指數(shù)對數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)

求指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1.Iy=ln、；x2+1；2.y=log(2x2+3x+1)；23.y=esin(ax+b)； 4.y=a3xcos(2x+1).分析：對于比較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)，除了利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式之外，還需要考慮應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來進(jìn)行.求導(dǎo)過程中，可以先適當(dāng)進(jìn)行變形化簡，將對數(shù)函數(shù)的真數(shù)位置轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的形式后再求導(dǎo)數(shù).解：1.解法一：可看成y=lnu,u=\；v,v=x2+1復(fù)合而成.111-、—?v2?(2x)u21 1/n1c, ?—(x2+1)2?2xxX2+12\：X2+1?X2+1解法二：y=lnvx2+1x.x2+1]1 —=^=(%x2+1)'xx2+11 1一1一.—(x2+1)-2?(x2+1)'、/x2+12%x2+12yx2+1解法三：y=lnvx2+1=11n(x2+1)，y'=—tn(x2+1)]=—?—i—?(x2+1)'=2 2x2+12.解法一：設(shè)y=10g2u，u=2x2+3x+1，y'=y'?u'=—?loge?(4x+3)xuxu2?loge

2-(4x+3)=(4x+3)」0gle2x2+3x+1解法二：y'=kg(2x2+3x+1)]=log2loge

2 2x2+3x+1?(2x2+3x+1)'x+3)=(4x+3)l0g2e2x2+3x+1.解法一：設(shè)y=eu,u=sinv,v=ax+b，則((3)y=esinxln(tanx)]sin(ax+b]sin(ax+b) =esin(ax+b)?ax+b)1y二(tanx)sinx；y=x2-x-6y'=y'?u'?u'=eu?cosv?axuvx=acos(ax+b)?esin(ax+b)解法二：y'==esin(ax+b)?cos(ax+b)?(ax+b)=acos(ax+b)?esin(ax+b),y'=[a3xcos(2x+1)]'=(a3x)'cos(2x+1)+a3x-[cos(2x+1)]'=a3x?lna?(3x)'cos(2x+1)+a3x[-sin(2x+1)](2x+1)'=3a3xlna?cos(2x+1)-2a3x?sin(2x+1)=a3x[3lna?cos(2x+1)-2sin(2x+1)].說明：深刻理解，掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律，是解決問題的關(guān)鍵，解答本題所使用的知識，方法都是最基本的，但解法的構(gòu)思是靈魂，有了它才能運(yùn)用知識為解題服務(wù)，在求導(dǎo)過程中，學(xué)生易犯漏掉符合或混淆系數(shù)的錯誤，使解題走入困境.解題時，能認(rèn)真觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，積極地進(jìn)行聯(lián)想化歸，才能抓住問題的本質(zhì)，把解題思路放開.變形函數(shù)解析式求導(dǎo)例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)y(1)分析：先將函數(shù)適當(dāng)變形，化為更易于求導(dǎo)的形式，可減少計(jì)算量.解：(1)y=x2—x+1—x(2x—1) r —x2+1yy=1+ =1+ (x2-x+1)2 (x2-x+1)2(2)y=；[ln(1-x)-ln(1+x)],11(—1 1) 11+x+1—x1y- - =- = 211-x1+x) 2(1-x)(1+x) x2-1y'=esinxin(tanx)[sinxln(tanX)]'二(tanx二(tanx)sinxcosxln(tanx)+sinx tanx(tanx)'=(tanx=(tanx)sinxcosxln(tanx)+cosVcosJ/ 、i/ 、cos2x-sinx(一sinx)=cosx(tanx)sinxIln(tanx)+ cosx=cos=cosx(tanx)sinxln(tanx)+-1-cosx(4)J-(4)J-x2+x+6,xeL2,3]x2-x-6, xe[-2,3].J-2x+1,xe(2,3),[2x-1, xe(-8,-2)Y(3,+s).當(dāng)x=-2,3時y'不存在.P(x)說明：求y= -(其中P(x)、Q(x)為多項(xiàng)式)的導(dǎo)數(shù)時，若P(x)的次數(shù)不小于Q(x)Q(x)的次數(shù)，則由多項(xiàng)式除法可知，存在s(x)、R(x)，使P(x)=Q(x)S(x)+R(x).從而P(x)一 R(x)=S(x)+ ,這里S(x)、R(x)均為多項(xiàng)式，且R(x)的次數(shù)小于Q(x)的次數(shù).再R(x) Q(x)求導(dǎo)可減少計(jì)算量.對函數(shù)變形要注意定義域.如y=lg(x-1)-ln(x+1),則定義域變?yōu)閤e(1,+8),所1 1 2x, ,1-x,,一,，以雖然y=ln(x-1)+ln(x+1)的導(dǎo)數(shù)+ = 與y=ln的導(dǎo)數(shù)x—1 x+1x2—1 1+xE結(jié)果相同,但我們還是應(yīng)避免這種解法.1+x(1—x)1+x—(1+x)—(1—x)E結(jié)果相同,但我們還是應(yīng)避免這種解法.1—xV1+xJ1—x(1+x)2函數(shù)求導(dǎo)法則的綜合運(yùn)用例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1.y=xJ1+x2；2.y=(x2—2x+3)-e2x；

工,二口；4k3口分析：式中所給函數(shù)是幾個因式積、商、冪、開方的關(guān)系．對于這種結(jié)構(gòu)形式的函數(shù)，可通過兩邊取對數(shù)后再求導(dǎo)，就可以使問題簡單化或使無法求導(dǎo)的問題得以解決．但必須注意取尋數(shù)時需要滿足的條件是真數(shù)為正實(shí)數(shù)，否則將會出現(xiàn)運(yùn)算失誤．TOC\o"1-5"\h\z: 7解：1.取y的絕對值，得|引=葉%；X2+1,兩邊取尋數(shù)，得ln|y|=ln|x|+-lnxx2+1.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，兩端對x求導(dǎo)，得2x 2x2+1—,y——+ - ,yx2(x2+1)x(x2+1), 2x2+1 ,——-2x2+1 2x2+1；?y—y? —xxx2+1? ―x(x2+1) x(x2+1) %：x2+12.注意到y(tǒng)>0,兩端取對數(shù)，得lny—ln(x2—2x+3)+lne2x—ln(x2—2x+3)+2x..1.1.y，-(x2-2x+*2-?y丁一y x2-2x+32x-2 +2-2(x2-x+2)?y，-2(x2-x+2)?y-2(x222).(x2-2x+3)?e2xx2-2x+3 x2-2x+3-2(x2-x+2)?e2x..兩端取對數(shù),得ln|y|=ln|3x-2|-ln|2x+3|,兩端對x求導(dǎo)，得1,(3x-2)'(2x+3)' 3 2一?y- - - - y 3x-2 2x+3 3x-22x+313- .(3x-2)(2x+3).兩端取對數(shù),得ln|y|--(ln|x|-ln|1-x|)兩邊對x求導(dǎo)，得1 11 -1 1 1—?y——(—— )- y3x1-x3x(1-x).,_1 1 _ 1 XT~一y―3?x（T^x）?）―3x（i—x）3匚x?說明：對數(shù)求導(dǎo)法則實(shí)質(zhì)上是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的應(yīng)