正、余弦定理（精練） 新高考 數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng) 提升精講精練 （含答案解析）

5.4正、余弦定理（精練）（提升版）題組一題組一判斷三角形額形狀1．（2022·四川省峨眉第二中學(xué)校）在中，已知，且，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由題意,,則,又，則,由可得，即，所以，由，知，綜上可知即的形狀是等邊三角形.故選：B2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得：，整理可得：，即，所以或者，所以或，而?dāng)時(shí)則，所以三角形為直角三角形，所以，則中，這時(shí)，分母為0無意義所以，選：A．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，已知，則的形狀一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，整理得：即，又因?yàn)?所以,所以，移項(xiàng)得：,所以三角形一定為直角三角形.故選：B4．（2022·西藏·拉薩中學(xué)高三階段練習(xí)（理））在中，，，，則為（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，即，解得，又，故或，當(dāng)時(shí)，，為直角三角形；當(dāng)時(shí)，，為等腰三角形.故選：B.5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列條件能推導(dǎo)出一定是銳角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于，若，由余弦定理可知，即角為銳角，不能推出其他角均為銳角，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，可得，可得，設(shè)，，，，可得為最大邊，為三角形最大角，根據(jù)余弦定理得，可得為銳角，可得一定是銳角三角形，故正確；對(duì)于，因?yàn)椋傻?，整理可得，由正弦定理可得，可得為直角，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)橛捎?，整理得，故，由于，故，故，，均為銳角，為銳角三角形，故正確．故選：BD．6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，面積為.若，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，即，由正弦定理可得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，可得，所以，解得，因?yàn)?，所以，即，所以，可得，所以，所以的形狀是正三角形，故選：C.7．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中）（多選）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，以下說法中正確的是（

）A．若，則B．若，則為鈍角三角形C．若，則符合條件的三角形不存在D．若，則一定是等腰三角形【答案】AC【解析】若，則，所以由正弦定理可得，故A正確；若，，，則，即，所以角為銳角，即為銳角三角形，故B錯(cuò)誤；若，，，根據(jù)正弦定理可得所以符合條件的三角形不存在，即C正確；若，則，即,因?yàn)?所以或，即或，所以為等腰或直角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：AC題組二題組二最值問題1．（2021·安徽）已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，，則ABCD的周長(zhǎng)取最大值時(shí)，四邊形ABCD的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】△ABD中，因AB2+BD2=25=AD2，則，，而四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，如圖：則，，，在中，由余弦定理得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，而，所以時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)取最大值，四邊形ABCD的面積.故選：A2．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，且，，成等差數(shù)列，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，由，，成等差，可得，由，得，．由余弦定理，可得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，即，解得所以的取值范圍是．故選：A3．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，的面積為2，則當(dāng)取得最小值時(shí)（

）A． B． C． D．20【答案】C【解析】，，由正弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).故選：C4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在銳角中，為最大角，且，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A． B．2 C．3 D．【答案】A【解析】由于為最大角，則的對(duì)邊最長(zhǎng)，則，得出.，得，由于為銳角三角形，則，，則.即，整理得，解得.則實(shí)數(shù)的最小值是1.故選：A.5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，是邊上一點(diǎn)，且，，若是的中點(diǎn)，則______；若，則的面積的最大值為_________．【答案】

【解析】若是的中點(diǎn)，則，在中，由余弦定理可得即，整理得，即，所以在中，由余弦定理得即，所以若，，，由上述知作于點(diǎn)E，由，知，作于點(diǎn)F，所以在邊上的高為，所以因?yàn)椋?，所以由余弦定理得即?dāng)時(shí)，有最大值，即，則所以故答案為：，6（2022·山東）如圖，設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，且.若點(diǎn)是外一點(diǎn)，，，則當(dāng)______時(shí)，四邊形的面積的最大值為____________【答案】

【解析】，由正弦定理可得，所以，，，，可得，，，所以，為等邊三角形，設(shè)，則，由余弦定理可得，，，所以，四邊形的面積為，，，所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最大值.故答案為：；.7．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)）在銳角中，，則的取值范圍為________.【答案】【解析】，利用余弦定理可得：，即，由正弦定理可得：，，即，即又為銳角三角形，，即，，又，令，則由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，又，，故答案為：8．（2022·河南）如圖所示，在平面四邊形中，已知，則的最大值為_______．【答案】56【解析】中，，中，由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為56．故答案為：56．9．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角A；(2)若△ABC是銳角三角形，且c＝4，求b的取值范圍．【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵，∴，，∵，∴，，；(2)∵，∴，∴，∵△ABC是銳角三角形，∴，同理，根據(jù)正弦定理得，，﹒10．（2022·寧夏石嘴山·一模（理））在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D為的中點(diǎn)，若．(1)求；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：由，利用正弦定理可得：，，

∵，∴，∴；(2)由D為的中點(diǎn)，∴，∴，，又∵，∴

，

∴，∴，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值．題組三題組三三角形解的個(gè)數(shù)1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）下列在解三角形的過程中，只能有1個(gè)解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，在A條件下，因?yàn)?，所以角B在和上各有一個(gè)解，并且這兩個(gè)解與角A的和都小于，所以A不滿足；在B條件下，，，，根據(jù)余弦定理可得，即，解得或（舍），所以只有1個(gè)解，滿足題意；在C條件下，條件為邊角邊，所以有唯一解；在D條件下，，因?yàn)?，所以角A在和上各有一個(gè)解，當(dāng)解在時(shí)，角B與角A的和大于，所以只有1個(gè)解，滿足題意，故選：BCD．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）中，角A，B，C所對(duì)的三邊分別是a，b，c，以下條件中，使得無解的是（

）A．；B．；C．D．，【答案】ABD【解析】對(duì)于A，大邊對(duì)大角，而a<b，無解；對(duì)于B，由正弦定理得，無解；對(duì)于C，由可得，正弦定理求出，再由正弦定理或余弦定理可求出，有解；對(duì)于，由和，通過余弦定理可得，與矛盾，無解.故選：ABD3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則滿足條件的（

）A．無解 B．有一個(gè)解C．有兩個(gè)解 D．不能確定【答案】C【解析】因?yàn)椋?，由正弦定理可得，，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，因此或，若，則符合題意；若，則，符合題意；因此有兩個(gè)解；故選：C.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，，，若角有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，，，若有唯一解，則有唯一解，設(shè)內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，由，則為一確定的銳角且，所以，如圖以為圓心，為半徑畫圓弧，當(dāng)圓弧與邊有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足條件，如圖示：即圓弧與邊相切或與圓弧與邊相交有2個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上（或在點(diǎn)處），故或，由，即，得或，解得或.故選：．5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，已知：，，，如果解該三角形有兩解，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖：，因?yàn)槿切斡袃山?，所以，所以，所以，?故選：D6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，下列條件使得無法唯一確定的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A：∵，∴A=140°，由正弦定理得：，∴∴唯一確定；故A正確.對(duì)于B：∵，由余弦定理，可得：由正弦定理：，有：可以求出角A、B，∴唯一確定；故B正確.對(duì)于C：∵由正弦定理：，有：，∴，∵∴∴,這樣的角B有2個(gè)，所以不唯一，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：∵由正弦定理：，有：，∴，∵∴∴,這樣的角A有唯一一個(gè)，∴角C唯一，所以唯一，故D正確.故選：C7．（2022·河南·許昌高中高三開學(xué)考試）在三角形ABC中（A點(diǎn)在BC上方），若，，BC邊上的高為h，三角形ABC的解的個(gè)數(shù)為n，則以下錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【解析】作出外接圓如圖所示，因?yàn)?，所以的外接圓半徑為因?yàn)?，所以，，所以?dāng)時(shí)，最大為3，此時(shí)是唯一的，所以B正確，A正確，當(dāng)時(shí)，由圓的對(duì)稱性可知，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤，D正確，故選：C8．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（文））的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，若有兩解，寫出a的一個(gè)可能的值為__________．【答案】（滿足均可，答案不唯一）【解析】由于滿足條件的有兩個(gè)，則，即.故答案為：（滿足均可，答案不唯一）．題組四題組四幾何中的正余弦定理1．（2022·湖南株洲·一模）如圖，在四邊形中，，且,．(1)求的長(zhǎng)；(2)若，求的面積．從①，②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．【答案】(1)(2)選①時(shí)：;選②時(shí)：【解析】(1)由，得,,,在中，由余弦定理得：,,(2)選①時(shí):由（1）可知，，，在中，,,;選②時(shí):由（1）可知，，在中，由余弦定理得,,即，，.2．（2022·山西）在中，，分別在線段上，且，.()（1）若，求證：；（2）設(shè)，且，求的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）最大值為28.【解析】（1）由可得.由余弦定理可得，∴.∴，∴，即；（2）在中，由正弦定理可得，即，故，同理，，由條件可得與的面積之比恰好等于，即，即，∴，∵，∴，∴的最大值為28.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面積；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)設(shè)，在中，由余弦定理得：，即，而x>0，解得，所以，則的面積，梯形中，，與等高，且，所以的面積，則梯形的面積；(2)在梯形中，設(shè)，而，則，，，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，兩式相除得：，整理得，即解得或，因?yàn)?，則，即．4．（2022·云南）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在AB上且滿足：，．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題設(shè)中，求△ABC的面積(注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)【答案】6.【解析】在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，∵，∴，即，則，即是的角平分線；，，，在中，由及正弦定理得，，∴，即.若選①：．在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，cosA＝，∴＝，則，，∴，∴．若選②：．在中，設(shè)，由正弦定理得，則，∵是的角平分線，故，在中，由余弦定理得，，解得，，BC＝，故，∴，則．若選③：．設(shè)，則，，在中，由余弦定理得，，解得，BC＝，則．5．（2022·山東聊城·一模）如圖，在四邊形中，.(1)求；(2)若，求四邊形的面積.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因?yàn)?所以，所以可化為，由二倍角公式可得：因?yàn)锽D<AD,所以,所以，所以,解得.(2)在△ABD中,,，由余弦定理得：,即所以.在△BCD中,由正弦定理得，所以.又因?yàn)椤螩=2∠CBD,所以.又因?yàn)?所以,從而，所以,.因此四邊形ABCD的面積.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，，，．(1)求的值；(2)若，，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由余弦定理，，則，所以，又，且，所以.(2)過作于，，又，所以，，令，則，故，在△中，即，所以，即CD的長(zhǎng)為.7．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)如圖，若D為外一點(diǎn)，且，，，，求AC．【答案】(1)(2)【解析】(1)由，得，即，由正弦定理，得，整理，得，∴，又，∴，∴，又，∴；(2)連接BD，因?yàn)?，，，所以，，所以，所以．又，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以．在中，由余弦定理可得，所以?．（2022·江蘇常州·高三期末）已知在四邊形中，，，，且，．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)7【解析】(1)在中，則，又在中，，故(2)設(shè)，，，，則，由即可知，即在中，，又，則有故在中，即，解之得，即的長(zhǎng)為79．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，為的角平分線．(1)求證：；(2)若且，求的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：由題意可得，因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，則，在中，，則，同理可得，因此，故.(2)解：設(shè)，則，因?yàn)?，即，因?yàn)?，則，則，，即，可得，由（1）可得，則，在中，，整理可得，所以，，因此，.10．（2022·甘肅酒泉·高三期中）在四邊形中，∥，．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)(2)【解析】(1)在三角形中，根據(jù)余弦定理可得，，由題得：，所以，在三角形中，根據(jù)余弦定理可得，，所以，(2)設(shè)，在三角形中，根據(jù)余弦定理可得，，在三角形中，根據(jù)余弦定理可得，，所以，得：或（舍），則題組五題組五正余弦定理與平面向量的綜合運(yùn)用1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）四邊形為梯形，且，，，點(diǎn)是四邊形內(nèi)及其邊界上的點(diǎn).若，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，即.設(shè)向量與的夾角為，則，因?yàn)?，所以，由向量投影定義得，向量在向量上的投影為2，即動(dòng)點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于的直線上.在中，，，，由余弦定理得，所以；則，所以.因?yàn)槭撬倪呅蝺?nèi)及其邊界上的點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡為線段.所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：B.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）如圖，已知點(diǎn)G為的重心，點(diǎn)D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且D，G，E三點(diǎn)共線，，，，，記，，四邊形BDEC的面積分別為，，，則（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，如圖，因G為的重心，則M是BC邊的中點(diǎn)，且，又D，G，E三點(diǎn)共線，即，則有，而，，又，于是得，而與不共線，因此，，，A正確；邊AD上的高為，邊AB上的高為，則，B正確；由A可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，則有，即，而，于是得，C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知點(diǎn)G是三角形的重心，以下結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則三角形是等腰三角形C．三角形的面積等于，則D．若，則【答案】AB【解析】如圖，M、N分別為BC、AB的中點(diǎn)，由重心的性質(zhì)及向量的運(yùn)算知，，故A正確；因?yàn)闉橹芯€，所以,由，知即,所以三角形是等腰三角形，故B正確；三角形的面積等于即,解得,所以,故C不正確；由A知，所以，故D不正確.故選：AB4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）在中，，，其中，均為邊上的點(diǎn)，分別滿足：，，則下列說法正確的是（

）A．為定值3B．面積的最大值為C．的取值范圍是D．若為中點(diǎn)，則不可能等于【答案】ABD【解析】設(shè).對(duì)于A:因?yàn)?，所以D為BC的中點(diǎn).因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)?，所以，所?故A正確；對(duì)于B：，又，當(dāng)且僅當(dāng)“"時(shí),取“=”此時(shí)，所以.故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所?當(dāng)時(shí)，D、E重合，取得最大值3.可知為銳角，當(dāng)最大銳角時(shí)，最大，但無法取到.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若為中點(diǎn)，則.故D正確.故選：ABD.5．（2022·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）在中，若，，則面積的最大值為___________.【答案】【解析】由條件可知，即，，因?yàn)?，即，得，?dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立所以,即面積的最大值為.故答案為：6．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知是的內(nèi)接正三角形，D是劣弧的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)以相同的速度分別在AB，AC邊上運(yùn)動(dòng)到B，C．若的半徑為，則的最大值與最小值之和等于______．【答案】【解析】由已知，的半徑為，，由正弦定理可得，連接AD，如圖，由條件可知，，，．設(shè)，，∴，∴．所以的最大值與最小值之和等于．故答案為：.7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，平面四邊形中，，對(duì)角線相交于．（1）設(shè)，且，（?。┯孟蛄勘硎鞠蛄?；（ⅱ）若，記，求的解析式．（2）在（ⅱ）的條件下，記△，△的面積分別為，，求的取值范圍．【答案】（1）（?。?；（ⅱ），；（2）.【解析】（1）（?。┮?yàn)?，，所以，即，所以，（ⅱ）因?yàn)?，，所以，因?yàn)榍遥?，即，所以，整理可得：?/p>

即，.（2）由（1）知：，由三角形面積公式可得：，記，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為.8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三角形ABC中，，點(diǎn)E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，（1）求和;（2）是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，，當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則由余弦定理得，解得，此時(shí)，由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，所以；（2）由得，，所以，所以，當(dāng)取最小即時(shí)上式最大，此時(shí)，所以，所以的最大值為.題組六題組六正余弦定理與其他知識(shí)綜合運(yùn)用1．（2022·貴州·模擬預(yù)測(cè)（理））已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，，，則，因?yàn)?，所以由余弦定理得，所以解得，所以所?故選：B2．（2022·陜西陜西·二模）在中，三邊長(zhǎng)組成公差為1的等差數(shù)列，最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的外接圓的直徑為___________.【答案】【解析】設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別a，，，最大角為，由已知，∵，∴或.當(dāng)時(shí)，因?yàn)樽畲蠼菫?，所以由三角形?nèi)角和可知，這樣不構(gòu)成三角形，故舍去；當(dāng)時(shí)，由余弦定理可知：.解得或（舍去）.設(shè)外接圓半徑為R，則，即，∴.故答案為：3．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)

取最大值時(shí)的余弦值為．則（Ⅰ）橢圓的離心率為___；（Ⅱ）若橢圓上存在一點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn))，且，則的值為____．【答案】

或【解析】設(shè)分別為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，（Ⅰ）在中，,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，的余弦值最大，，即，則離心率（Ⅱ）取中點(diǎn)，由，即，可得，利用中位線性質(zhì)可得，設(shè)，，則解得，或，或故答案為：；或4．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)（理））已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左右支分別交于A，B兩點(diǎn)，，向量與向量的夾角為，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】設(shè)，由，則，由雙曲線定義知，，因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，所以有，在三角形中，，即解得，在三角形中，，即，把代入，化簡(jiǎn)得，即，所以橢圓的離心率為.故答案為：5．（2022·甘肅武威）《后漢書·張衡傳》：“陽嘉元年，復(fù)造候風(fēng)地動(dòng)儀.以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形.中有都柱，傍行八道，施關(guān)發(fā)機(jī).外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之.其牙機(jī)巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際.如有地動(dòng)，尊則振龍，機(jī)發(fā)吐丸，而蟾蜍銜之.振聲激揚(yáng)，伺者因此覺知.雖一龍發(fā)機(jī)，而七首不動(dòng)，尋其方面，乃知震之所在.驗(yàn)之以事，合契若神.”如圖，為張衡地動(dòng)儀的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)要在相距200km的A，B兩地各放置一個(gè)地動(dòng)儀，B在A的東偏北60°方向，若A地動(dòng)儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東___________