高考新課標(biāo)2卷理科數(shù)學(xué)試題及答案

2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項(xiàng)l.本試卷分第I卷（選擇，題）和第Il卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)幀寫(xiě)在答題卡上，2．回答第I卷時(shí)，選出崞小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮檫干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框．寫(xiě)在本試上無(wú)效。3．回答第Il卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回，第I卷選擇題：本大題共12小題，每小顎5分，在每小題繪出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的·(1)己知集合一{一2，一1，0，1,2}，召：{到一以x+2）<0}，則n召一（2）若口為實(shí)數(shù)．且（2+以i）一(1)：一4i，則a- (B)0 (C)1 (D)2（3）根據(jù)下面給出的2m4年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量：?jiǎn)挝唬喝f(wàn)噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是227傭9年20年年2004年2005年2006年2007年28年2(A)逐年比較12008年減少二氧化流排放量的效果最顯著(B)27年我治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效（026年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)(D)26年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) （4）已知等比數(shù)列{}滿足 各+十05一21'則角++ （A〕21 (B)42(C)63(D)841+10%(2巧）設(shè)函數(shù)0）一則丿一2）十直1212）一彡l, （A）3 (B)6（C）9(D)12（6〕一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為 （A） （B） 8 71 (C) （D） 6 5（7）過(guò)三點(diǎn)1，3〕，刀〔4，2），co，一7）的圓交y軸于M，兩點(diǎn)，則 (A〕2、 （B）8 (C)4尋 (D)10（8）右邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”執(zhí)行該程序框圖，若輸入的癥，心分別為《4，18，則輸出的口：（A）0（B）2(D)]4（9）已知“4，是球0的球面上兩點(diǎn)，z40君一90。，c為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若二棱錐O—ABC體積的最大值為36，則球0的表面積為 (A)36 （B）64幾 (C)144 (D)256訌000）如，長(zhǎng)方形君CD的邊，4霆；2，召c一1，0是BD的中點(diǎn)．點(diǎn)尹沿著邊c℃D與D運(yùn)動(dòng)，記LBO.尹：斑，將動(dòng)點(diǎn)尹到，召兩點(diǎn)距離之和表示為攴的函數(shù)，則冫，：丿厶）的圖像大致為0尹2芤丌3丌0丌3X0訌3丌424424424 （A） （C） (D)一12一(Il)己知，4，君為雙曲線方的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在上，^君M為等腰三角形，且頂角為120。，則的離心率為 (A) （B）2 (C)（12〕設(shè)函數(shù)歹'（x）是奇函數(shù)烈勸R）的導(dǎo)函數(shù)．7（一l)=0，當(dāng)．r>0時(shí)，，則．使得丿000成立的工的取值范圍是(D)（0，I)U(I,+00)第Il卷本卷包括必考頓和選考兩部分“第13題、第雪題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答，第22題、第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答．填空題：本大題共4小題，每小題5分。設(shè)向量疰，歷不平行，向量炻十心與“+2心平行，則實(shí)數(shù)一若叾，尹滿足約束條件則z；丆+尹的最人值為艾+2丿一2仇（巧）（口+1+的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則一06）設(shè)是數(shù)列@}的前項(xiàng)和，且口——1,a?,=s?s?,?則s疒解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。〈17）（本小題滿分12分）^，4月C中，是c上的點(diǎn)，D平分z君，4C．厶BD面積是^刀C面積的2倍，sinZB（I）求sinZC 〔Il）若AD“1,DC ，求BD和AC的長(zhǎng)．208）〔本小題滿分12分）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下，A地區(qū)：巧273819295857召647886956697788882B地區(qū)：73836251914653刀934865汩74565476537676898279（[）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；區(qū)區(qū)（Il）根據(jù)用戶意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意記事件c："A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)"．假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果柞互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求c的概率，（]9）（本小題滿分12分）如圖，長(zhǎng)方體CD一4CIO，中，、4君一16，刀c一10，行8，點(diǎn)0丆分別在，，DICI上，五：D：4·過(guò)點(diǎn)，F(xiàn)的平面。與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形·DD0（[）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不必說(shuō)明畫(huà)法和理由頭〈Il）求百線．亻F與平面“所成角的正弦值．（20）（本小題滿分12分）己知橢圓c：9+少：流>0），直線／不過(guò)原點(diǎn)0且不平行于坐標(biāo)軸，/與c有兩個(gè)交點(diǎn)，從線段“的中點(diǎn)為M（I）證明：直線0M的斜率與／的斜率的乘積為定值；(IT)若／過(guò)點(diǎn)（巴，，延長(zhǎng)線段0M與c交于點(diǎn)尸，些邊形0，伊B能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)1的斜率；若不能力說(shuō)明理由(21)（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)直：e-+產(chǎn)一““（I）證明：對(duì)在（一閃，0）單調(diào)遞減，在（0，+）單調(diào)遞增；(Il)若對(duì)于任意而，而到一1，刂，都有丨歹）一/月e一1,求的取值范圍·請(qǐng)從下面所蛤的22、23、24二題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑，按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分；不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分。（22）（本小題滿分10分）選修4一1：幾何證明選講如圖，0為等腰三角形c內(nèi)一點(diǎn)，@O與八C'的底邊c交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高泉D交于點(diǎn)G，且與，分別相切于霆，F(xiàn)兩點(diǎn)（I）證明；乤F//0(Il)若，4G等于00的半徑，且、4；3：24，C求四邊形c丆的面積．（本小題滿分10分）選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系伽中，曲線q．0為參數(shù)，t0），其中0<在．以0為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線cp=2sin0'凵）求與c,交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，(Il)若q與C?相交于點(diǎn)，q與G相交于點(diǎn)從求的最大值，（本小題滿分分）選修4一5：不等式選講設(shè)，c均為正數(shù)，且a+=c+，證明：(I)若>、則尋十>壺斗尋(Il)尋叾+>+、‰是@一刎<一的充要條件．一巧一．選擇題20巧年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考（2）B （3）D（4）B（5）C（6）D（7）C填空題（8）B （9）C(10)B〈(1)D02）A03）解答題07）解 ()5）31一ABADsinLBAD，06） o到D21一AC?ADsinZCAD.2因?yàn)槠H=2孫ZB?D=ZCAD，所以B=2」C．由正弦定理可得sinLB靈CsinZC君2()l）因?yàn)镾=D：刀c，所以D一對(duì)．在厶召D和厶DC中，由余弦定理知=D2+召DZ一2刁D召Dcos乙4D.，C2=D2+、'2一2D，DCcos乙{DC故月2+2C2=3D+BD2+2'2=6`由（I）知B=2AC，所以AC=1.08）解．（I）兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉冬如下A地區(qū)B地區(qū)698828766654455323256789123316455346239通過(guò)莖葉釜可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值，A地區(qū)用尸滿意度評(píng)分比較集中，B地區(qū)用尸滿意度評(píng)分比分散．()l）記C*》表示事件："A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意CM表示事亻牛："A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為非常滿意”表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意監(jiān)‰表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意"，則0，與CB，獨(dú)立、C“與‰：獨(dú)立，C引與C“互斥，C=CmC?I-JCB%C?=PCCmC?)+P(Ce,CA2)=(m)C）十P(CB2)P(CA2)．由所給數(shù)據(jù)得》，尸‰，c“發(fā)生的頻率分別為一200202016 4 10 816，CBD=，P(CB2)=20=0．4&2020202009）解：〈I）交線圍成的正方形EHGF如圖！ZZ()l）作EM上，垂足為M，則AM：禹五：4，五入／、408、因?yàn)槲錑F為正方形，所以EH-EF—BC=IO.于是，、/．、/了前6，所以刁H一10．以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)闃I(yè)軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系乃名，則、400，0，0》H（1000，0），00，4，8），丆（0，4，趵，丆一00，0，帥，：〔0，一6，．設(shè)“：（，r、y，z）是平面萬(wàn)G丆的法向量，則10攴=01．HE=0， 一6尹+8《=0，所以可取=（0，4，3），又F一（一用，4，8），故os〈廣習(xí)一丨所以，4與平面EHG丆所成角的正弦值為丨]5〔20）解：將}一+b代入9工2十少：得（+9）+2炻工+爐一一0，故一虹杰盞一一2于是直線0M的斜率“所以直線0M的斜率與／的斜率的乘積為定值，（]0四邊形0尹召能為平行匹邊形，因?yàn)橹本€／過(guò)點(diǎn)0，），所以／不過(guò)原點(diǎn)且與c有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是瓷>0，#39由（I）得0M的方程為尹：一設(shè)點(diǎn)尹的橫坐標(biāo)為和由 將點(diǎn)（巴，）的坐標(biāo)代入／的方程得： 一幻，因此一一 3 3()i+9了四邊形0禎戶召為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段月與線段0尹互相平分，即孫=2々一々一冽）因?yàn)?gt;0，#3，i：1，2，所以當(dāng)/的斜率為4一，或4+對(duì)，時(shí)，四邊形OA尸月為平行四邊形、一72一(21)解?ーり十2ェ.若,則當(dāng)xe←,の肘,によ-1(0,は)く0當(dāng)ェe(0,+)吋,。冖ー10,ア(ェ)>0若く0,則當(dāng)xe←,の吋0-1>0,/は)く0?當(dāng)ェe(0,十)吋,所,所,/い)在←(Ⅱ)由(I)知,対任意的,/(ェ)在ト第0]単調(diào)道減,在り羊調(diào)道増,故/い)在=0赴取得最小値.所以対于任意を,elー第リ,げ()ー/(月じーー的充要條件是 ①設(shè)凾數(shù)gの=ぎー←+1,則g(t)=ぎ-に當(dāng)ーく0吋,gで)く0:當(dāng)~>0吋,g′の>O.故gの在(ー,の単調(diào)道減,在(0,十)単調(diào)道増,又g①=0,g←り=+2-。く0?故當(dāng)ーeト1川吋,g(′).當(dāng)eト]吋?g(m)<0,g←),即①式成立:當(dāng)m>ー吋,由g(の的単調(diào)性,g)>0,即一>0ーい當(dāng)mく一一吋,g←m)>0.即e第+m>eー1綜上,m的取値范出是トい].(22)解:い)由于△BC是等腰三角形.ADIBC,所以わ是/朝君的平分我.又因カ〇0分別與メお,.4C相切于點(diǎn)どトお,所以AE=/お,故AD上EF.從而EF〃BC.C(Ⅱ)由(I)知,AE=.4を,AD亠EF,故AD是を的垂直平分或、又をカ00的弦,所以0在/D上.C違結(jié)0を,0,則OE亠.4ど.由スG等于〇0的半徑得/0=20ど,所以ZO/を=30因此△スおC和△ノ五お都是等辺三角形因カメ五=27,所以ス0=4,0を=2因カ0財(cái)=OE=2.の財(cái)=ー=物,所以O(shè)D=1,于是D-5,/3返所以四辺形ど召CF的面枳カー2ー73ー（23了齠、（I）曲線的直角坐標(biāo)方程為一2y=0，曲線q的直角坐標(biāo)方程為+一2：0，立或所以c.與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0，0）和（一一（Il）曲線q的極坐標(biāo)方程為一(