北師大九下數(shù)學(xué)圓的對稱性導(dǎo)學(xué)案

圓的對稱性學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、難點【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．經(jīng)歷探索圓的對稱性及相關(guān)性質(zhì)的過程．

2．理解圓的對稱性及相關(guān)知識．

3．理解并掌握垂徑定理及其逆定理．運用垂徑定理及其逆定理進(jìn)行有關(guān)的計算和證明．【重點難點】1.垂徑定理及其逆定理．

2.垂徑定理及其逆定理的證明.知識概覽圖圓的有關(guān)概念：弧、弦、直徑垂徑定理及其逆定理圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓的有關(guān)概念：弧、弦、直徑垂徑定理及其逆定理圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓心角、弦心距等概念圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系圓的對稱性新課導(dǎo)引【生活鏈接】對于現(xiàn)實生活中的各種圓形物體，我們可以發(fā)現(xiàn)它們的對稱美．教材精華知識點1圓的軸對稱性圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線．拓展圓的對稱軸有無數(shù)條．不能說每條直徑都是圓的對稱軸，因為圖形的對稱軸是一條直線，應(yīng)該說每條直徑所在的直線都是圓的對稱軸．知識點2與圓有關(guān)的概念(1)圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱?。∮梅枴啊小北硎?，如圖3－13所示，以A，B為端點的弧記作“”．讀作“圓弧AB”或“弧AB”．(2)圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．大于半圓的弧叫做優(yōu)弧(用三個字母表示，如圖3－14所示的)；小于半圓的弧叫做劣弧(如圖3－14所示的)．(3)連接圓上任意兩點的線段叫做弦(如圖3－14所示的線段CD)．(4)經(jīng)過圓心的弦叫做直徑(如圖3－14所示的AB)．直徑等于半徑的2倍．拓展(1)直徑是弦，但弦不一定是直徑．(2)半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)?。R點3垂徑定理及其逆定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的?。鐖D3－15所示，垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論可用符號語言表示為：拓展(1)這里的“垂徑”可以是直徑、半徑、過圓心的直線或線段．(2)條件中的“弦”可以是直徑，結(jié)論中的“平分弧”既意味著平分弦所對的劣弧，也意味著平分弦所對的優(yōu)?。箯蕉ɡ淼哪娑ɡ恚浩椒窒?不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的?。鐖D3－15所示，垂徑定理的逆定理的題設(shè)和結(jié)論可用符號語言表示為：拓展一定不能忽略“弦不是直徑”這個條件，因為圓中任意兩條直徑總是互相平分的，但它們未必垂直．由垂徑定理及其逆定理可得的其他結(jié)論．對于一個圓和一條直線來說，如果具備下列五個條件中的任意兩個，那么就可推出其他三個：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所對的優(yōu)??；④平分弦所對的劣??；⑤過圓心．知識點4圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形．實際上，一個圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與原來的圖形重合，這種性質(zhì)是圓的旋轉(zhuǎn)不變性．圓的中心對稱性是其旋轉(zhuǎn)不變性的特例．如圖3－16所示，⊙O繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個角度α，⊙O上的任意點A與A′重合，即⊙O上的所有點旋轉(zhuǎn)α角后，都與⊙O上的點重合．知識點5圓心角、弦心距的概念頂點在圓心的角叫做圓心角．圓心到弦的距離叫做弦心距．如圖3－17所示，∠AOB是⊙O的一個圓心角，垂線段OC的長為弦AB的弦心距．知識點6圓心角、弧、弦之間的關(guān)系圓的一個特性：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．圓心角、弧、弦之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．如圖3－18所示，若下列三個等式：①∠AOB＝∠COD，②AB＝CD，③中有一個等式成立，則其他兩個等式也成立．拓展(1)不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提條件，若丟掉這個前提條件，雖然圓心角相等，但所對的弧、弦不一定相等．(2)要結(jié)合圖形深刻理解圓心角、弧、弦這三個概念和“所對”一詞的含義，否則易錯用此關(guān)系．(3)上述關(guān)系中的“弧”一般指劣?。?4)在具體運用上述關(guān)系解決問題時，可根據(jù)需要選擇其有關(guān)部分．如：在同圓中，相等的弦所對的弧相等；在等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．(5)上面的定理可以擴(kuò)充為“圓心角、弧、弦、弦心距之間相等關(guān)系的定理”——在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．如圖3－19所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四個等式：①∠AOB＝∠COD，②AB＝CD，③，④OE＝OF中有一個等式成立，則其他三個等式也成立．探究交流長度相等的弧是等?。c撥因為在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧，所以等弧必須是在同圓或等圓中的弧，也只有在同圓或等圓中，兩條弧才可能互相重合．因此長度相等的弧不一定是等?。?guī)律方法小結(jié)1．本節(jié)解決問題的主要思想方法是數(shù)形結(jié)合思想，通過圖形把垂徑定理及其逆定理和圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系展現(xiàn)出來，將幾何問題代數(shù)化．如垂徑定理的應(yīng)用，解題過程中使用列方程的方法，用代數(shù)方法解決幾何問題．2．(1)與圓有關(guān)的一些概念的比較．概念區(qū)別與聯(lián)系直徑和弦直徑是弦，但弦不一定是直徑半圓和弧半圓是弧，但弧不一定是半圓同心圓、等圓同心圓是指圓心相同、半徑不等的圓；等圓是指半徑相等、圓心不同的圓(2)垂徑定理及其逆定理和幾個相關(guān)的結(jié)論是證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)．在理解定理的前提下，要把垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來，容易得到圓的半徑、弦心距、弦長及弓形的高之間的關(guān)系式．如圖3－20所示，對于一個圓中的弦長a、弦心距d、半徑r及弓形的高h(yuǎn)，我們利用垂徑定理和勾股定理，由a，d，r，h中的任意兩個可求其他兩個．①若已知r，d，則a＝2；h=r－d．②若已知r，h，則a＝2；d＝r－h(huán)．③若已知r，a，則；．④若已知d，h，則r＝h＋d；a=2．⑤若已知a，d，則；．⑥若已知a，h，則；．由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．如圖3－21所示，弦AB與及組成兩個不同的弓形．弧的中點到弦的距離叫做弓形的高．如圖3－22所示，C為的中點，CD⊥AB于D，則CD為弓形ACB的高．(3)在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦和兩條弦的弦心距四組量之間的相等關(guān)系可以概括為：圓心角相等弧相等弦相等弦心距相等．課堂檢測基本概念題1、下列語句中，不正確的有()①直徑是弦；②弧是半圓；③經(jīng)過圓內(nèi)一定點可以作無數(shù)條弦；④長度相等的弧是等?。瓵．①③④B．②③C．②D．②④基礎(chǔ)知識應(yīng)用題2、如圖3－23所示，AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB∥CD，直徑MN⊥AB于E，MN交CD于F，根據(jù)垂徑定理，請你至少寫出五個結(jié)論．3、如圖3－25所示，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，則⊙O的半徑長為cm．4、如圖3－26所示，在⊙O中，過圓周上一點A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N分別為弦AB及AC的中點，連接MN并向兩方延長，交圓于P和Q兩點，求證PM＝NQ．綜合應(yīng)用題5、如圖3－27所示⊙O1和⊙O2相交于A和B兩點，過點A作O1O2的平行線交兩圓于C，D兩點，已知O1O2＝20cm，求CD的長．6、如圖3－28所示，以□ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑畫圓，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，延長BA交⊙A于G，求證．探索與創(chuàng)新題7、如圖3－29所示，在半圓O中，半徑OF⊥AB于O，OF交CD于點E，CD∥AB，則弦AC與BD是否相等?8、如圖3－30所示，∠APC＝∠BPC，PC過圓心O，請判斷PA與PB之間的大小關(guān)系．體驗中考1、如圖3－33所示，弦CD垂直于⊙O的直徑AB，垂足為E，且CD＝，BD＝，則AB的長為()A．2B．3C．4D．52、如圖3－34所示，⊙O的直徑CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足為M，則DM的長為．3、如圖3－35所示，⊙O的直徑AB垂直弦CD于P，且P是半徑OB的中點，CD＝6cm，則直徑AB的長是()A．cmB．cmC．cmD．cm學(xué)后反思 附：課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、分析①是正確的；②不正確，因為弧不一定是半圓，如優(yōu)弧是弧，但不是半圓；③是正確的；④不正確，因為等弧是在同圓或等圓中，能夠互相重合的兩條?。圆徽_的有②④．故選D．【解題策略】準(zhǔn)確理解弦、直徑、弧、半圓、等弧等與圓有關(guān)的概念．2、分析由MN⊥AB．MN為直徑，可得AE＝BE，，．由MN⊥AB，AB∥CD，可得MN⊥CD，CF＝DF，，．又由，，可得，即．解：答案不唯一，如由MN⊥AB，MN為直徑，可得AE＝BE，，．由MN⊥AB，AB∥CD，可得MN⊥CD，，，．【解題策略】由本例我們得出垂徑定理的一個重要推論，即圓的兩條平行弦所夾的弧相等．如圖3－24所示，若AB∥CD，則．3、分析欲求半徑長，可連接OB．由垂徑定理．可得BC＝AC＝AB＝×8＝4(cm)．在Rt△OCB中，OB＝＝5(cm)．即⊙O的半徑長為5cm．故填5．【解題策略】(1)垂徑定理的應(yīng)用常與勾股定理相聯(lián)系．(2)連接半徑是圓中常見的一種輔助線的作法．通過連接半徑可構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理求相關(guān)線段的長度．4、分析欲證PM＝NQ，由PQ為弦，容易聯(lián)想到作弦心距OH，則PH＝HQ連接OM，ON．現(xiàn)只需證MH＝HN即可．又M，N分別為弦AB，AC的中點，易知OM＝ON，所以可證MH＝NH．證明：作OH⊥PQ于H，則PH＝HQ連接OM，ON．∵M(jìn)，N分別是弦AB，AC的中點，∴OM⊥AB，ON⊥AC．∵AB＝AC，∴OM＝ON．∵OH⊥MN，∴MH＝HN．∴PH－MH＝HQ－HN，∴PM＝NQ．【解題策略】本例反復(fù)運用垂徑定理及其逆定理和推論來達(dá)到證題的目的，要仔細(xì)體會遇弦作弦心距這種輔助線作法的應(yīng)用．5、分析可過O1作O1E⊥CD于E，過O2作O2F⊥CD于F，這樣就可構(gòu)造出矩形O1O2FE解：過O1作O1E⊥AC于E，過O2作O2F⊥AD于F由垂徑定理，可得AE＝EC，AF＝DF，∴EF＝AE＋AF＝CD．∵EF∥O1O2，O1E∥O2F，O1E⊥AC，O2F⊥∴四邊形O1O2FE是矩形．∴EF＝O1O2＝20cm，∴CD＝2EF＝40cm．【解題策略】本題在解題過程中綜合運用了垂徑定理及矩形的判定和性質(zhì)．6、分析可連接AF，欲證，可證它們所對的圓心角∠GAE與∠EAF相等．證明：連接AF，則AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF，∴∠GAE＝∠EAF，∴．【解題策略】在同圓中，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系是證弧相等、角相等、線段相等的依據(jù)，一般在分析時，哪一組量與所證問題聯(lián)系最緊，就應(yīng)構(gòu)造這一組量，再證明相等．7、分析由圖形和已知條件不難發(fā)現(xiàn)，半徑OF是弦CD的中垂線，要探求弦AC與BD是否相等，只需判斷圓心角∠AOC與∠BOD是否相等即可，可連接OC，OD．解：連接OC，OD，則OC＝OD．因為OE⊥AB，所以∠AOE＝∠BOE＝90°．又因為AB∥CD，所以O(shè)E⊥CD，CE＝DE，所以∠COE＝∠DOE，所以∠COA＝∠BOD，所以AC＝BD．【解題策略】本題的解題關(guān)鍵是利用垂徑定理和半徑的性質(zhì)求得∠COE＝∠DOE，而不需要由△COE≌△DOE來得到∠COE＝∠DOE．8、分析PA，PB既不是弦也不是弧，而是弦上的線段，所以可以過O作兩弦的垂線．解：作OE⊥PA，OF⊥PB，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE＝GA，BF＝HB．因為∠APC＝∠BPC，所以O(shè)E＝OF，所以GA＝HB，所以GA＝HB，所以AE＝BF．因為OE＝OF，OP＝OP，所以Rt△OPE≌Rt△OPF，所以PE＝PF，所以PE＋EA＝PF＋BF，所以PA＝PB．【解題策略】(1)圓心到弦的距離叫做弦心距；(2)在同圓或等圓中，若兩條弧、兩個圓心角、兩條弦、兩條弦的弦心距有一組量相等，則其余各組量都相等．體驗中考1、分析在⊙O中，AB為直徑，AB⊥CD于E，所以∠DEB＝90°，所以CE＝D