9得切線斜率為

33

,切線方程為y—￡=Jx—1),即3x—ey=0.

例2.求/)=6++2)在點(1,/⑴)處的切線方程.

111

解：由/3=酬1+2),得尸(x)=ex(—m+,+2)

AAA

由/(l)=3e,得切點坐標(biāo)為(l,3e),由r(l)=2e,得切線斜率為2e；

「?切線方程為3e=2e(x—1),即2ex-y+e=0.

1—x

例3.求危尸及市在點(0,#0))處的切線方程.

[—X]]

解：由/(x)=/n/口=/n(l_x)_/n(l+x),得/(刈=_*^一注^

由f(0)=0,得切點坐標(biāo)為(0,0),由尸(0)=—2,得切線斜率為一2；

???切線方程為y=-2x,即2x+y=0.

例4.12015全國新課標(biāo)理20⑴】在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y=這與

直線/：片kx+a(a>0)交于M,N兩點，當(dāng)k=0時，分別求C在點M與N處的

切線方程.

解：由題意得：a今,則*=±2加，即M(—2加，a),N(2-\[a,a),

x2x

由/(x)=w，得尸(x)=5，

當(dāng)切點為例(一2或，a)時，切線斜率為尸(一2m)=一6，

此時切線方程為：q^x+y+a=0；

當(dāng)切點為N(2^，。)時，切線斜率為尸(2^)=^，

此時切線方程為：\[ax—y—a=0；

解題模板一求在某處的切線方程

⑴寫出刎；

⑵求出尸(x)；

⑶寫出切點a。，y(x0))；

⑷切線斜率k=r(xo)；

⑸切線方程為y—f(x0)=/^xoXx-xo).

2.求過某點的切線方程

Stepl設(shè)切點為(xo,4⑹)，則切線斜率尸的),切線方程為：

y-f(xo)=f'(xo)(x-xo)

Stepl因為切線過點(a,b),所以b—f(xo)=/'(xoXa—xo),解得xo=xi或x0=X2

Stepl當(dāng)xo=xi時，切線方程為y-/(xi)=/z(xo)(x—xi)

當(dāng)Xo=X2時，切線方程為y—f(x2)=f'(XO)(X—X2)

例1.求f(x)=^3+3立點P(2,4)的切線方程.

解：設(shè)切點為(Xo，1xo3+^),則切線斜率/(xo)=x()2,

所以切線方程為：y一'|xo3+g=Xo2(X—Xo),

14

32

由切線經(jīng)過點P(2,4),可得4—§Xo3+§=xo2(2—xo),整理得：x0—3x0+4

=0,解得xo=—l或xo=2

當(dāng)xo=—"l時，切線方程為：x—y+2=0；

當(dāng)刈=2時，切線方程為：4x-y-4=0.

例2.求f(x)=x3—4x2+5x—4過點(2,-2)的切線方程.

32

解：設(shè)切點為(xo,XO-4XO+5XO-4),則切線斜率r(xo)=3x°2—8X0+5,

所以切線方程為：y—(xo3—4xo2+5xo—4)=(3xo2—8xo+5)(x—xo)?

由切線經(jīng)過點P(2,4),可得4—(x°3—4x°2+5xo—4)=(3x°2—8x°+5)(2-Xo),

解得x()=l或xo=2

當(dāng)x0=l時，切線方程為：2x+y—2=0；

當(dāng)xo=2時，切線方程為：x—y—4=0.

例3.過A(l,m)(mx2)可作月x)=x3—3x的三條切線，求m的取值范圍.

解：設(shè)切點為(xo,X03—3XO),則切線斜率廣(XO)=3XO2—3,切線方程為

y一(xo3-3xo)=(3xo2-3)(x—Xo)

???切線經(jīng)過點

.'-m-(xo3—4xo2+5xo—4)=(3xo2-8xo+5)(1—Xo)?

即：-2xo3+3xo2—3—m=0,即m=-2xo3+3xo2—3

?.?過點A(l,M(mx2)可作f(x)=x3—3x的三條切線，

32

二方程m=-2xo+3xo—3,有三個不同的實數(shù)根.

二.曲線H(xo)=—2X(?+3x(?—3與直線y=m有三個不同交點，

H'(xo)=-6x()2+6xo=-6x0(xo—1)

令H'(Xo)>O,則OVxoVl；令H'(Xo)VO,則刈<0或刈>1

.?.H(xo)在(一8,0)遞減，在(0,1)遞增，在(1,+8)遞減，

??.H(xo)的極小值="(0)=—3,H(xo)的極大值=41)=-2,

由題意得一3VxV—2.

例4.由點(一e,e—2)可向曲線f(x)=/nx—x—1作幾條切線，并說明理由.

解：設(shè)切點為(xo，/nx0—x0—1)?則切線斜率尸(xo)=；—1,切線方程為

X。

、1,

y-(lnxo-x—1)=(――l)(x—xo)，

QXo

??,切線經(jīng)過點(一e,e-2),

1ane

2-(/nxo-xo—1)—(——1)(-e-xo)，即lnxo=~

Xoxo

<.y=/nx與y=(只有一個交點

p

???方程/nx°=7有唯一的實數(shù)根

Xo

二?由點(一e,e—2)可向曲線/(x)=/nx—x—1作一條切線.

解題模板二求過某點的切線方程

⑴設(shè)切點為(x。，/{xo)),則切線斜率7(x。)，切線方程為：

,

y—f(xo)=f(xo)(x—xo)

(2)因為切線過點(a,b),所以b—Hxo)=f'(xo)(a—xo),解得Xo=Xi或Xo=X2

⑶當(dāng)xo=xi時，切線方程為y—/(xi)=7'(xoXx-xi)

當(dāng)xo=x2時，切線方程為y—f(X2)=1Hxo)(x—X2)

3.已知切線方程求參數(shù)

解題模板三已知切線方程求參數(shù)

已知直線Ax+8y+C=0與曲線y=/W相切

⑴設(shè)切點橫坐標(biāo)為刖，則

切點縱坐標(biāo)=切點縱坐標(biāo)日口成歸

切線斜率=切線斜率即錯誤！

⑵解方程組得X。及參數(shù)的值.

例1.函數(shù)/3=震+與在(1,/⑴)處的切線方程為x+2y—3=0,求a,b的值.

ealnx,b

解：.?貝刈=干+】，.?尸(X)=錯誤!一錯誤！

由題意知：錯誤!，即錯誤！

..a=b=l

bexl

例2J(x)=ae*/nx+—q—在(1,#1))處的切線方程為y=e(x—l)+2,求a,b的值.

,bex1111

xxx

解：'.'f(x)=aelnx+x,.-.f'(x)=ae^+lnx)+be￥一

；(1)=2b=2

由題意知:即

l?=—e'ae=e

a=1,b=2

例3.若直線y=kx+b是y=/nx+2的切線，也是產(chǎn)/n(x+l)的切線，求b.

解：設(shè)y=kx+b與y=lnx+2相切的切點橫坐標(biāo)為xi，y=kx+b與y=/n(x+l)相切

的切點橫坐標(biāo)為X2，

錯誤!，由②③得：Xi=Xz+l,

由①一③得：Inxi—/n(x2+1)+2=k(xi—x2),將上式代入得：k=2

：.Xr=2,代入①得：一/"2+2=l+b

.'.b=l—ln2.

例4.若f(x)=5與g(x)=a/nx相交，且在交點處有共同的切線，求。和該切線方

程.

解：設(shè)切點橫坐標(biāo)為xo，則錯誤!，由②得錯誤!=2a,

代入①得：x?=e2,.'.0=7

乙

???切點為④，e),切線斜率為!，，切線方程為x—2ey+e2=0.

例5.已知函數(shù)Hx)=x3+ax+/,當(dāng)a為何值時，x軸為曲線方程y=f(x)的切線.

例6.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b和g(x)=e*(cx+cO都過點P(0,2)且在P處有相同切

線y=4x+2,求a,b,c,d的值.

題型二單調(diào)型

1.主導(dǎo)函數(shù)需"二次求導(dǎo)"型

I不含參求單調(diào)區(qū)間

例1.求函數(shù)加尸乂修一1)一%的單調(diào)區(qū)間.

解：/(X)的定義域為R

//(x)=ex(l+x)—1—%=(%+1)(^+1)

令尸(x)>0,得xV-l或x>0；令尸(x)VO,得一lVxVO

/(X)的增區(qū)間為(一8,—1)和(0,+°°),減區(qū)間為(一1,0)o

例2.求函數(shù)=在(-8,0)上的單調(diào)性.

解：f(x)的定義域為(一8,0)

a,a,,

f'(x)=ex(--i+-+l)=-i(x2+ax-a)

AAA

令尸(x)>0,得x<錯誤!；令尸(x)VO,得錯誤!<x<0

f(x)的增區(qū)間為(一8,錯誤!)，減區(qū)間為(錯誤!，0)o

解題模版一|求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

⑴求出函數(shù)的定義域；

⑵求尸(X)；

⑶判斷r(x)的正負(fù)；

"f(x)=kx+b

注：導(dǎo)函數(shù)的形式是有限的尸(x)=axz+bx+c

,二次求導(dǎo)型

⑷寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

注：①求單調(diào)區(qū)間結(jié)論一定敘述為Hx)單調(diào)區(qū)間為…

討論單調(diào)性可敘述為f(x)在某區(qū)間增(減)

②多個相同單調(diào)性區(qū)間要用逗號隔開，不能用U

③單調(diào)區(qū)間書寫時用中括號還是小括號問題

II.主導(dǎo)函數(shù)需"二次求導(dǎo)"型

例1.討論函數(shù)f(x)=(x+l)/nx—x+1的單調(diào)性.

解：f(x)的定義域為(0,+-)

x+11

f'(x)=lnx+———l=lnx+-

XX

令0(x)=/nx+%x>O),則(p'(x)=^-^=^r

令(p(x)>0,則x>l；令R(x)VO,則OVxVl,

...(p(x)在(0,1)上遞減,在(1,+=)上遞增.

.".cp(x)>(p(0)=l>0,從而r(x)>0

.?J(x)在(0,+叫上遞增.

例2.求函數(shù)#x)=xe2r+ex的單調(diào)區(qū)間.

解：/(x)的定義域為R

fr(x)=(1—x)e2-x+e

令q)(x)=(1—x)e2x+e,則(p,(x)=(x—2)e2x

當(dāng)x￡(—8,2)時,q)f(x)<0,(p(x)在(一8,2)上遞減;

當(dāng)x￡(2,+oo)時，d(x)>0,W(x)在(2,+=)上遞增；

A(p(x)>(p(2)=—l+e>0

??./(x)單調(diào)增區(qū)間為R,無減區(qū)間.

例3.求函數(shù)人8=姓戶的單調(diào)區(qū)間.

解：f(x)的定義域為(-1,0)U(0,+=)

x-(x+l)/n(x+l)

1岡―(x+l)x2

令(p(x)=x~(x+l)/n(x+1),則(p'(x)=—ln(x+l)

當(dāng)xG(—l,0)時，d(x)>0,則<p(x)在(-1,0)上遞增

.\(p(x)<(p(O)=O

?V，(x)<0

：.f(x)在(一1,0)上遞減

當(dāng)XG(O,+8)時，(p'(x)<0,0(x)在(0,+8)上遞減；

.".(p(x)<(p(O)=O

：.f'(x)<0

：.f(x)在(0,+s)上遞減

綜上所述：f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,0)和(0,+-).

X

例4.求函數(shù)H(x)=I/M一0+C的單調(diào)區(qū)間.

解:"(x)=錯誤!

,,11—2x~e2x—x+2x2

當(dāng)xW(O，1)時，H,(x)=----^r=姿

令(p(x)=-e"—x+2x?,xG(O,1)

則d(x)=-2e"—l+4x

(p〃(x)=-4e2x+4=—4(e2x—1)<0,

???(//3在(0，1)上遞減

(p'(x)<(p,(0)=—3<0

???9”)在(0,1)上遞減

(p(x)<(p(0)=—1<0,即Hf(x)<0

：.H(x)在(0,1)上遞減

,,11—2xe2^—x+2x2

當(dāng)xe(l,+8)時，H'(x)=--^~=/

令<p(x)=e"—x+2x?,xG(i,+°°)

則(p'(x)=2e2x—l+4x

Vx>l

.".(p'(x)>0

，0(X)在(1,+=)上遞增

.,.<p(x)><p(l)=e2+l>0,即H'(x)>0

在口,+8)上遞增

綜上所述：H(x)在(0,1)上遞減，(1,+引上遞增.

重要方法一|二次求導(dǎo)求函數(shù)單調(diào)性

當(dāng)無法通過不等式判斷一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)時，可對"主導(dǎo)”函數(shù)再次求導(dǎo)，這

種“再構(gòu)造，再求導(dǎo)”是破解函數(shù)綜合問題的強大武器。

⑴通過判斷/lx)的符號，來判斷尸區(qū)的單調(diào)性；

⑵通過賦特殊值找到尸(x)的零點，進而得到r(x)的正負(fù)區(qū)間.

2.主導(dǎo)函數(shù)為"一次函數(shù)”型

例1.求函數(shù)=GX+1的單調(diào)區(qū)間.

解：f(x)的定義域為R

f'(x)=ex—a

當(dāng)出0時，尸(x)>0恒成立，.寸3的增區(qū)間為R

當(dāng)。>0時，令尸(x)>0,則x>/na；令尸(x)V0,則xV/na；

."(x)的增區(qū)間為(/na,4-oo),減區(qū)間為(一8,Ina)。

綜上所述：當(dāng)出0時，f(x)的增區(qū)間為R

當(dāng)a>0時，f(x)的增區(qū)間為(/na,+8),減區(qū)間為(一8,Ina)。

1

例2.求函數(shù)Hx)=/nx—ax+齊的單調(diào)區(qū)間.

解：f(x)的定義域為(0,十可

當(dāng)時，尸(x)20恒成立，.'./(x)的增區(qū)間為(0,+°°)

當(dāng)a>2時，令尸(x)=0,則乂=錯誤!或*=錯誤！

令尸(x)>0,則OVxV錯誤!或x>錯誤！

令廣(x)<0,則錯誤!〈X〈錯誤!.

???/(X)的增區(qū)間為(0,錯誤!)和(錯誤!，+8),

減區(qū)間為(錯誤!，錯誤!)

綜上所述：當(dāng)時，/(X)的增區(qū)間為(0,+-)

當(dāng)。>2時，f(x)的增區(qū)間為(0,錯誤!)和(錯誤!，+-°),

減區(qū)間為(錯誤!，錯誤!)

例3.求函數(shù)/M=/nx—ax的單調(diào)區(qū)間.

解：f(x)的定義域為(0,+-)

當(dāng)。40時，尸(x)>0,二/(刈的增區(qū)間為(0,+~)

當(dāng)a>0時，令尸(x)>0,則0VxV§；令尸(x)<0,則x>5；

."(X)的增區(qū)間為(0,$,減區(qū)間為e，+8).

綜上所述：當(dāng)時，f(x)的增區(qū)間為(0,+-)

當(dāng)。>0時，/(x)的增區(qū)間為(0,：),減區(qū)間為6，+8)。

例4.求函數(shù)HX)=GX—(a+1)妨(x+l)(a2—1)的單調(diào)區(qū)間.

解：f(x)的定義域為(一1,+-)

a+1ax—1

f'(x)=o-x+l=x+1

當(dāng)一14a40時，ax—140,即尸(x)40

.?J(x)的減區(qū)間為(一1,+8)

當(dāng)a>0時，令—(x)>0,則x>[,令r(x)V0,則一lVxV：,

，f(x)的增區(qū)間為弓，+°o),減區(qū)間為(一1,

綜上所述：當(dāng)一1"40時，Hx)的減區(qū)間為(-1,+8)

11

當(dāng)。>0時，/(x)的增區(qū)間為+8),減區(qū)間為(一1,-).

例5.求函數(shù)Hx)=xe"x(kH0)的單調(diào)區(qū)間.

解：f(x)的定義域為/?

f,(x)=(l+kx)ekx

11

當(dāng)k>0時，/(x)的增區(qū)間為(一,，+8),減區(qū)間為(一8,—T).

當(dāng)kVO時，/(X)的增區(qū)間為(一8,減區(qū)間為(一器，4-00).

綜上所述：當(dāng)k>0時，綱的增區(qū)間為(一/+-),減區(qū)間為(一8,-1).

當(dāng)kVO時，f(x)的增區(qū)間為(一8,—1),減區(qū)間為(一(，+8).

例6.求函數(shù)#x)=x—Hnx(aWR)的單調(diào)區(qū)間.

解：/(x)的定義域為(0,+~)

當(dāng)Q40時，尸(x)NO,則f(x)的增區(qū)間為(0,+-)

當(dāng)a>0時，令r(x)>0,則x>a,令尸(x)VO,則OVxVa,

.?./(x)的增區(qū)間為(a,4-00),減區(qū)間為的a).

綜上所述：當(dāng)。40時，f(x)的增區(qū)間為(0,+-).

當(dāng)。＞0時，/(x)的增區(qū)間為(a,+8),減區(qū)間為(0,a).

重要方法二|一次函數(shù)型(一)

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)可表示為常見已知函數(shù)，(例如：e*,x+1,p必一2刈與一個常參數(shù)(例

如：a,2k,也一。)的差的形式時，可通過畫出已知函數(shù)與常值函數(shù)圖像的方法

對參數(shù)進行分類討論.

重要方法三|一次函數(shù)型(二)二級分類法

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為一次函數(shù)(一次項系數(shù)為參數(shù))時，可用二級分類法

⑴判斷最高次項系數(shù)的正負(fù)；

⑵判斷一次方程的根與定義域端點值的大小.

3.主導(dǎo)函數(shù)為"二次函數(shù)”型

例L求函數(shù)/(x)=x2—2x+a/nx的單調(diào)區(qū)間.

解：f(x)的定義域為(0,+-)

a2x2~2x+aa-(―2x2+2x)

f'M=2x-2+A-=-------A--------=A-

當(dāng)ag時，/(x)20,則f(x)的增區(qū)間為(0,十8)

當(dāng)OVaV*寸，令/(x)=0,則乂1=錯誤!，X2=錯誤！

令尸(x)＞0,則OVxV錯誤!，或x＞錯誤！

令f'(x)＜0,則錯誤!＜x〈錯誤!，

."(x)的增區(qū)間為(0,錯誤!)和(錯誤!,+8)

減區(qū)間為(錯誤!，錯誤!)

當(dāng)於0時,令r(x)＞0,則x＞錯誤!，

令尸(x)VO,則OVx＜錯誤!，

，f(x)的增區(qū)間為(錯誤!，4-oo),減區(qū)間為(0,錯誤!)

綜上所述：當(dāng)時，f(x)的增區(qū)間為(0,十8),

當(dāng)OVaV式寸，/(x)的增區(qū)間為(0,錯誤!)和(錯誤!，+-)

減區(qū)間為(錯誤!，錯誤!)

當(dāng)好0時,f(x)的增區(qū)間為(錯誤!，+8),減區(qū)間為(0,錯誤!)

例2.求函數(shù)犬刈=割長＞0)單調(diào)區(qū)間.

解：f(x)的定義域為R

,_丁儼+—―2xe*_丁右-2x+k)_e“伙一(一x2+2刈

,'(X)=―(x2+k)2—=一儼+婷=(x2+k)2

當(dāng)心1時，尸(x)20,f(x)的增區(qū)間為R

當(dāng)OVk<l時，令r(x)=0,則xLl—'l—k,X2=l+y]l—k

令尸(x)>0,則OVxVL'l—k,或x>l+《l-k

令f(x)<o,則i—di』<xvi+qm,

.?./(x)的增區(qū)間為(0,1—yjl—k)^0(1+y]l—k,+°°)

減區(qū)間為(1—,1—k,1+yjl—k)

綜上所述：當(dāng)心1時，f(x)的增區(qū)間為R,

當(dāng)OVkVl時，f(x)的增區(qū)間為(0,1—狂耳)和(1+亞3，+8)

減區(qū)間為(1—k,1+yjl—k)

例3.討論函數(shù)f(x)=x-]+a(2—/nx)的單調(diào)性.

解：/(x)的定義域為(0,+8)

,2a

=錯誤!

AA

當(dāng)。42加時，尸(x)20,/(X)的增區(qū)間為。+8)

當(dāng)a>2啦時，令尸(x)=0,則乂1=錯誤!，X2=錯誤！

令尸(x)>0,則0<xV錯誤!，或x>錯誤！

令尸(x)V0,則錯誤!VxV錯誤!，

.??/(X)的增區(qū)間為(0,錯誤!)和(錯誤!，+8)

減區(qū)間為(錯誤!，錯誤!)

綜上所述：當(dāng)出2啦時，/(X)的增區(qū)間為(0,+8),

當(dāng)。>2啦時，f(x)的增區(qū)間為(0,錯誤!)和(錯誤!，+8)

減區(qū)間為(錯誤!，錯誤!)

重要方法四|二次函數(shù)型(一)

11

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)可表示為常見已知函數(shù)(例如：e*,x+-,Jxz-2x)與一個常參數(shù)(例如:

a,2k,點一。)的差的形式時，可通過畫出已知函數(shù)與常值函數(shù)圖像的方法對參

數(shù)進行分類討論.

例如：2x2—2x+a,x￡(0,+°°)可化為a—(—2x2+2x)

X2—2x+k,xERfc—(―2x2+2x)

x2—ax+2,xG(O,+?>)x+~—a

例4.求函數(shù)#x)=(x—k)。的單調(diào)區(qū)間.

解：/(x)的定義域為R

f'(x)=[2x-2k+^(x2-2kx+k2)《=%(x2—k?。

當(dāng)k>0時，f(x)的增區(qū)間為(一8,—k)和(k,+8),減區(qū)間為(一k,k).

當(dāng)k<0時，/(x)的增區(qū)間為(k,-k),減區(qū)間為(一8,k)和(一匕十8).

綜上所述：當(dāng)k>0時，f(x)的增區(qū)間為(一8,—k)和(k,+°°),

減區(qū)間為(一k,k).

當(dāng)kVO時，f(x)的增區(qū)間為(k,-k),

減區(qū)間為(一8,k)和(一k,+0°).

例5.求函數(shù)Hx)=/nx+ax2+x(aeR)的單調(diào)區(qū)間.

解：/(x)的定義域為(0,+~)

12ax2+x+l

f'(x)=~+2ax+l=

x

當(dāng)近0時，尸(x)>0,則力x)的增區(qū)間為(0,4-oo).

當(dāng)aVO時，令尸(x)=0,則乂1=錯誤!，X2=錯誤！

(此處Xi<0<X2),故將Xi舍去.

(注意：此處X「X2=/V0,可知一根為正，一根為負(fù))

令尸(刈>0,則OVxV錯誤!，f(x)的增區(qū)間為(0,錯誤!)

令/(x)>0,則x>錯誤!，/(x)的減區(qū)間為(錯誤!，+-)

綜上所述：當(dāng)應(yīng)0時，f(x)的增區(qū)間為(0,+-).

當(dāng)aVO時，/(X)的增區(qū)間為(0,錯誤!)，

減區(qū)間為(錯誤!，+°°).

例6.求函數(shù)Hx)=a(x—1)—2/nx的單調(diào)區(qū)間.

解：/(x)的定義域為(0,4-oo)

a2ax2-2x+a

f'(x)=a+-i--=

AA

當(dāng)時，尸(x)VO,則/(x)的減區(qū)間為(0,+8).

(注意：此處ax2V0,—2x<0,a<0,故ax?—2x+aV0)

當(dāng)a>0時，由ax?—2x+a=0,得△=4一4。2

⑴當(dāng)△40,即a”時，尸(x)20,.../(x)的增區(qū)間為(0,+8)

⑵當(dāng)△>(),即OVaVl時,令尸僅)=0,則刈=錯誤!，X2=錯誤!

令尸(x)>0,則OVxV錯誤!或x>錯誤！

令『(x)VO,則錯誤!<x<錯誤！

，f(x)的增區(qū)間為(0,錯誤!)和(錯誤!，+-)

減區(qū)間為(錯誤!，錯誤!)

綜上所述：當(dāng)於0時，f(x)的減區(qū)間為(0,十8).

當(dāng)0<。<1時，f(x)的增區(qū)間為(0,錯誤!)和(錯誤!，+可

減區(qū)間為(錯誤!，錯誤!)

當(dāng)應(yīng)1時，f(x)的增區(qū)間為(0,+°0)

X—1

例7.求函數(shù)#x)=a/nx+而的單調(diào)區(qū)間.

解：f(x)的定義域為(0,+-).

g(x+l)2+2xax2+(2a+2)x+a

尸(刈=1+4Fx(x+l)2=x(x+l)2

⑴當(dāng)應(yīng)0時,尸(x)>0,.寸(刈的增區(qū)間為(0,+8).

(注：此處因a20,x>0,所以ax?>。，(2a+2)x>0,a>0,即/(x)>0)

⑵當(dāng)aVO時，由ax2+(2a+2)x+a=0,得△=8a+4

①當(dāng)△?()即。4一2時，尸僅)<0,.寸(刈的減區(qū)間為(0,+~).

②當(dāng)△>()即一；Va<0時，令尸(x)=0,

則乂1=錯誤!，X2=錯誤！

(注：此處由X1+X2=1>O,xrX2=一的六=-2一］>0,則Xi>0,x2>0)

令r(x)>0,則OVx<錯誤!或x>錯誤！

令廣(x)VO,則錯誤!VxV錯誤！

."(X)的增區(qū)間為(0,錯誤!)和(錯誤!，+-)

減區(qū)間為(錯誤!，錯誤!)

綜上所述：當(dāng)應(yīng)0時，f(x)的增區(qū)間為(0,+~).

當(dāng)一，VaVO時，

Hx)的增區(qū)間為(0,錯誤!)和(錯誤!，+中

減區(qū)間為(錯誤!，錯誤!)

當(dāng)出一5寸，f(x)的減區(qū)間為(0,+-)

重要方法五二次函數(shù)型(二)

當(dāng)二次函數(shù)的最高次項系數(shù)含有字母時，且不能進行因式分解

⑴判斷最高次項系數(shù)與零的關(guān)系，分為三類

a=0,a>0,a<0

⑵當(dāng)a=0時，很容易判斷正負(fù)；

當(dāng)a>0時，可考慮每一項都為正，從而導(dǎo)數(shù)大于0；

當(dāng)aVO時，考慮△及根與定義域端點值的大小.

x2~k

例如:；

x(kwO)

2ax2+x+l,x^(0,+°0)；

ax2—2x+a,xE(O,+0°)；

ax2+(2a+2)x+a,x￡(0,+°0)；

例8.求函數(shù)#x)=(l—a)歷x—x+聶的單調(diào)區(qū)間.

解：/(x)的定義域為(0,十8)

1—aax2—x+1—a(x—l)[ax+(a-1)]

r(x)A-1+ox=------A-----------------x--------

(注1：此處主導(dǎo)函數(shù)為g(x)=ax2-x+l-a的△=(2。-1/刈

(注2：分類討論的思想依據(jù)①最高次的系數(shù)a=0；②△=(),則a=￡；③對應(yīng)

方程的兩個根相等，即1=不里，則。=去④讓其中的根和區(qū)間端點相等，即0

1—o、1

=~^^,即0=1。至此，a的取值被分成了7類,即a<0,o=0,0<a<ya

_1

=r

1

2<o<l,a=l,a>l)

⑴當(dāng)aVO時，/(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+-)

1-Q

(注3：此處一￡—<0<1)

⑵當(dāng)a=0時，/(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+8)

11—o1—0

⑶當(dāng)0<。<5時，/(x)的增區(qū)間為(0,1)^(-,+~),減區(qū)間為(1,—)

(注4：此處OV1V-1)

1

(4)當(dāng)a=］時，f(x)的增區(qū)間為(0,+oo)

11—o1—0

(5)當(dāng)Q<aVl時，/(x)的增區(qū)間為(0,—)^(1,+8),減區(qū)間為(丁，1)

1-Q

(注5：此處0V—VI)

(6)當(dāng)a=l時，f(x)的增區(qū)間為(1,十8),減區(qū)間為(0,1)

1-Q

(注6：此處一^-VOVl)

(7)當(dāng)a>l時，/(x)的增區(qū)間為(1,+8),減區(qū)間為(0,1)

(注7：⑴⑵類可以合并，⑹⑺可以可并)

綜上所述：當(dāng)如0時，f(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+~)

11—o1—O

當(dāng)0<。<5時，f(x)的增區(qū)間為(0,1)^(—,+oo),減區(qū)間為(1,—)

當(dāng)a號時，/(x)的增區(qū)間為(0,+<>o)

11—Q1—a

當(dāng)時，f(x)的增區(qū)間為(0,工一)和(1,+-),減區(qū)間為(丁,1)

當(dāng)a=l時，f(x)的增區(qū)間為(1,+-),減區(qū)間為(0,l)o

例9.求函數(shù)刎，。％2—(2a+l)x+2/nx的單調(diào)區(qū)間.

解：/(x)的定義域為(0,4-oo)

.八,,2ax2-(2a+l)x+2(x-2)(ax-l)

/z(x)=ax-(2a+l)+-=；=-----；---------

AAA

(注1：此處主導(dǎo)函數(shù)是y=ax2—(2a+l)x+2,A=(2a+1)2—8a=(2a—1)2>0,故

主導(dǎo)函數(shù)是可以因式分解的)

111

(注2：分類的思想①。=0；②△=(),即a=5；③兩根相等￡=2,即a=5；④

11

其中一根與端點相等，即￡=0,則0和5就可以將數(shù)軸分成5部分，即需要分成

5類)

⑴當(dāng)。40時，f(x)的增區(qū)間是(0,2),減區(qū)間(2,+8)

111

(2)當(dāng)0<。<5時，/(X)的增區(qū)間是(0,2)和%+8),減區(qū)間(2,-)

⑶當(dāng)a*時，f(x)的增區(qū)間是(0,4-oo)

⑷當(dāng)寸，/(x)的增區(qū)間是(0,｝和(2,4-00),減區(qū)間色，2)

綜上所述：當(dāng)時，f(x)的增區(qū)間是(0,2),減區(qū)間(2,+=)

當(dāng)OVaV次寸，f(x)的增區(qū)間是(0,2)和白，+8),減區(qū)間(2,5

當(dāng)a=￡時，f(x)的增區(qū)間是(0,十8)

當(dāng)a>號時，f(x)的增區(qū)間是(0,5和(2,+<-),減區(qū)間2)

1—QI

例10.求函數(shù)f(x)=/nx—ax+一二一1,aS?的單調(diào)區(qū)間.

重要方法六二次函數(shù)型(三)

當(dāng)二次函數(shù)的判別式△?()時，可采用四級分類法.

⑴判斷最高次項系數(shù)與零的關(guān)系.

⑵判斷根的判別式與零的關(guān)系.

⑶兩根的大小比較.

⑷根與定義域端點值的大小比較.

例如：ax2—x+(l—a),x￡(0,+??)；

-ax2+x+o—1,xG(O,+??)；

ax2+(2a+l)x+2,x￡(0,+=)；

1

例11.求函數(shù)/(x)=xe*—a(]x2+x)的單調(diào)區(qū)間.

解：/(x)的定義域為R

/,(x)=(l+x)ex—a(l+x)=(x+l)(ex-a)

⑴當(dāng)。40時,令尸(x)>0,則x>—l；令尸(x)<0,則x<一l；

，f(x)增區(qū)間為(一1,+00),減區(qū)間為(一8,—1)

(2)當(dāng)aVO時,令尸(x)=0,則xi=—1,x2=lna

①當(dāng)a>：時，f(x)的增區(qū)間是(一8,—1)和(/na,+°?),減區(qū)間(-1,/na)

②當(dāng)時，f(x)的增區(qū)間是R

③當(dāng)aV：時，f(x)的增區(qū)間是(一8,/na)和(一1,十8),減區(qū)間(/na,—1)

綜上所述：當(dāng)時，Hx)增區(qū)間為(-1,+8),減區(qū)間為(一8,-1)

當(dāng)。>：時，f(x)的增區(qū)間是(一8,—1)和(/na,+8),減區(qū)間(-1,Ina)

當(dāng)。=!時，f(x)的增區(qū)間是R

當(dāng)0<。<5寸，/(x)的增區(qū)間是(一8,/na)和(一1,+oo),減區(qū)間(小a,-1)

例12.求函數(shù)f(x)=(x—a)5Mx+cosx,x€(0,n),a>/的單調(diào)區(qū)

解：/(X)的定義域為(0,7T)

f,(x)=sinx+(x-a)cosx-sinx=(x—a)cosx

⑴當(dāng)a次時，令—(x)>0,則xj,7i)；令/(x)VO,則x《(0,.

"(x)的增區(qū)間為671),減區(qū)間為(0,1

(2)當(dāng)/〈aVzi時，/(x)的增區(qū)間為g,a),減區(qū)間為(0,各和(a,兀)

綜上所述：當(dāng)應(yīng)兀時，f(x)的增區(qū)間為《，7T),減區(qū)間為(0,9

當(dāng)緊?！簇r，f(x)的增區(qū)間為有a),減區(qū)間為(0,各和(a,兀)

例13.求函數(shù)/(x)=(ax2-x)lnx-^ax2+x(a￡R)的單調(diào)區(qū)間.

解：f(x)的定義域為(0,十可

f'(x)=(2ax-1)1nx+ax—1—ax+l=(2ax—1)1nx

⑴當(dāng)如0時，/(x)的增區(qū)間是(0,1),減區(qū)間是(1,+°°)

⑵當(dāng)a>0時

①當(dāng).VI,即寸，#x)的增區(qū)間是(0,方和(1,+g),

減區(qū)間是(點，1)

②當(dāng)/=1，即寸，/(x)的增區(qū)間是(0,4-oo)

③當(dāng)表>1，即0<。<2時，f(x)的增區(qū)間是(0,1)和(表，+8),

減區(qū)間是(1,各

綜上所述：當(dāng)時，/(x)的增區(qū)間是(0,1),減區(qū)間是(1,+8)

111

當(dāng)。>5時，f(x)的增區(qū)間是(0,五)和(1，+8)，減區(qū)間是(五，1)

當(dāng)時，f(x)的增區(qū)間是(0,+°<>)

當(dāng)0VaV〃時，f(x)的增區(qū)間是(0,1)和隹，+8),減區(qū)間是(1,方

重要方法七|二次函數(shù)型(四)

主導(dǎo)函數(shù)類似于二次函數(shù)形式.

例如：f'(x)=(x+l)(ex—a)；

n

f'(x)=(x—a)cosx,x￡(0,TI),a>Q；

//(x)=(2ax-l)/nx,xE(O,+<?)；

4.已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍

例L函數(shù)/(x)=￡^N(a>0)為R上單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

會、^西-2歐+1)

解：f(x)~(ax2+l)2

.函數(shù)y=ax2—2ax+l恒過點(0,1)

f(x)在R上單調(diào)

.'.f'(x)>0在R上恒成立，即ax?—2ax+120在R上恒成立

⑴當(dāng)a=0時，符合題意

⑵當(dāng)aVO時，不符合題意

⑶當(dāng)a>0時，只需△=4。2—4a40,即0<a41

綜上所述：a的取值范圍為［0,1］

例2.函數(shù)加0=/秋+1+??(9￡/?)在［2,+8)上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

解:尸(x)=\T+a

⑴若/(x)在[2,+回上是單調(diào)遞增，

則f'M=^—^+a>0在[2,+8)上恒成立

AX

11

，a彳一JxG[2,+°<>)

令t=(,則y'—t,tG(O,1],則片[-，0)

:?a>0

⑵若f(x)在2+8)上是單調(diào)遞減，

[2,+8)

則f'M=~X~~X2+a<0在上恒成立

11

，。方一丁xG[2,+°o)

111

令t=7，貝Uy=t2—t,tc(O,升則yd[一不0)

1

.,皿一疝

綜上所述：aG(—8,—^]U[0,+°°)

注：以上兩題是不明確函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).

例3.函數(shù)Hx)=xe〃x在內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.

解：f'(x)=(l+kx)ekx

?.?(x)=xekx在(一1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，

：.f'(x)>0在(-1,1)內(nèi)恒成立

，l+kx20初一1,1)內(nèi)恒成立

即總I即3

例4.函數(shù)f(x)=/nx+x2—ax在定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍.

解：f'(x)=~+2x—a

?.?/(X)在(0,+-)上為增函數(shù)，

.,.尸(x)=：+2x—應(yīng)0在(0,+8)上恒成立

A

1

Aa<~+2x,x￡(0,+°0)

當(dāng)且僅當(dāng);=2x,即乂=錯誤!時，(錯誤!+2x)mM=2錯誤！

：.a<2y[2

ax

例5.函數(shù)f(x)=R1(a>0)在內(nèi)單調(diào)遞增，求b的取值范圍.

解：,岡=許喬

由題意知，尸(x)20在(-1,1)上恒成立

：.x2~b<0,xG(-l,1)

b>x2,xd(—1,1)

：.b>l

例6.設(shè)f(x)=/nx+§,mGR,若對任意b>a>0,恒成立,求m的

XDU

取值范圍.

解：.??對任意b>a>。，恒成立,

，對任意44。，幽二冬皿@<。恒成立，

b-a

F(x)=f(x)—x=lnx+^—x在(0,+8)上遞減

1m..1

???尸(刈=:一下一140在(0，+一)上怛成反

AX

.".x-m-x2<0,即m2—x2+x,xG(0,+00)

.1

,,m-4

一—，一[xlnxx>a,一,—

w,,j,,e

例7.已知函數(shù)"X)=1_X2+2X_3X<A其中。出，如果對于任意xi,xi^R,

且X1VX2,都有HXI)V#X2),求a的取值范圍.

解：g(X)=-X?+2X—3在(-8,1)遞增，在(1,+8)上遞減，且g(x)max=-2

令H(x)=xlnx,則H'(x)=lnx+l,

11

令H，(x)>0,則x>￡；令Hlx)V0,則OVxV]

.”(x)在在(0,1上遞減，E，+-)遞增,

通過畫圖像可知，|<a<l

重要方法八|已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍(一)

函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，先結(jié)合主導(dǎo)函數(shù)判斷是增或減.

f(x)在區(qū)間M上遞增=7a)20在/W上恒成立

f(x)在區(qū)間M上遞減=尸區(qū)40在/W上恒成立

例8.函數(shù)f(x)=-++%+2GX在存+可上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范

圍.

2

解：?.》(x)在仔+河上存在單調(diào)遞增區(qū)間

2、

，存在xe(§,+8),使得r(x)=—x2+x+2a>0成“

21111

存在十8),使得。>/2一,x,gpo>(-x2--x)m，n>

:函數(shù))/=$2-$在(|,十8)上的最小值為一2

1

，?！狄弧?/p>

例9.函數(shù)#x)=/nx+(x—a)z,a￡R,在[1,2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范

圍.

解：由題意知，

存在x￡[l,2],使得尸(x)=:+2x—2a>0成立

A

存在x6[l,2],使得?！捶?x

,:y=/+x在[1,2]上單調(diào)遞增

19

9

例10.函數(shù)f(x)="3+x2-x,mSR在[2,+2上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求m的取

值范圍.

解：由題意知

//(x)=mx2+2x-l>0在[2,+8)有解

1—2x1]

存在X￡[2,+8),使得m>[^=q)2—2Q)

令t=]，則y=t2—2t,te(0,

Vmin~X(2)=4

3

重要方法九|已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍(二)

f(x)在區(qū)間M上存在單調(diào)遞增=7區(qū)>0在M上有解Q尸(X)max>0

f(x)在區(qū)間M上存在單調(diào)遞減寸尸(x)V0在M上有解=《(x)mmV0

例11?.函數(shù)f(x)=x3+(l—a)%2—a(a+2)x+b在(-1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍.

解:廣(x)=3x2+2(l—a)x—a(a+2)=(x-G0[3x+(a+2)p&(—l,1)上有零點

⑴錯誤!，解得：一1<。<一錯誤!或一錯誤!<a〈l

⑵錯誤!，解得:一5〈。<一錯誤!或一錯誤!

綜上所述：—5,1)

例12.函數(shù)Hx)=x3+(k—l)x2+(k+5)x—l,kCR