九年級數學下冊 1.6 利用三角函數測高 教案 新版北師大版

PAGE1.6利用三角函數測高一、教學目標能根據實際問題設計活動方案，能綜合運用直角三角形的邊角關系解決實際問題二、課時安排1課時三、教學重點能夠綜合運用直角三角形邊角關系的知識解決實際問題四、教學難點能夠綜合運用直角三角形邊角關系的知識解決實際問題五、教學過程（一）導入新課數學課上，我們用直尺測量長度，用量角器測量角度.生活中，我們是如何測量長度和角度的呢？測量長度可以用皮尺或卷尺，測量傾斜角可以用測傾器.簡單的測傾器由度盤、鉛錘和支桿組成.（如圖）測傾器使用測傾器測量傾斜角的步驟如下：1、把支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時度盤的頂線PQ在水平位置．2、轉動度盤，使度盤的直徑對準目標M，記下此時鉛垂線所指的度數．根據測量數據，你能求出目標M的仰角或俯角嗎？說說你的理由.（二）講授新課活動一：測量傾斜角（1）.把測角儀的支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時度盤的頂線PQ在水平位置.（2）.轉動度盤，使度盤的直經對準較高目標M，記下此時鉛垂線指的度數.那么這個度數就是較高目標M的仰角.問題1、它的工作原理是怎樣的？如圖，要測點M的仰角，我們將支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時度盤的頂線PQ在水平位置.我們轉動度盤，使度盤的直徑對準目標M，此時鉛垂線指向一個度數.即∠BCA的度數.根據圖形我們不難發(fā)現∠BCA+∠ECB＝90°，而∠MCE+∠ECB=90°，即∠BCA、∠MCE都是∠ECB的余角，根據同角的余角相等，得∠BCA＝∠MCE.因此讀出∠BCA的度數，也就讀出了仰角∠MCE的度數.問題2、如何用測角儀測量一個低處物體的俯角呢?和測量仰角的步驟是一樣的，只不過測量俯角時，轉動度盤，使度盤的直徑對準低處的目標，記下此時鉛垂線所指的度數，同樣根據“同角的余角相等”，鉛垂線所指的度數就是低處的俯角.活動二：測量底部可以到達的物體的高度.“底部可以到達”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點與被測物體底部之間的距離.要測旗桿MN的高度，可按下列步驟進行：(如下圖)1.在測點A處安置測傾器(即測角儀)，測得M的仰角∠MCE=α.2.量出測點A到物體底部N的水平距離AN＝l.3.量出測傾器(即測角儀)的高度AC＝a(即頂線PQ成水平位置時，它與地面的距離).根據測量數據，就能求出物體MN的高度.在Rt△MEC中，∠MCE=α，AN=EC=l，所以tanα=，即ME=tana·EC＝l·tanα.又因為NE＝AC＝a，所以MN＝ME+EN＝l·tanα+a.活動三：測量底部不可以到達的物體的高度.所為“底部不可以到達”，就是在地面上不能直接測得測點與被測物體的底部之間的距離.例如測量一個山峰的高度.可按下面的步驟進行(如圖所示)：在測點A處安置測角儀，測得此時物體MN的頂端M的仰角∠MCE＝α.2.在測點A與物體之間的B處安置測角儀(A、B與N都在同一條直線上)，此時測得M的仰角∠MDE=β.3.量出測角儀的高度AC＝BD＝a，以及測點A，B之間的距離AB=b根據測量的AB的長度，AC、BD的高度以及∠MCE、∠MDE的大小，根據直角三角形的邊角關系.即可求出MN的高度。探究歸納在Rt△MEC中，∠MCE＝α，則tanα＝，EC=；在Rt△MED中，∠MDE＝β則tanβ＝，ED＝；根據CD＝AB＝b，且CD＝EC-ED=b.所以-=b,ME=MN=+a即為（三）重難點精講如圖，某中學在主樓的頂部和大門的上方之間掛一些彩旗．經測量，得到大門的高度是５m，大門距主樓的距離是30m，在大門處測得主樓頂部的仰角是30°，而當時側傾器離地面1.4m,求學校主樓的高度。(精確到0.01m)解：如圖，作EM垂直CD于M點,根據題意，可知EB=1.4m，∠DEM=30°,BC=EM=30m,CM=BE=1.4m在Rt△DEM中，DM=EMtan30°≈30×0.577=17.32(m)CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m)（四）歸納小結本節(jié)課同學們在各個小組內都能積極地投入到方案的設計活動中，想辦法.獻計策，用直角三角形的邊角關系的知識解釋設計方案的可行之處.相信同學們在下節(jié)課的具體活動中會更加積極地參與到其中.（五）隨堂檢測1．如圖，山頂有一座電視塔，在地面上一點A處測得塔頂B處的仰角α＝60°，在塔底C處測得A點俯角β＝45°，已知塔高60米，則山高CD等于()A．30(1＋eq\r(3))米B．30(eq\r(3)－1)米C．30米D．(30eq\r(3)＋1)米2．如圖，從熱氣球C處測得地面A，B兩點的俯角分別是30°，45°，如果此時熱氣球C處的高度CD為100米，點A，D，B在同一直線上，則AB兩點的距離是()A．200米B．200eq\r(3)米C．220eq\r(3)米D．100(eq\r(3)＋1)米,第5題圖),第6題圖)3.如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點經過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角α為60°，又從A點測得D點的俯角β為30°，若旗桿底點G為BC的中點，則矮建筑物的高CD為()A．20米B．10eq\r(3)米C．15eq\r(3)米D．5eq\r(6)米4．“馬航事件”的發(fā)生引起了我國政府的高度重視，迅速派出了艦船與飛機到相關海域進行搜尋．如圖，在一次空中搜尋中，水平飛行的飛機觀測得在點A俯角30°方向的F點處有疑似飛機殘骸的物體(該物體為靜止)．為了便于觀察，飛機繼續(xù)向前飛行了800米到達B點，此時測得點F在點B俯角為45°的方向上，請你計算當飛機飛臨F點的正上方點C時(點A，B，C在同一直線上)，豎直高度CF約為多少米？(結果保留整數，參考數值：eq\r(3)≈1.7)5．在中俄“海上聯合－2014”反潛演習中，我軍艦A測得潛艇C的俯角為30°，位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機B測得潛艇C的俯角為68°，試根據以上數據求出潛艇C離開海平面的下潛深度．(結果保留整數，參考數據：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，eq\r(3)≈1.7)6．如圖，在電線桿CD上的C處引拉線CE，CF固定電線桿，拉線CE和地面所成的角∠CED＝60°，在離電線桿6米的B處安置高為1.5米的測角儀AB，在A處測得電線桿上C處的仰角為30°，求拉線CE的長(結果保留小數點后一位，參考數據：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)．【參考答案】1.A2.D3.A4.解：∵在Rt△CBF中，∠CBF＝45°，∴tan45°＝eq\f(CF,BC)＝1，∴BC＝CF，設CF的長為x米，則AC＝800＋x，在Rt△ACF中，eq\f(CF,AC)＝tan∠CAF＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(x,800＋x)＝eq\f(\r(3),3)，解得x＝400eq\r(3)＋400≈1080(米)，所以豎直高度CF約為1080米．5.解：過點C作CD⊥AB，交BA的延長線于點D，則AD即為潛艇C的下潛深度，根據題意得：∠ACD＝30°，∠BCD＝68°，設AD＝x，則BD＝BA＋AD＝1000＋x，在Rt△ACD中，CD＝eq\f(AD,tan∠ACD)＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)x，在Rt△BCD中，BD＝CD·tan68°，∴1000＋x＝eq\r(3)x·tan68°，解得：x＝eq\f(1000,\r(3)·tan68°－1)＝eq\f(1000,1.7×2.5－1)－1≈308米，∴潛艇C離開海平面的下潛深度為308米6.解：過點A作AH⊥CD，垂足為H，由題意可知四邊形ABDH為矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，在Rt△ACH中，tan∠CAH＝eq\f(CH,AH)，∴CH＝AH·tan∠CAH＝6tan30°＝6×eq\f(\r(3),3)＝2eq\r(3)(米)，∵DH＝1.5，∴CD＝2eq\r(3)＋1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED＝60°，sin∠CED＝eq\