全等三角形問題中常見的輔助線的作法含答案

第19章《全等三角形》問題中常見的輔助線的作法（含答案）隆昌縣金星職中彭祥迅【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，角平分線平行線，線段垂直平分線，三角形中兩中點(diǎn)，可向兩邊作垂線。等腰三角形來添。常向兩端把線連。連接則成中位線。也可將圖對(duì)折看，角平分線加垂線，要證線段倍與半，三角形中有中線，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。三線合一試試看。延長縮短可試驗(yàn)。延長中線等中線。【常見輔助線的作法有以下幾種】1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。4、過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。5、截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。6、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答。一、倍長中線（線段）造全等（一）例題講解例1、（“希望杯”試題）已知，如圖AABC中，AB=5，AC=3，求中線AD的取值范圍。分析：本題的關(guān)鍵是如何把AB，AC，AD三條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形當(dāng)中。TOC\o"1-5"\h\z解:延長AD到E，使DE=DA，連接BE A又?.，BD=CD,NBDE=NCDA /，?ABDE=ACDA（5AS）,BE=AC=3 /./??AB—BEYAEYAB+BE（三角形三邊關(guān)系定理） B、/d C即2Y2ADY8 \/??1YADY4E經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：見中線，延長加倍。例2、如圖，AABC中，E、F分別在AB、AC上，DE±DF,D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小。證明：延長FD到點(diǎn)G,使DG=DF，連接BG、EG第1頁共15頁

「BD=CD,FD=DG,NBDG=NCDF：.ABDG=ACDF：.BG=CF??DE±DF：.EF=EG在ABEG中，BE+BGAEG:BG=CF,EF=EG：.BE+CFAEF例3、如圖，AABC中，BD=DC=AC,證明方法一：利用相似論證。證明：?「BD=DC=AC??AC=-BC2:E是DC中點(diǎn)，?EC=1DC=1AC,NACE=NBCA22：.ABCAsAACE：.NABC=NCAE「AC=DC：.NADC=NDAC,NADC=NABC+NBAD：.NABC+NBAD=NDAE+NCAE：.NBAD=NDAE即AD平分NBAE證明方法二：利用全等論證。證明：延長AE到M,使EM=AE，連結(jié)DM易證ADEMnACEAGE是DCGE是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分NBAE.又「BD=DC=AC：.BD=DM,NADC=NCAD又：NADB=NC+NCAD,NADM=NMDE+NADC??NADM=NADB??AADM=AADBAM.??NBAD=NDAEAM即AD平分NBAE（二）實(shí)際應(yīng)用：1、（2009崇文二模）以AABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtAABD和等腰RtAACE,NBAD=NCAE=90。，連接DE,M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)。探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系。（1）如圖1當(dāng)AABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線段AM第2頁共15頁

與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；(2)將圖1中的等腰RtAABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。。(0OYCY90。)后，如圖2所示，(1)問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由。DBMC圖1DBMC圖1解：(1)ED=2AM，AM解：(1)ED=2AM，AM±ED；證明：延長AM到G，使MG=AM，連BG，則ABGC是平行四邊形,AC=BG,NABG+ZBAC=180。又：NDAE+NBAC=180。??.NABG=NDAE再證：ADAE=AABG：.DE=2AM,NBAG=NEDA延長MN交DE于H:NBAG=NDAH=90。???NHDA+NDAH=90。??.AM±ED(2)結(jié)論仍然成立.證明：如圖，延長CA至F,使AC=FA,FA交DE于點(diǎn)P，并連接BF???DA±BA,EA±AF：.NBAF=90。+NDAF=NEAD??,在AFAB和AEAD中尸二AENBAF=NEADBA=DA??AFAB=AEAD(SAS)??BF=DE,NF=NAEN??NFPD+NF=NAPE+NAEN=90。?.FB±DE又：CA=AF,CM=MB. .. 「. 1一一???AM//FB，且AM=-FB2：.AM±DE,AM=1DE2二、截長補(bǔ)短(一)例題講解第3頁共15頁例1、如圖，AABC中例1、如圖，AABC中證明：過D作DM±AB，垂足為M：.NAMD=NBMD=900又?:AD=BD,DM=DM：.AADM=ABDM：.AM=BM:AB=2AC：.AC=AM,?AD平分NBAC：.NBAD=NCAD在AADC和AADM中AC=AM,NBAD=NCAD,AD=AD：.AADM=AADC：.NACD=NADM=900即：CD1AC例2、如圖，AC//BD,EA,EB分別平分NCAB證明：在AB上截取AF=AC，連接EF在ACAE和AFAE中尸二AFVNCAE=NFAEAE=AE：.ACAE=AFAE：.NCEA=NFEA???NCEA+NBED=NFEA+NFEB=900即NFEB=NDEB在ADEB和AFEB中'NFEB=NDEBBE=BENFBE=NDBEAB=2AC,AD平分NBAC且AD=BD，求證：CD1ACNDBA,CD過點(diǎn)E,求證：AB=AC+BD：.ADEB三AFEB(ASA)???BD=BF???AB=AF+BF=AC+BD例3、如圖，已知在AABC內(nèi)，NBAC=60。，NC=40。，P,Q分別在BC,CA上，并且AP,BQ分別是NBAC,NABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP證明：延長AB到D，使BD=BP，連接PD.則ND=N5,?AP,BQ分別是NBAC,NABC的角平分線，NBAC=60。，NC=40。.??N1=N2=300,NABC=180。一60。一40。=80。，N3=N4=400=NC???QB=QC又ND+N5=N3+N4=80。第4頁共15頁

??ND=40。在AAPD與AAPC中AP=AP,N1=N2,ND=NC=40。'AAPD=AAPC(AAS)??AD=AC即AB+BD=AQ+QC：.BQ+AQ=AB+BP例4、如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分NABC.求證：NA+NC=180。解：過點(diǎn)D作DE1BC于E，過點(diǎn)D作DF±AB交BA的延長線于F「BD平分NABC??DE=DF,NF=NDEB=90。在RtACDE和RtAADF中rAD=CDDE=DF：.RtACDE=RtAADF(HL)??NFAD=NC：.NBAD+NC=NBAD+NFAD=180。B EC例5、如圖，在AABC中，AB>AC,NBAD=NCAD,P為AD上任意一點(diǎn)。B EC求證：AB—AC>PB—PC證明：如圖，在AB上截取AE，使AE=AC，連接PE在AAEP和AACP中AE=ACAP=AP：.AAEP=AACP(SAS)??PE=PC在APBE中，BE>PB—PE，即AB—AC>PB—PC（二）實(shí)際應(yīng)用如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若NB=60。，AB=BC，且/DEC=60。，判斷AD+AE與BC的關(guān)系并證明你的結(jié)論。分析：此題連接AC，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過證明三角形全等解決它們的問題。解：有BC=AD+AE A D連接AC，過E作EF//BC并AC于F點(diǎn) //'\則可證AAEF為等邊三角形 /,/'即AE=EF，NAEF=NAFE=60。二NCFE=120。第5頁共15頁二NBAD=120°又：NDEC=60°'NAED=NFEC在AADE與AFCE中NEAD=NCFE,AE=EF,NAED=NFEC???AADE=AFCE???AD=FC???BC=AD+AE點(diǎn)評(píng)：此題的解法比較新穎，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。三、平移變換（一）例題講解例1、AD為AABC的角平分線，直線MN1AD于A.E為MN上一點(diǎn)，AABC周長記為PAAEBC周長記為P.求證：P>P.證明：延長BA到F，使AF=AC，連接EF*/AD為AABC的角平分線'NBAD=NCAD二NFAE=90°—NBAD=90°—NCAD=NCAE：.AAFE=AACE???EF=EC：.BE+EC>AB+AF=AB+AC：.BC+BE+CE>AB+AC+BCBE+EC+BC>AB+AC+BC???AABC的周長小于AEBC的周長，即PB>PA例2、如圖，在AABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證:AB+AC>AD+AE.解析：先連接AF并延長至G,使FG=AF其中F是BC的中點(diǎn)連接GB,GC,GD,GE.可知四邊形ABGC,四邊形ADGE是平行四邊形延長AD至H,交BG于H.運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：“兩邊之和大于第三邊”即可進(jìn)行證明。證明：連接AF并延長至G,使FG=AF,???DF=EF???四邊形ABGC,四邊形ADGE是平行四邊形???BG=AC,DG=AE延長AD至H，交BG于H第6頁共15頁其中F是BC的中點(diǎn)???AB+BH>AD+DH,DH+HG>DG：.AB+BH+DH+HGAAD+DH+DG：.AB+BGAAD+DG即AB+ACAAD+AE點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形三邊關(guān)系，將證明邊的大小關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系問題是解題的關(guān)鍵.本題借助輔助線DH起樞紐作用。方法2：取BC中點(diǎn)M，連AM并延長至N，使MN=AM，連BN，DN???DM=EM：.ADMN=AEMA(SAS)???DN=AE同理BN=CA延長ND交AB于P，則BN+BPAPN,DP+PAAAD相加得：BN+BP+DP+PAAPN+AD各減去DP，得：BN+ABADN+AD：.AB+ACAAD+AE四、借助角平分線造全等（一）例題講解例1、如圖，已知在AABC中，NB=60。，AABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O.求證：OE=OD證明：在AC上取點(diǎn)/，使AF=AE，連接OF*/AD是NA的平分線'NEAO=NFAO:AO=AO'AAEO=AAFO,EO=FO,NAOE=NAOFCE是NC的平分線二NDCO=NFCONB=60。二NBAC+NACB=120。，?NCOD=NCAO+NOCA=1(NBAC+NACB)=60。2?.NCOF=180。一NCOD—NAOF=180。一60。一60。=60。二NCOF=NCODOC=OC：.AOCD=AOCF??OD=OF??AC=AF+CF=AE+CD,OE=OD第7頁共15頁

即：AC=AE+CDDG1BC且平分BC,DE±ABDG1BC且平分BC,DE±AB于E,DF1AC于F.（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=a,AC=b，求AE、BE的長。(1)證明：連接DB,DC:DG1BC且平分BC二DB=DC:DE1AB,DF1AC,AD平分NBAC???DE=DF???RtADEB=RtADFC：.BE=CF(2)解：???DE=DF,AD=AD：.RtAAED=RtAAFD??AE=AF??AB+AC=(AE+BE)+(A.F—CF)=AE+AF=2AE，即a+b=2AE,AE=a^b-2??AB+AC=(AE+BE)—(A,F—CF)=2BE二a-b=2BE,BE=az-2（二）實(shí)際應(yīng)用1、如圖①，OP是NMON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖②，在AABC中，NACB是直角，NB=60。，AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖③，在AABC中，如果NACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。解：（1）FE解：（1）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD（2）答：（1）中的結(jié)論FE=FD仍然成立。圖③BB證法一：如圖1,在AC上截取AG=AE，連結(jié)FG[N1=N2,AF為公共邊，'AAEF=AAGF：.NAFE=NAFG,FE=FG?,NB=60。，AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線??N2+N3=60。第8頁共15頁二NAFE=NCFD=NAFG=60°??NCFG=60°???N3=N4及FC為公共邊'ACFG=ACFDFG=FD：.FE=FD證法二：如圖2,過點(diǎn)F分別作FG1AB于點(diǎn)G,FH1BC于點(diǎn)H圖2:NB=60°,AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線圖2??可得N2+N3=60°,F是AABC的內(nèi)心二NGEF=60°+N1，F(xiàn)H=FG又：NHDF=NB+N1??NGEF=NHDF??可證AEGF=ADHF??FE=FD五、旋轉(zhuǎn)（一）例題講解例1、正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求NEAF的度數(shù)。解：將AADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，至AABG：.GE=GB+BE=DF+BE=EF又：AE=AE,AF=AG'AAEF=AAEG'NEAF=NGAE=NBAE+NGAB=NBAE+NDAF又：NEAF+NBAE+NDAF=90°??NEAF=45°例2、D為等腰RtAABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM1DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。（1）當(dāng)NMDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證：DE=DF；（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。分析：（1）連CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分NACB,CD1AB,NA=45°,CD=DA，則NBCD=45°,NCDA=90°，由DM1DN得NEDF=90°，根據(jù)等角的余角相等得到NCDE=NADF,根據(jù)全等三角形的判定易得ADCE=AADF,即可得到結(jié)論；（2）由根據(jù)三角形的面積公式易求得S，從而得到四邊形DECF的面積。ADCE=AADF,則SD=S幽，于是四邊形DECF的面積=S^CD,由而AB=根據(jù)三角形的面積公式易求得S，從而得到四邊形DECF的面積。AACD解：（1）連CD,如圖，:D為等腰RtAABC斜邊AB的中點(diǎn)二CD平分NACB,CD1AB,NA=45°,CD=DA：.NBCD=45°,NCDA=90°「DM1DN第9頁共15頁

二NEDF=90°??NCDE=NADF在ADCE和AADF中2DCE=NDAFDC=DANCDE=NADF：.ADCE=AADF??DE=DF(2)VADCE=AADFSADCE 'aadF，四邊形DECF的面積=SAACD而AB=2??CD=DA=1，四邊形DECF的面積=S=1CDDA=1AACD2 2點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)。例3、如圖，AABC是邊長為3的等邊三角形，ABDC是等腰三角形，且NBDC=120°，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)M連接MN，求AAMN的周長。解：：ABDC是等腰三角形，且NBDC=120°二NBCD=NDBC=30°??AABC是邊長為3的等邊三角形'NABC=NBAC=NBCA=60°二NDBA=NDCA=90°??順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ABDM使DB與DC重合在ADMN和ADMN中‘DM=DM'vNMDN=NNDM'=60°、DN=DN：.ADNM=ADNM'??MN=MN=NC+BM：.AM+AN+MN=NC+BM+AN=AB+AC=6：.AAMN的周長為6（二）實(shí)際應(yīng)用1、已知/八''Eb圖2圖3MDDF\、圖2圖3MDDF\、NAB±AD,BC1CD,AB=BC,/ABC=120。,/MBN=60。,/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC(或它們的延長線)于E、F.(1)當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)(如圖1),易證AE+CF=EF.(2)當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE豐CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明。解：(1)：AB1AD,BC1CD,AB=BC,AE=CF二AABE=ACBF(SAS)；??NABE=NCBF,BE=BF「NABC=120。，NMBN=60。??NABE=NCBF=30。，ABEF為等邊三角形???BE=EF=BF,CF=AE=1BE2???AE+CF=BE=EF(2)圖2成立，圖3不成立。證明圖2,延長DC至點(diǎn)K,使CK=AE，連接BK貝UABAE=ABCK：.BE=BK,NABE=NKBC:NFBE=60。，NABC=120。??NFBC+NABE=60。??NFBC+NKBC=60。??NKBF=NFBE=60。???AKBF=AEBF：.KF=EF：.KC+CF=EF即AE+CF=EF圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是AE-CF=EF2、(西城09年一模)已知：PA= ，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)。(1)如圖，當(dāng)NAPB=45。時(shí)，求AB及PD的長；(2)當(dāng)NAPB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)NAPB的大小。分析：(1)作輔助線，過點(diǎn)A作AE1PB于點(diǎn)E，在RtAPAE中，已知NAPE,AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE,PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtAABE中，根據(jù)勾股定理可第11頁共15頁

將AB的值求出；求PD的值有兩種解法，解法一：可將APAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得至1」AP'AB,可得APAD=AP'AB,求PD長即為求P'B的長，在RtAAPP'中，可將PP'的值求出，在RtAPP'B中，根據(jù)勾股定理可將P'B的值求出；解法二：過點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長線交于F,交PB于G,在RtAE中，可求出AG,EG的長，進(jìn)而可知PG的值，在RtAPFG中，可求出PF,在RtAD中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；(2)將APAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AP'AB,PD的最大值即為P'B的最大值，故當(dāng)P、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，P'B取得最大值，根據(jù)P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此時(shí)NAPB=180。一NAPP'=135。.解：(1)①如圖，作AE±PB于點(diǎn)E:RtAPAE中，NAPB=45。，PA=v2?.AE=PE=Q2=12??PB=4??BE=PB—PE=3在RtAABE中，NAEB=90。??AB=\EE2+BE2=<10②解法一：如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可將將APAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AP'AB，，可得APAD=AP'AB,PD=P'B,PA=P'A.??NPAP'=90。，NAPP'=45。，NP'PB=90。.??PP'=2,PA=五.PD=P'B=VPP'2+PB2=<22+42=2、5；TOC\o"1-5"\h\zPE B解法二：如圖，過點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長線交于F,設(shè)DA的延長線交PB于G.-EG=-在RtAAEG中，可得AG= AE=AE=皿。，EG=1,PG-EG=-cosNEAGcosNABE 3 3i* J 10 V10在RtAPFG中，可得PF=PGcosNFPG=PGcosNABE=——，F(xiàn)G=——5 15PD=pFF2+PD=pFF2+(AD+AG+FG)2(2)如圖所示，將APAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AP'AB,PD的最大值，

此時(shí)P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值為6止匕時(shí)/APB=180。一/APP'=135°3、在等邊AABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為AABC外一點(diǎn)，且NMDN=60°，NBDC=120°，BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AAMN的周長Q與等邊AABC的周長L的關(guān)系。圖1圖2ND圖圖1圖2ND圖3（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ；止匕時(shí)毆=；L（2）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DM豐DN時(shí)，猜想（1）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，若AN=x，則Q=（用x、L表示）.分析：（1）如果DM=DN,NDMN=NDNM，因?yàn)锽D=DC，那么NDBC=NDCB=30°,也就有NMBD=NNCD=60°+30°=90°,直角三角形MBD、NCD中，因?yàn)锽D=DC,DM=DN,根據(jù)HL定理，兩三角形全等。那么BM=NC,NBMD=NDNC=60°，三角形NCD中，NNDC=30°,DN=2NC，在三角形DNM中，DM=DN,NMDN=60°，因此三角形DMN是個(gè)等邊三角形，因此MN=DN=2NC=NC+BM,三角形AMN的周長Q=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB，三角形ABC的周長L=3AB，因此Q:L=2:3.（2）如果DM豐DN，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長AC至E，使CE=BM，連接DE（（1）中我們已經(jīng)得出，NMBD=NNCD=90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，MB=CE,BD=DC，因此兩三角形全等，那么DM=DE,NBDM=NCDE,NEDN=NBDC-NMDN=60°.三角形MDN和EDN中，有DM=DE,NEDN=NMDN=60°,有一條