湖南省婁底市鷓鴣中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

湖南省婁底市鷓鴣中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.有以下命題：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；②O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面；③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底．其中正確的命題是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③參考答案：C【考點(diǎn)】共線向量與共面向量．【分析】空間向量的基底判斷②③的正誤，找出反例判斷①命題的正誤，即可得到正確選項(xiàng)．【解答】解：①如果向量與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么的關(guān)系是不共線；所以不正確．反例：如果有一個向量為零向量，共線但不能構(gòu)成空間向量的一組基底，所以不正確．②O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量不構(gòu)成空間的一個基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面；這是正確的．③已知向量是空間的一個基底，則向量，也是空間的一個基底；因?yàn)槿齻€向量非零不共線，正確．故選C．2.有如下四個命題：①命題“若，則“的逆否命題為“若”②若x＝y(tǒng)＝0，則x2＋y2＝0的逆命題是真命題③若為假命題，則，均為假命題④命題“若,則”的否命題為“若,則”其中錯誤命題的個數(shù)是（

）A．0個

B.1個

C.2個

D.3個參考答案：C略3.程序框圖如圖21－1所示，則該程序運(yùn)行后輸出的B等于()圖21－1A．7

B．15

C．31

D．63參考答案：D無4.不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1） B．（﹣2，2） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣2，0）∪（0，2）參考答案：D【考點(diǎn)】R5：絕對值不等式的解法．【分析】直接利用絕對值不等式的解法，去掉絕對值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等價于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故選D．5.某校在校學(xué)生2000人，為迎接2010年廣州亞運(yùn)會，學(xué)校舉行了“迎亞運(yùn)”跑步和爬山比賽活動，每人都參加而且只參與其中一項(xiàng)比賽，各年級與比賽人數(shù)情況如下表：

高一年級高二年級高三年級跑步爬山其中：：=2：5：3，全校參與爬山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的

.為了了解學(xué)生對本次活動的滿意程度，從中抽取一個200人的樣本進(jìn)行調(diào)查，則高三年級參與跑步的學(xué)生中應(yīng)抽?。?/p>

）．A.15人B.30人

C.40人

D.45人參考答案：D略6.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)是它們的一個交點(diǎn)，則的形狀是

（

）A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.隨的變化而變化參考答案：B略7.為了得到函數(shù)的圖象，需要把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)（

）A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度參考答案：C【分析】直接根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換法則求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，所以為了得到函數(shù)的圖象，需要把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象，重點(diǎn)考查學(xué)生對三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與掌握，能否正確處理先周期變換后相位變換這種情況下圖象的平移問題，反映學(xué)生對所學(xué)知識理解的深度.8.箱子里有5個黑球,4個白球,每次隨機(jī)取出一個球,若取出黑球,則放回箱中,重新取球;若取出白球,則停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率為(

)

A.

B.()3×

C.×

D.×()3×參考答案：B略9.已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且對函數(shù)，當(dāng)時取到極大值，則等于

(

)A．

B．0

C．1

D．2參考答案：A略10.“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：

①設(shè)A、B為兩個定點(diǎn)，k為正常數(shù)，，則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓；

②雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)；

③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④和定點(diǎn)及定直線的距離之比為的點(diǎn)的軌跡方程為．其中真命題的序號為

_______．參考答案：②③略12.已知直線x＋y＝a與圓x2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實(shí)數(shù)a等于_______。參考答案：2，-2.13.拋物線x=ay2（a≠0）的準(zhǔn)線方程是．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】直接利用拋物線方程，化簡求解即可．【解答】解：拋物線x=ay2（a≠0）的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=x，準(zhǔn)線方程：；故答案為：；14.已知圓O：x2+y2=1，點(diǎn)M（x0，y0）是直線x﹣y+2=0上一點(diǎn)，若圓O上存在一點(diǎn)N，使得，則x0的取值范圍是

．參考答案：[﹣2，0]【分析】過M作⊙O切線交⊙C于R，則∠OMR≥∠OMN，由題意可得∠OMR≥，|OM|≤2．再根據(jù)M（x0，2+x0），|OM|2=x02+y02=2x02+4x0+4，求得x0的取值范圍．【解答】解：過M作⊙O切線交⊙C于R，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有∠OMR≥∠OMN．反過來，如果∠OMR≥，則⊙O上存在一點(diǎn)N使得∠OMN=．∴若圓O上存在點(diǎn)N，使∠OMN=，則∠OMR≥．∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．又∵M(jìn)（x0，2+x0），|OM|2=x02+y02=x02+（2+x0）2=2x02+4x0+4，∴2x02+4x0+4≤4，解得，﹣2≤x0≤0．∴x0的取值范圍是[﹣2，0]，故答案為：[﹣2，0]．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線與圓相切時切線的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法，綜合考察了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，屬于中檔題．15.給出下列等式：＝2cos，＝2cos，＝2cos，…，請從中歸納出第n個根式＝________．參考答案：16.已知函數(shù)f（x）=ex+alnx的定義域是D，關(guān)于函數(shù)f（x）給出下列命題：①對于任意a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）是D上的增函數(shù)②對于任意a∈（﹣∞，0），函數(shù)f（x）存在最小值③存在a∈（0，+∞），使得對于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立④存在a∈（﹣∞，0），使得函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)其中正確命題的序號是．參考答案：①②④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①由a∈（0，+∞）時，f′（x）=ex+≥0說明①正確；由函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的極小值判斷②正確；畫圖說明③錯誤；結(jié)合②的判斷可知④正確．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋海?，+∞），f′（x）=ex+．①∵a∈（0，+∞）∴f′（x）=ex+≥0，是增函數(shù)．∴①正確；②∵a∈（﹣∞，0），∴f′（x）=ex+=0有根x0，且f（x）在（0，x0）上為減函數(shù)，在（x0，+∞）上為增函數(shù)，∴函數(shù)有極小值也是最小值，②正確；③畫出函數(shù)y=ex，y=alnx的圖象，由圖可知③不正確；④由②知，a∈（﹣∞，0）時，函數(shù)f（x）存在最小值，且存在a使最小值小于0，且當(dāng)x在定義域內(nèi)無限趨于0和趨于+∞時f（x）＞0，可知存在a∈（﹣∞，0），f（x）=ex+alnx=0有兩個根，④正確．故答案為：①②④．17.點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，且，則的面積為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題12分）A，B兩城相距100km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10km.已知供電費(fèi)用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城為每月10億度．(1)求x的取值范圍；(2)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)；(3)核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電總費(fèi)用y最少？參考答案：解：(1)x的取值范圍為10≤x≤90.(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．(3)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25000＝2＋，得x＝時，ymin＝.即核電站建在距A城km處，能使供電總費(fèi)用y最少．略19.已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)，）.（1）判斷曲線在點(diǎn)處的切線與曲線的公共點(diǎn)個數(shù)；（2）當(dāng)時，若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.參考答案：解：（1），所以切線斜率.又，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，由得.由，可得當(dāng)時，即或時，有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)時，即或時，有一個公共點(diǎn)；當(dāng)時，即時，沒有公共點(diǎn).（2），由，得，令，則.當(dāng)時，由，得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此.由，，比較可知，所以，結(jié)合函數(shù)圖象可得，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn).

20.某校高三共有800名學(xué)生，為了解學(xué)生3月月考生物測試情況，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)差異較大，從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，并整理得如圖頻率分布直方圖．（1）若成績不低于60分的為及格，成績不低于80分的為優(yōu)秀，試估計總體中合格的有多少人？優(yōu)秀的有多少人？（2）已知樣本中有一半的女生分?jǐn)?shù)不小于80，且樣本中不低于80分的男女生人數(shù)之比2:3，試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．參考答案：解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，總體中及格的人數(shù)估計為，總體中優(yōu)秀的人數(shù)估計為，所以估計總體中及格的有640人，優(yōu)秀的有160人．（2）由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于80的學(xué)生人數(shù)為，所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于80的女生人數(shù)為，所以樣本中的女生人數(shù)為，男生人數(shù)為，男生和女生人數(shù)的比例為，所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為．

21.已知m＝(cosωx＋sinωx，cosωx)，n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)，其中ω>0，設(shè)函數(shù)f(x)＝m·n，且函數(shù)f(x)的周期為π.(1)求ω的值；(2)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a，b，c成等差數(shù)列．當(dāng)f(B)＝1時，判斷△ABC的形狀．參考答案：(1)∵m＝(cosωx＋sinωx，cosωx)，n＝(cosωx－sinωx,2sinωx)(ω>0)∴f(x)＝m·n＝cos2ωx－sin2ωx＋2cosωxsinωx＝cos2ωx＋sin2ωx.∴f(x)＝2sin(2ωx＋)．∵函數(shù)f(x)的周期為π，∴T＝＝π.∴ω＝1.(2)在△ABC中，f(B)＝1，∴2sin(2B＋)＝1.∴sin(2B＋)＝．又∵0<B<π，∴<2B＋<π.∴2B＋＝．∴B＝．∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c.∴cosB＝cos＝＝，∴ac＝a2＋c2－．化簡得a＝c.又∵B＝，∴△ABC為正三角形．

22.已知函數(shù)f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲線y=f（x）﹣g（x）在x=1處的切線的方程為6x﹣2y﹣5=0，求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)h（x）=f（x）+g（x），若對任意兩個不等的正數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若在上存在一點(diǎn)x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）求出函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得a的方程，解得a即可；（2）由題意可得即為＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于等于0，分離參數(shù)a，由二次函數(shù)的最值，即可得到a的范圍；（3）原不等式等價于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，設(shè)m（x）=x﹣alnx+，求得它的導(dǎo)數(shù)m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三種情況加以討論，分別解關(guān)于a的不等式得到a的取值，最后綜上所述可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的導(dǎo)數(shù)為x﹣，曲線y=f（x）﹣g（x）在x=1處的切線斜率為k=1﹣a，由切線的方程為6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，對任意兩個不等的正數(shù)x1，x2，都有＞2恒成立，即為＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，則a≥1，即a的取值范圍是上存在一點(diǎn)x0，使得m（x0）＜0．對m（x）求導(dǎo)數(shù)，得m′（x）=1﹣﹣==，因?yàn)閤＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0時，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若