三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、基礎(chǔ)知識(shí)三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形.（三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角;相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)）三角形的表示三角形ABC用符號(hào)表示為△ABC，三角形ABC的邊AB可用邊AB所對(duì)的角C的小寫(xiě)字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三個(gè)頂點(diǎn)用大寫(xiě)字母A,B,C來(lái)表示。注意：（1）三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；（2）三角形是一個(gè)封閉的圖形；（3）△ABC是三角形ABC的符號(hào)標(biāo)記，單獨(dú)的△沒(méi)有意義三角形的分類(lèi)：（1）按邊分類(lèi)：等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形（2）按角分類(lèi)：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三角形的主要線段的定義：三角形的中線：三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．如圖：（1）AD是△ABC的BC上的中線.（2）BD=DC=BC.注意：①三角形的中線是線段；②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)（重心）③中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形．三角形的角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段如圖：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分線.（2）∠1=∠2=∠BAC.注意：①三角形的角平分線是線段；②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)（內(nèi)心）③角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．如圖：①AD是△ABC的BC上的高線；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是線段；②銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部：直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)上。三角形三條高所在直線交于一點(diǎn)（垂心）③由于三角形有三條高線，所以求三角形的面積的時(shí)候就有三種（因?yàn)楦叩撞灰粯樱┤切蔚闹写咕€：過(guò)三角形一條邊中點(diǎn)所做的垂直于該條邊的線段如圖：DE是△ABC的邊BC的中垂線；DE⊥BC于D；BD=DC注意：①三角形的中垂線是直線；②三角形的三條中垂線交于一點(diǎn)（外心）小總結(jié)：內(nèi)心：三條角平分線的交點(diǎn),也是三角形內(nèi)切圓的圓心.性質(zhì)：到三邊距離相等.外心：三條中垂線的交點(diǎn),也是三角形外接圓的圓心.性質(zhì)：到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.重心：三條中線的交點(diǎn).性質(zhì)：三條中線的三等分點(diǎn),到頂點(diǎn)距離為到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.垂心：三條高所在直線的交點(diǎn).SAS（邊角邊）：兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形。ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等AAS（角角邊）：兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等。HL(斜邊、直角邊)）：在一對(duì)直角三角形中，斜邊及另一條直角邊相等。下列兩種方法不能驗(yàn)證為全等三角形：AAA（角角角）：三角相等，不能證全等，但能證相似三角形SSA（邊邊角）：其中一角相等，且非夾角的兩邊相等。六、相似三角形三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等、三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似。（這是相似三角形判定的定理，是以下判定方法證明的基礎(chǔ)。這個(gè)引理的證明方法需要平行線與線段成比例的證明）判定定理常用的判定定理有以下6條：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似。（AA）判定定理2：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似。（SAS）判定定理3：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。（SSS）判定定理4：兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)平行，則兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)平行，兩個(gè)三角形相似。）判定定理5：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似。）（HL）判定定理6：如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形相似（相似比為1：1）（簡(jiǎn)敘為：全等三角形相似）。相似的判定定理與全等三角形基本相同，因?yàn)槿热切问翘厥獾南嗨迫切?。一定相似符合下面的情況中的任何一種的兩個(gè)（或多個(gè)）三角形一定相似：兩個(gè)全等的三角形全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1：1。補(bǔ)充：如果△ABC∽△A‘B’C‘，∴AB/A’B‘=AC/A’C‘=BC/B'C’=K當(dāng)K=1時(shí)，這兩個(gè)三角形全等。（K為它們的比值）任意一個(gè)頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形兩個(gè)等腰三角形，如果其中的任意一個(gè)頂角或底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似。兩個(gè)等邊三角形兩個(gè)等邊三角形，三個(gè)內(nèi)角都是60度，且邊邊相等，所以相似。直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形由于斜邊的高形成兩個(gè)直角，再加上一個(gè)公共的角，所以相似。4、性質(zhì)定理相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成正比例。相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于半徑等）的比等于相似比。（3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。（5）相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長(zhǎng)比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方（6）若a/b=b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中項(xiàng)(7)a/b=c/d等同于ad=bc.(8)不必是在同一平面內(nèi)的三角形里。5、推論推論一：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論二：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。推論三：如果一個(gè)三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。6、射影定理直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。例如：(前提：∠BAD+∠DA