設(shè)而不求法在三角形問題中的應(yīng)用

設(shè)不法三形題的用“設(shè)而不求法”稱“增設(shè)輔助未知量法”或“參法解題時通常設(shè)輔助元，再利用其與未知之間的制約關(guān)系，建立方程或數(shù)式，然后將未知數(shù)消去或代換解決問題，此法不僅泛運用于代數(shù)問題中，而且在何問題中也有應(yīng)用，下面舉例說設(shè)而不求法在解有關(guān)角形的幾何問題中的應(yīng)用．一、三角形角平線交角問題例求：三角形一內(nèi)角平分線與另一外角平分線的交角等于第三角的一半解析如圖1，在△中，、CE分是內(nèi)角ABC和角∠ACD的平分線，它們交于點．設(shè)E＝，＝y(tǒng)，則＝－x，∠＝2(y－x)ACD2y，∴∠A＝ACD－∠ABC＝2y－2(y－x)＝2x＝∠，即∠＝

∠A．點評本通過設(shè)兩個角的度數(shù)兩個輔助元即幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，體現(xiàn)了以數(shù)助形思想值得注意的是本題有兩個姊妹題同樣可以借助設(shè)不求的方法解決，請看圖2、圖3（解略二、等腰三角形的應(yīng)用例2如，在△中，ABC＝110，＝AN．＝，求∠MNP的數(shù)．解析設(shè)∠A＝，則C＝70x，AMAN，CN，可知AMN和ACNP都1

是等腰三角形．知故而∠°點評初本題條件較少，且已知與未知之間的系并不明朗，但通過設(shè)＝x可立即得出其它相角的度數(shù)．使幾何問題轉(zhuǎn)化為于解決的代數(shù)式．例求：等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半．解析如圖，在等腰ABC中AB＝ACBD上AC設(shè)∠Ax，則∠＝

180∴∠DBC°－

180x，即A＝∠DBC．點評本的關(guān)鍵是如何利用設(shè)參法來解決問題例如，在等ABC中AB＝ACAD＝，求證：∠BAD2EDC解析設(shè)∠EDC＝，C＝，則AED＝x＋．∵ABAC，＝，∴＝∠C＝，∠＝∠AEDx＋，∴ADC2x＋．故＝∠ADC－∠B＝＋y－＝2EDC點評在等腰角形的設(shè)而不求法中，往往通過頂角或底角的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和定理解決問．本題設(shè)法與例類似，用兩個未知數(shù)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，起到了化繁為簡的用．三、直角三角形的應(yīng)用例如，在正方形ABCD中為BC的點為的四等分點連結(jié)AE，，EF，說明△AEF是角角形．解析設(shè)＝，則由為CD四分點，為BC點，可得BE＝EC，AB＝4x＝．在ABEeq\o\ac(△,Rt)，eq\o\ac(△,Rt)ADF中，勾股定理，得AE2AB2BE

＝20x2EF2＝CE2CF

＝2

，2AD2DF＝．2

故得AE＋2

＝AF2

，∴△是角三角形．點評本題涉勾股定理逆定理的運用，在求邊關(guān)系時，通過設(shè)一線段的長，得出其他各線段長，在收到了“一通而百通”的解效果．例6如8已知△中AB＝6，AC9，AD⊥于，MAD上意一點，求MC2

－MB

的值．解析設(shè)＝，＝．∵AD⊥BC，在eq\o\ac(△,Rt)，eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理，得2

＝2

＋

，MB＝MD＋x2∴－MB＝

－

．同理，可知

＝AD

＋，AC＝AD＋DC，即＝AD2＋x

，81AD＋

．∴－MB＝

－

＝－＝．點評注意到題中的兩對直角三角形有一公共角邊用勾股定理將MC－MB2轉(zhuǎn)化為CD－BD

，即y2

－

，通過設(shè)參、等變形、消元等體現(xiàn)方程思想的法，很好地解決了問題，得注意的是，本題通過設(shè)參轉(zhuǎn)后最后求出的不是未知x，而是代數(shù)式y(tǒng)－的，是設(shè)而不求法中解幾何題所常用的法．四、求面積例7已：直角角形中，周長為＋，邊上的中線為，此直角三角的面積．解析如圖9在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠＝°斜邊上的中線CD．由直角三角形斜邊上的中線等斜邊的一半，知AB＝2．設(shè)＝bBC＝a，則a＋b＝

，3

＝＝問題轉(zhuǎn)化為求的，注意勾股定理a＋＝4，利用完全平方式，得＝＋2ab，解得＝，∴

△ABC

ab．點評本如果根據(jù)習(xí)慣性思維，先求三角形的和高再求面積，則難以得解．于是改變思路求其整，即求底與高的積，巧妙地將何問題又一次轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，助勾股定理和完全平公式，用設(shè)而不求法解決了這面積問題．波利亞在《怎樣題》一書中指出了可能利用它，你是否應(yīng)引入某個輔助元素？…如果問和某一圖形有關(guān)，那么他應(yīng)該張圖并在上面標(biāo)出未知數(shù)與已知據(jù)，如果對這些對象要給以名稱，他應(yīng)該引入適當(dāng)符號．適當(dāng)?shù)刈⒁膺x擇符號，他會被迫考慮這些選擇號的對象以數(shù)例表明，雖然