《線性代數(shù)B》模擬試卷四參考答案

1《線性代數(shù)B模擬試卷參考答一、填題（空分，共24）11

11

3.

1

解：

11

11x

2

12設(shè)f(x)

22

14

11

，則fx)中x

的系數(shù)-1；1

x

1解：將四階行列式為“各各列只有一含x再將這含x的項(xiàng)移主對(duì)角上即可求出x

的系數(shù)x

x

21

0

x

21

2

1

11f(x)

2x21

14

1c1x1

2x22

14

1rr1rx1

022

x14

x1

11x要產(chǎn)生

，則必是三項(xiàng)含x一項(xiàng)含數(shù)，此時(shí)只主對(duì)角上的四個(gè)元中三項(xiàng)x另一項(xiàng)常數(shù)所以x

的系數(shù)1.3已知三階方A的三個(gè)特征為:，則解：根方陣特征值性質(zhì)，36

6；4已知是三方陣,且,則A

A

1；2解：因，以A逆，且A

1

1A*2

，

4，則AA

1111AA()4285、設(shè)元非齊線性方程組

Axb的系數(shù)矩A的秩為2，且它的三個(gè)向量,1

滿足

1

(1,1,1)

T

，

(2,1,1)T23

,Ax的解為；解：根非齊次線性程組與對(duì)應(yīng)的齊次性方程的解的性質(zhì)關(guān)系可，()2(1,1,1)T123

(2,1,1)

T

T

是0的一個(gè)非零解，

T01001111而0的礎(chǔ)解系含向量的個(gè)T01001111所以Ax的通解為：

x(1,1,1)Tc(0,1,1)T1

（

c

）6.

V{x(x,xx)x0,x,...,xR},是不2n1n1是向量間？回答：

是。解：因

(xx,...,T12n

xxx,x12nn

，(,,...,)Ty0,,y,...,R12n212n

，R則

x)T,...,)T(x,...,x)T12nn122

，kxkxx)T12n

,,...,)T112而

(y(x)(xy)12n()(yyy012nnkx...kxxxxk012nn所以

xyVkxV，從是向量空。二、選題:（每小4分，共分）11行列式11的值為(D)0114

(B)1

(C)2

4解：故11

rrr1

21

r1rr21

10，所以選（）22rr31

0

10

21(C)10(A)1(B)

100

010

111(C)(D)

110001

rr32010001101rrr32010001101r2rrrr10302rr

10

1

所以01111，選（1103矩陣2111的秩為C)(A)

(B)2

(C)

(D)4111110解：因1110133所以其為3選（4設(shè)A為m陣，齊次性方程0只有零解的分必要件是A（A(A)向量組性無(wú)關(guān)；(B)向量線性相；(C)向量組性無(wú)關(guān)；(D)向量線性相。解：齊線性方程組Ax0只有零解nA列向量線性無(wú)關(guān)，A5.設(shè)線性方組b有未知量m個(gè)程，且RAr，則此程組（）(A)r時(shí)，有解；(B)rn時(shí)，有一解；(C)m，有唯解；(D)rn時(shí)，有窮多解解：Axb有解R(A)，因?yàn)锳為n型矩陣要使R(R(Ab，A為行滿秩陣，即R)rm。故選（A。6與向量(1,1,1)正交的向量是(C)1)

(1,1,

(C)(1,1,2)

(D)

(1)解：與量正交的向量,)應(yīng)足：x0，故選C。23三、計(jì)行列式:D

21030214

0017

1626

（6分解：

D

32

r

3

7

???分

r(2)r

32

71

2分714

r3)r2r(7r2

300

762

4分rr

3

6

5分=756分評(píng)分說(shuō)：本題為列式的計(jì)算可以使行列式的性和行列的展開(kāi)定理行計(jì)算計(jì)算方法和過(guò)不唯一。其計(jì)算過(guò)可參照?qǐng)?zhí)行原則（）正確用行列式的質(zhì)（2）計(jì)前后不出現(xiàn)數(shù)據(jù)錯(cuò)。四求量組

2)

，

2

T

，

3

(0,1,1,2)

的秩和個(gè)最大無(wú)關(guān)。（8分11

0

解：因(

,,)2

10022

112

1分rrrr00

1001014

3分r(rrrr

10000

0210

5分所以，(

)

61

,2

為其最大線性無(wú)關(guān)。83評(píng)分說(shuō)：

011012111，1011012111，1000123121211r31

0

01

1

五、解陣方程：10X023（分）

2

解：設(shè)A0，010，C21，則方程組化為AXBC。??????????????????又因?yàn)锳1，B與B可，??????分且逆矩分別為：

1

1

110??????????4分

010

12

00

所以，11

1003110?????

2

001

13

01031??????????分評(píng)分說(shuō)：本題的際計(jì)算過(guò)程以有多方式進(jìn)行，照此參標(biāo)準(zhǔn)執(zhí)行。xx1六、解齊次線性方組：42x2（分）14xxx1解：對(duì)廣矩陣B(A)做初行變換

21

41????????121110010????????????rr000

321x11223321x112233630121r(1)60000r2則(ARB)2n，所以原方程組解，等方程組為

2xx23x0

，即

11xx123x34

8分令c，xc，則原方程的通解表示為101，其,c為任常數(shù)。12分0102x004評(píng)分說(shuō)：增廣矩的初等變換以不采上述次序，果也可有其它描述但只要換過(guò)程正確（要一定數(shù)量變換步，通解為價(jià)描述可視為正確果。

123

七、設(shè)A，求一個(gè)正交陣P，使解：矩的特征項(xiàng)式為

1

對(duì)角陣12分）E

123

213

336

1r3rr32

121

33

cc13c2

450

540

33()令

,解特征1,

9。32對(duì)

,齊次線方程組

()X0，即23X0，得其基礎(chǔ)解系為

1

5分

361333613322300

12

對(duì),解齊次線性方程(AE)X0，即，得其基礎(chǔ)解系：2

1

2

???72

3

對(duì),解齊次性方程()X0，即2X0，得其礎(chǔ)解系為：3

1

3

1???????分令

1，p

112，20

??取正交P為P(p,p),則0，且P?123評(píng)分說(shuō)：本題中次線性方程的基礎(chǔ)系可以有不的描述正交陣P的成可以不同的方式或同的描述，應(yīng)的對(duì)陣也可以有當(dāng)?shù)淖?，只需要有定?shù)量計(jì)算步驟，計(jì)算正，即