2019版數(shù)學（理）一輪講義：第51講　雙曲線 含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第51講雙曲線考綱要求考情分析命題趨勢1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程,知道它的簡單幾何性質(zhì)．2．了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用、了解雙曲線的實際背景．3．理解數(shù)形結(jié)合的思想.2017·全國卷Ⅰ,152017·全國卷Ⅱ，92017·北京卷，92017·天津卷，52017·江蘇卷，81.求解與雙曲線定義有關(guān)的問題；利用雙曲線的定義求軌跡方程；求雙曲線的標準方程;確定雙曲線焦點的位置．2．求雙曲線的漸近線；求解與雙曲線的范圍、對稱性有關(guān)的問題；求解雙曲線的離心率。分值:5分1．雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的__距離的差的絕對值__等于常數(shù)（小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)）)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做__雙曲線的焦點__,兩焦點間的距離叫做__雙曲線的焦距__．集合P＝eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(M\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（MF1)）））－\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（MF2））））＝2a）），eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（F1F2))＝2c，其中a，c為常數(shù)，且a>0,c〉0.(1）當__a＜c__時，點P的軌跡是雙曲線；（2）當__a＝c__時，點P的軌跡是兩條射線;（3）當__a＞c__時，點P不存在．2．雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程eq\f（x2，a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）eq\f（y2，a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a,y∈Ry≤－a或y≥a,x∈R對稱性對稱軸：__坐標軸__,對稱中心：__原點__頂點A1__(－a,0）__，A2__（a,0）__A1__(0，－a)__,A2__(0，a）__漸近線y＝±eq\f（b,a）xy＝±eq\f(a,b）x離心率e＝__eq\f（c，a）__，e∈(1,＋∞)a,b，c的關(guān)系c2＝__a2＋b2__實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(A1A2）)＝__2a__；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(B1B2））＝__2b__；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長3．常用結(jié)論(1）雙曲線的焦點到漸近線eq\f（x2,a2）－eq\f（y2,b2)＝0(a＞0，b＞0）的距離為b。如右圖△OFH是分別以邊a，b，c為邊長的直角三角形．（2）如下圖：eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2，b2）＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,a2)－eq\f（y2,b2)＝1（a＞0,b＞0)則有:P1,P2兩點坐標都為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（c，\f（b2，a))),即eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（FP1))＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（FP2）)＝eq\f（b2,a)。1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”）．（1）平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4）距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線．（×)（2）平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4）距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．(×）(3）方程eq\f(x2,m）－eq\f(y2，n)＝1(mn＞0）表示焦點在x軸上的雙曲線．(×）（4)雙曲線方程eq\f(x2,m2)－eq\f（y2,n2)＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0）的漸近線方程是eq\f(x2，m2)－eq\f(y2，n2）＝0，即eq\f（x,m）±eq\f（y，n）＝0.（√）解析(1)錯誤．由雙曲線的定義知，應(yīng)為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部．(2）錯誤．因為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（MF1))－\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（MF2)))）＝8＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(F1F2))，表示的軌跡為兩條射線．（3）錯誤．當m＞0，n＞0時表示焦點在x軸上的雙曲線，而m＜0,n＜0時則表示焦點在y軸上的雙曲線．（4)正確．因為eq\f（x2，a2)－eq\f(y2，b2）＝1（a＞0,b＞0）的漸近線方程為y＝±eq\f（b,a）x，即eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝0，所以當λ＞0時，eq\f(x2，λm2）－eq\f(y2，λn2）＝1(m＞0，n＞0)的漸近線方程為eq\f（x2,λm2)－eq\f（y2，λn2)＝0,即eq\f(x2，m2）－eq\f（y2,n2）＝0，即eq\f（x,m）±eq\f（y,n)＝0，同理當λ＜0時，仍成立,故結(jié)論正確．2．過雙曲線x2－y2＝8的左焦點F1有一條弦PQ在左支上，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PQ))＝7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，則△PF2Q的周長是(C）A．28 B．14－8eq\r（2）C．14＋8eq\r(2) D．8eq\r（2）解析由雙曲線定義知，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF2))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1）)＝4eq\r（2)，eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(QF2))－eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（QF1)）＝4eq\r(2）,∴eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（PF2)）＋eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（QF2）)－(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF1)）＋eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（QF1）))＝8eq\r（2).又eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（PF1）)＋eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(QF1））＝eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（PQ))＝7,∴eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（PF2)）＋eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(QF2)）＝7＋8eq\r(2)?！唷鱌F2Q的周長為14＋8eq\r（2）.3．雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是(C)A．2 B．2eq\r(2）C．4 D．4eq\r(2）解析雙曲線2x2－y2＝8的標準方程為eq\f(x2，4）－eq\f（y2，8)＝1，所以實軸長2a＝4,故選C．4．設(shè)雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f（y2,9)＝1（a＞0）的漸近線方程為3x±2y＝0，則a的值為(C）A．4 B．3C．2 D．1解析雙曲線eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,9)＝1的漸近線方程為eq\f(x，a）±eq\f（y,3）＝0。整理得3x±ay＝0,故a＝2,故選C．5．(2017·北京卷)若雙曲線x2－eq\f(y2，m）＝1的離心率為eq\r（3），則實數(shù)m＝__2__.解析由雙曲線的標準方程可知a2＝1,b2＝m,所以a＝1，c＝eq\r(1＋m），所以eq\f(\r(1＋m），1)＝eq\r（3），解得m＝2。一雙曲線的定義及其標準方程雙曲線的定義和標準方程中的注意點（1)在解決與雙曲線的焦點有關(guān)的距離問題時，通?？紤]利用雙曲線的定義．(2)在運用雙曲線的定義解題時，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清楚是指整條雙曲線還是雙曲線的一支．（3）求雙曲線方程時一是標準形式的判斷；二是注意a,b，c的關(guān)系易錯易混．【例1】（1)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F（3,0），離心率等于eq\f（3,2），則C的方程是（B）A．eq\f(x2，4)－eq\f（y2,\r(5）)＝1 B．eq\f(x2，4)－eq\f（y2,5)＝1C．eq\f(x2,2）－eq\f（y2，5）＝1 D．eq\f（x2,2）－eq\f(y2,\r(5)）＝1（2）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－eq\f(y2，24）＝1的兩個焦點,P是雙曲線上的一點，且3eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(PF1））＝4eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（PF2）），則△PF1F2的面積等于（C)A．4eq\r（2） B．8eq\r（3)C．24 D．48（3)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線eq\f(x2，5)－eq\f（y2，4）＝1的左、右焦點，P(3,1）為雙曲線內(nèi)一點，點A在雙曲線上，則|AP|＋｜AF2｜的最小值為(C）A．eq\r(37）＋4 B．eq\r(37)－4C．eq\r(37）－2eq\r（5） D．eq\r(37)＋2eq\r（5)解析（1)由曲線C的右焦點為F（3,0），知c＝3,由離心率e＝eq\f（3,2），知eq\f（c，a）＝eq\f（3,2)，則a＝2，故b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5）＝1。（2)雙曲線的實軸長為2,焦距為eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1(F1F2）)＝2×5＝10.據(jù)題意和雙曲線的定義知2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1）)－eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(PF2))＝eq\f（4,3）eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(PF2)）－eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（PF2)）＝eq\f(1,3）eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(PF2))，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF2））＝6，eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（PF1））＝8，∴eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1）)2＋eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(PF2））2＝eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（F1F2）)2，∴PF1⊥PF2.∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))·eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(PF2））＝eq\f(1,2）×6×8＝24。（3）｜AP｜＋｜AF2|＝|AP|＋|AF1｜－2a，要求|AP|＋|AF2｜的最小值，只需求｜AP|＋|AF1｜的最小值，當A,P，F(xiàn)1三點共線時，取得最小值，則|AP|＋|AF1|＝|PF1｜＝eq\r（37），∴｜AP|＋|AF2｜＝|AP｜＋｜AF1｜－2a＝eq\r（37)－2eq\r(5)。二雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用雙曲線中一些幾何量的求解方法(1)求雙曲線的離心率(或范圍)．依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式（或不等式),解方程（或不等式)即可求得．(2）求雙曲線的漸近線方程．依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程．(3)求雙曲線的方程．依據(jù)題設(shè)條件求出a，b的值或依據(jù)雙曲線的定義求雙曲線的方程．(4）求雙曲線的焦點(焦距）、實（虛）軸的長．依題設(shè)條件及a，b，c之間的關(guān)系求解．【例2】（1）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0,b＞0）的離心率為eq\f（\r(5),2)，則C的漸近線方程為（C)A．y＝±eq\f(1,4)x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f（1，2）x D．y＝±x(2）(2017·全國卷Ⅱ）若雙曲線C:eq\f(x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a>0，b〉0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為（A)A．2 B．eq\r（3)C．eq\r(2） D．eq\f（2\r（3），3）(3）若雙曲線eq\f（x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1（a〉0，b>0）右頂點為A，過其左焦點F作x軸的垂線交雙曲線于M，N兩點,且eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(NA,\s\up6(→))〉0，則該雙曲線的離心率的取值范圍為(B)A．(2，＋∞) B．（1，2）C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3,2），＋∞)） D．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))解析（1)∵e＝eq\f(c,a）＝eq\f（\r（5），2），∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f（a2＋b2,a2)＝eq\f（5，4),∴a2＝4b2，eq\f（b,a)＝eq\f（1，2),∴漸近線方程為y＝±eq\f(b，a)x,即y＝±eq\f(1，2）x。（2）依題意，雙曲線C:eq\f（x2,a2)－eq\f（y2，b2）＝1（a〉0,b>0)的一條漸近線方程為bx－ay＝0.因為直線bx－ay＝0被圓(x－2）2＋y2＝4所截得的弦長為2，所以eq\f（|2b｜,\r(b2＋a2）)＝eq\r（4－1），所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2,所以e＝eq\r（1＋\f（b2，a2）)＝eq\r(1＋3)＝2。故選A．(3）由題意，可得Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－c,\f(b2,a)）)，Neq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－c,－\f(b2,a）))，A(a,0)，∴eq\o（MA,\s\up6(→）)＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（a＋c，－\f(b2,a)）)，eq\o(NA，\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(a＋c,\f（b2,a）））.∵eq\o（MA，\s\up6（→)）·eq\o（NA，\s\up6(→))＞0,∴(a＋c）2－eq\f（b4,a2)＞0,∴a＋c－eq\f(b2,a）＞0,∴2a2＋ac－c2＞0,即e2－e－2＜0，又∵e＞1，解得1＜e＜2，故選B三直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線的位置關(guān)系的解決方法（1)解決此類問題的常用方法是設(shè)出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x（或y)的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,整體代入．（2)與中點有關(guān)的問題常用點差法．（3)根據(jù)直線的斜率與漸近線的斜率的關(guān)系來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系．【例3】若雙曲線E：eq\f（x2,a2）－y2＝1(a＞0)的離心率等于eq\r(2)，直線y＝kx－1與雙曲線E的右支交于A，B兩點．（1)求k的取值范圍；(2）若eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(AB))＝6eq\r(3），點C是雙曲線上一點,且eq\o(OC,\s\up6（→）)＝m(eq\o（OA，\s\up6（→)）＋eq\o(OB，\s\up6（→)))，求k，m的值．解析（1）由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（c，a）＝\r（2），，a2＝c2－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，，c2＝2.)）故雙曲線E的方程為x2－y2＝1。設(shè)A(x1,y1)，B(x2，y2），由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝kx－1，,x2－y2＝1，))得（1－k2）x2＋2kx－2＝0.①因為直線與雙曲線右支交于A，B兩點，故eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f(2k，1－k2)〉0且\f（－2，1－k2）>0，，Δ＝2k2－41－k2×－2＞0，）)即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（k＞1，,－\r（2）＜k＜\r（2)，）)所以1＜k＜eq\r（2)，即k的取值范圍是（1,eq\r（2）)．(2）由①得x1＋x2＝eq\f(2k,k2－1），x1x2＝eq\f（2，k2－1）,∴eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（AB））＝eq\r(1＋k2）·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(\f(1＋k22－k2,k2－12））＝6eq\r（3)，整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝eq\f（5,7）或k2＝eq\f（5，4），又1＜k＜eq\r(2），∴k＝eq\f(\r（5)，2），∴x1＋x2＝4eq\r（5)，y1＋y2＝k（x1＋x2)－2＝8，設(shè)C(x3,y3），由eq\o(OC,\s\up6（→））＝m(eq\o（OA，\s\up6(→））＋eq\o(OB,\s\up6（→））),得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝（4eq\r(5）m，8m),∵點C是雙曲線上一點，∴80m2－64m2＝1，得m＝±eq\f（1，4)故k＝eq\f（\r（5),2），m＝±eq\f（1,4).1．已知l是雙曲線C:eq\f(x2,2）－eq\f（y2，4）＝1的一條漸近線,點P是l上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若eq\o（PF1，\s\up6(→）)·eq\o（PF2,\s\up6(→））＝0，則點P到x軸的距離為（C)A．eq\f(2\r(3),3） B．eq\r(2）C．2 D．eq\f(2\r（6)，3）解析F1(－eq\r（6）,0），F(xiàn)2(eq\r（6）,0），不妨設(shè)l的方程為y＝eq\r（2)x，則可設(shè)P（x0，eq\r(2）x0），由eq\o（PF1,\s\up6(→））·eq\o(PF2，\s\up6（→）)＝（－eq\r（6）－x0，－eq\r(2）x0）·(eq\r（6）－x0，－eq\r（2)x0）＝3xeq\o\al（2,0）－6＝0，得x0＝±eq\r（2），故P到x軸的距離為eq\r（2）eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（x0))＝2，故選C．2．過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2，b2)＝1（a＞0，b＞0）的右焦點與對稱軸垂直的直線與漸近線交于兩點A，B，若△OAB的面積為eq\f（\r（13)bc,3),則雙曲線的離心率為（D)A．eq\f(\r（5)，2） B．eq\f（\r(5）,3）C．eq\f(\r(13），2） D．eq\f(\r（13），3）解析由題意可求得eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（AB）)＝eq\f(2bc，a），所以S△OAB＝eq\f（1，2）×eq\f(2bc，a）×c＝eq\f（\r（13）bc，3),整理得eq\f(c，a)＝eq\f(\r（13),3)，即e＝eq\f(\r(13）,3),故選D．3．已知雙曲線C：eq\f（x2，a2)－eq\f(y2,b2）＝1（a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，點P在雙曲線上,若eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（PF1)）＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2））＝6a，且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程為(B）A．x±eq\r(2)y＝0 B．eq\r(2)x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0解析由題意不妨設(shè)eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（PF1））－eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（PF2))＝2a，∵eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（PF1))＋eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（PF2）)＝6a，∴eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(PF1))＝4a，eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(PF2)）＝2a，∵eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（F1F2)）＝2c＞2a，∴△PF1F2最小內(nèi)角為∠PF1F2＝30°，在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝4c2＋16a2－2×2c×4a×cos30°，解得c＝eq\r（3)a,∴b＝eq\r(2)a，故雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f（b,a）x＝±eq\r（2）x，即eq\r(2）x±y＝0，故選B．4．(2017·全國卷Ⅰ）已知雙曲線C:eq\f(x2，a2）－eq\f(y2，b2)＝1(a〉0，b〉0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點．若∠MAN＝60°，則C的離心率為eq\f（2\r（3)，3）。解析雙曲線的右頂點為A（a，0），一條漸近線的方程為y＝eq\f（b，a）x，即bx－ay＝0，圓心A到此漸近線的距離d＝eq\f(|ba－a×0｜，\r（b2＋a2）)＝eq\f（ab,c)，因為∠MAN＝60°，圓的半徑為b，所以b·cos30°＝eq\f(ab，c)，即eq\f(\r(3）b，2)＝eq\f(ab，c)，所以e＝eq\f(2，\r(3））＝eq\f（2\r（3),3）。易錯點求曲線方程時，忽略定義的應(yīng)用錯因分析：不能利用平面幾何知識和雙曲線定義解題，使解題無從入手．【例1】已知△ABC的頂點A(－5,0），B(5，0）,△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程為________．解析如圖,eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(AD)）＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（AE))＝8，eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（BF））＝eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（BE)）＝2，eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（CD)）＝eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（CF）)。所以eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（CA））－eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（CB)）＝8－2＝6。根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A,B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支,方程為eq\f(x2,9)－eq\f（y2，16）＝1(x＞3)．答案eq\f（x2，9）－eq\f（y2，16)＝1(x〉3)【跟蹤訓練1】（2016·全國卷Ⅱ）已知F1,F2是雙曲線E：eq\f（x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1＝eq\f(1,3),則E的離心率為（A)A．eq\r（2) B．eq\f（3,2)C．eq\r(3） D．2解析由MF1⊥x軸上，得Meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－c，\f(b2,a))）,∴｜MF1｜＝eq\f（b2，a),由雙曲線的定義可得｜MF2｜＝2a＋|MF1|＝2a＋eq\f（b2，a)，又sin∠MF2F1＝eq\f（|MF1｜,｜MF2｜)＝eq\f（\f(b2，a），2a＋\f（b2，a）)＝eq\f(1,3)，化簡得a＝b，∴e＝eq\r(2)。故選A．課時達標第51講［解密考綱］對雙曲線的定義、標準方程及幾何性質(zhì)的考查，通常與平面向量、解三角形方程或不等式綜合在一起，以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，或在解答題中以第一問作考查的第一步．一、選擇題1．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f（y2,b2)＝1（a>0，b>0）的一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，且雙曲線的離心率等于eq\r（5），則該雙曲線的方程為(D）A．5x2－eq\f(4,5)y2＝1 B．eq\f（x2，5）－eq\f(y2，4）＝1C．eq\f(y2，5）－eq\f（x2,4)＝1 D．5x2－eq\f（5，4)y2＝1解析∵拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0），∴c＝1，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1，a)＝eq\r（5)，得a2＝eq\f（1，5），b2＝c2－a2＝eq\f（4,5)，則雙曲線的方程為5x2－eq\f(5，4）y2＝1，故選D．2．已知實數(shù)1，m，9成等比數(shù)列，則圓錐曲線eq\f（x2,m)＋y2＝1的離心率為（C)A．eq\f(\r（6）,3） B．2C．eq\f(\r（6）,3）或2 D．eq\f(\r（2)，2）或eq\r(3）解析根據(jù)條件可知m2＝9，∴m＝±3.當m＝3時,e＝eq\f(c，a）＝eq\f（\r（6），3）;當m＝－3時，e＝2，故選C．3．雙曲線eq\f（x2，2)－2y2＝1的漸近線與圓x2＋(y＋a）2＝1相切,則正實數(shù)a＝（C）A．eq\f(\r(17），4） B．eq\r（17）C．eq\f（\r(5)，2) D．eq\r(5)解析∵雙曲線eq\f（x2，2）－2y2＝1的漸近線方程為y＝±eq\f（1,2）x，圓心為（0,－a)，半徑為1，∴由漸近線和圓相切,得eq\f(｜2a｜,\r（5）)＝1,解得a＝eq\f(\r（5),2）.4．若實數(shù)k滿足0〈k<9,則曲線eq\f(x2，25)－eq\f（y2，9－k)＝1與曲線eq\f（x2,25－k)－eq\f（y2,9)＝1的(D）A．離心率相等 B．虛半軸長相等C．實半軸長相等 D．焦距相等解析因為0〈k<9，所以兩條曲線都表示雙曲線．雙曲線eq\f(x2，25）－eq\f(y2,9－k)＝1的實半軸長為5，虛半軸長為eq\r(9－k)，焦距為2eq\r（25＋9－k)＝2eq\r(34－k），離心率為eq\f(\r（34－k）,5)，雙曲線eq\f(x2,25－k）－eq\f（y2,9）＝1的實半軸長為eq\r（25－k），虛半軸長為3，焦距為2eq\r(25－k＋9)＝2eq\r（34－k），離心率為eq\f（\r（34－k),\r(25－k）），故兩曲線只有焦距相等．故選D．5．(2017·天津卷)已知雙曲線eq\f(x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1(a〉0,b>0）的左焦點為F，離心率為eq\r（2).若經(jīng)過F和P（0,4）兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（B）A．eq\f（x2,4)－eq\f（y2,4)＝1 B．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1C．eq\f（x2,4)－eq\f（y2,8)＝1 D．eq\f(x2，8)－eq\f(y2,4)＝1解析由e＝eq\r(2）知,雙曲線為等軸雙曲線，則其漸近線方程為y＝±x,由P(0,4）知左焦點F的坐標為（－4，0),所以c＝4，則a2＝b2＝eq\f（c2，2)＝8。故選B．6．已知a〉b>0，橢圓C1的方程為eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2）＝1，C1與C2的離心率之積為eq\f（\r(3）,2）,則C2的漸近線方程為（A）A．x±eq\r(2)y＝0 B．eq\r(2)x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0解析由已知得eq\r（1－\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(b,a)））2)·eq\r(1＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（b,a）））2)＝eq\f(\r(3），2),解得eq\f（b，a）＝eq\f(1，\r(2)),故選A．二、填空題7．已知雙曲線C：eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a〉0，b〉0)的一條漸近線與直線l:x＋eq\r(3）y＝0垂直,C的一個焦點到直線l的距離為1，則C的方程為__x2－eq\f（y2,3）＝1__.解析∵雙曲線的一條漸近線與直線l：x＋eq\r（3）y＝0垂直,∴雙曲線的漸近線的斜率為eq\r（3)，即eq\f（b,a)＝eq\r(3）.①由題意知雙曲線的焦點在x軸上，可設(shè)雙曲線的一個焦點坐標為(c,0），根據(jù)點到直線的距離公式，得eq\f(｜c|,2）＝1，∴c＝2，即a2＋b2＝4.②聯(lián)立①②，解得a2＝1，b2＝3，∴雙曲線的標準方程為x2－eq\f（y2，3)＝1.8．若雙曲線x2－eq\f(y2,b2）＝1（b>0）的一條漸近線與圓x2＋（y－2)2＝1至多有一個公共點,則雙曲線離心率的取值范圍是__(1,2]__．解析雙曲線的漸近線方程為y＝±bx，則有eq\f（｜0－2|,\r（1＋b2)）≥1，解得b2≤3,則e2＝eq\f（c2，a2)＝1＋b2≤4,所以1〈e≤2。9．（2017·山東卷)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2)＝1(a〉0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p>0）交于A,B兩點．若|AF|＋|BF｜＝4|OF｜,則該雙曲線的漸近線方程為__y＝±eq\f(\r(2)，2）x__.解析設(shè)A(x1,y1)，B（x2，y2)，由拋物線的定義可知｜AF｜＝y(tǒng)1＋eq\f(p，2),｜BF|＝y(tǒng)2＋eq\f(p，2），｜OF｜＝eq\f（p，2)，由｜AF｜＋｜BF｜＝y(tǒng)1＋eq\f(p，2）＋y2＋eq\f(p，2)＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.kAB＝eq\f(y2－y1，x2－x1)＝eq\f(\f（x\o\al（2,2），2p)－\f(x\o\al（2,1)，2p)，x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,2p).由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(x\o\al（2,1）,a2)－\f（y\o\al（2，1),b2）＝1，,\f（x\o\al(2,2),a2）－\f(y\o\al（2,2),b2）＝1,）)得kAB＝eq\f（y2－y1,x2－x1)＝eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝eq\f（b2，a2）·eq\f（x1＋x2，p)，則eq\f（b2,a2)·eq\f(x1＋x2,p)＝eq\f(x2＋x1,2p）,所以eq\f(b2，a2)＝eq\f（1,2）?eq\f(b,a）＝eq\f（\r（2），2),所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f（\r（2）,2）x.三、解答題10．已知雙曲線的中心在原點,焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為eq\r（2），且過點（4，－eq\r（10))．（1）求雙曲線的方程；(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證：點M在以F1F2為直徑的圓上解析（1)∵離心率e＝eq\r（2),∴雙曲線為等軸雙曲線,可設(shè)其方程為x2－y2＝λ（λ≠0)，則由點（4，－eq\r（10))在雙曲線上,可得λ＝42－(－eq\r（10)）2＝6，∴雙曲線方程為x2－y2＝6.（2)證明:∵點M（3,m)在雙曲線上，∴32－m2＝6，∴m2＝3，又雙曲線x2－y2＝6的焦點為F1（－2eq\r(3），0），F(xiàn)2（2eq\r(3），0)，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o（MF2，\s\up6(→））＝(－2eq\r(3)－3，－m)·（2eq\r(3)－3,－m)＝（－3）2－(2eq\r(3））2＋m2＝9－12＋3＝0，∴MF1⊥MF2，∴點M在以F1F2為直徑的圓上