華東師大數(shù)學分析

華東師范大學數(shù)分析一分）計算題。、求

lim(cos

22

)

解：

x2sin

2

x~

(2lim(cos)2

lim(12)2)00

(

、若

2x

求

'

解：

y

'

lnxesin(arctanx)x)x

、求

)

dx

解：

(1x)

dx

xed

1(xe'=-11x)

dx

-=1

、求冪級數(shù)

nx

n

的和函數(shù)

f(x

n解

|

時(

nx

n

)

nn+

x

nn

nn

n

nx

n

=

(n

n)'

-

n

x

n

=

(

x11x)11(1)2(1)

2、

L

為過

O(0,0)

和

(

2

,0)

的曲線

ysin(a

求

L

(xy3)dx)dy.yx,dasinx

(xy

)y)

=

xdx

sin

+2

cos+

sinxL

=

2aa223/

11、求曲面積分

(2)zdxdy

其中

zy2,

取側(cè)解：應(yīng)用Gauss式，并應(yīng)用極坐標變換得：

(2)dydz

=

V

(

)dxdydz=

30V

3rd2

二分判斷題（正確的證明，錯誤的舉出反例）、若

{n1,2,,}n

是互不相等的非無窮大數(shù)列，{}n

至少存在一個聚點

x0正確。

{}n

在數(shù)軸上對應(yīng)的點集必為有界無限點集，故由聚點定理，點集

{}n

至少存在一個聚點x0、若

f(x在(a,b)

上連續(xù)有界，則

f(x)在(a)

上一致連續(xù).正確。證：

f(x

在

(b

上連續(xù)有界，故

limf(

與

limf(

都有存在，不妨設(shè)為

A,

x

設(shè)

F(x)

xf)x(,b)x則

F()

在

[b]

上連續(xù)，從而

F()

一致連續(xù)，故

f(x

在

(b

上一致連續(xù)。、若

f(x,g(x在[

上可積，則

1iilimf()()nni

0

f(xg(x)

正確。證：

f(x)

()

在

[0,1]

上可積，故對

f()M,

且

f(x)()

在上也可積，對

0

1niiii1niiif()()f()g)|f()[g()g)]nnniiiMiiM[()()]||g(1)gni/

1ii11ii1r故兩邊對

1niinii1iif()()f()g()f()()nniii分別取極限

f(xg()dx

1iif()g(ni

)

f(xg()dx由夾逼性知

limf()g()f()g(x)nnn0i

、若

a

n

收斂，則

a

2n

收斂n

n錯誤。反例

(nn

收斂,

1nn

發(fā)散在上義的函數(shù)f(xy)則在(0,0)上可微

f,y

存在偏導數(shù)

f(y),x)且(x,)f(x)xyx

在(0,0)上連續(xù)，正確證：

f==

((0f(fff12有

f(,yf()xy

在(0,0)上連續(xù)，ff(0,0)f(0,0)1y當

()

時，

0

，

f(0,0)f(0,0)y根據(jù)定義，可知

f(xy)

在0,0)可.、

f(xy)

在R上連續(xù)

D(x,)x)|()r00

2

y)0

2

2

}

若xy0,00

D

f(y)0,則(y)xy)

2

./

rr解：錯誤將

(,)r

劃分為兩部分，其中D(x,y),)()2r,x,x]}r000D(x,y){(,)(x)2r00

2

)0

2

r,[x,]}0取

(x)f()(y)r

由分區(qū)間加性知

f(,y)

1dxdy

(Dr

Dr

Dr三分函數(shù)

f(x在(

上連續(xù)，且

limf)A,

求證：

f(x在(

上有最大值x或最小值。證：1)若

f)A，顯然fx)在(

同時有最大、最小值否則

,當xx或x時f(x)22定義

limf()Ax

limf()A

，存在

xU1

0

()1

xU2

0

(x)2使得

fx)

或

f()

f(x)

或

f(x)不妨設(shè)fx)f(x)A2

由

f(x

在

(

上連續(xù)所

f(x)

在

[x]2

上連續(xù)，由最值定理知存在

xx]2

使得f

)

最大（或最?。?（1知

x

因此當

xx時,f(x)在

上有最大值或最小值。四分求證不等式:

x

,x[0,1].證：令

f()

則

ff

對

有f'(x2

f''(xln2因此

f

()在[

上單調(diào)遞減且連,又f

lnf

(1)20

/

故由介值定理知存在

使得f

)那么在

[

]上f)

單調(diào)遞增,在

[

,1]上()

單調(diào)遞減因此

f(x

可在端點處取得最小又

f(0)f(1)0

所以在

[

上f()

即

x,[0,1].五、設(shè)

f()n

在

[b]

上連續(xù),且

f()n

在

[b]

上一致收斂于

f(x

若a,b]

f()

求證:

,0,

使

a,b]

f(x)n

.證:由函數(shù)

{(x)}n

的每一項在

[b]

連續(xù)且一致收斂于

f(x,可()在[a,]

上也連續(xù),因有界.不妨設(shè)

mmin{()|x[ab]}

因為對任意

x[a]

有

f()0

所以

f()在[]n

上一致收斂于

f(x),即

0,,對N[a,b]

有f)f(x)n當取

m2

時,有f(x)f()

mm2

(1)對上述

,

則(式成立且fx)

m2

.六分設(shè)

{}n

滿足（1）

ak;k

（2級數(shù)

a

n

收斂n求證

limna0nn

證：級數(shù)

a

n

收斂，由級數(shù)收斂的柯西準則：

0,

對任何

Z

有n/

''''|

N

N

N

由于那么

a100,k1,2,;nkkn

N

N

N

p

N

100

p

N

N

p

N

而當充分大,

p

p

成立，故p)a

N

ppa

N

因此有

limna0nn

七分若函數(shù)

f(x

在

1,

上一致連續(xù)，求證：

f(xx

在

1,

上有界證1)

0,X0

當

充分大時對

,''X

且滿足

|x

時有|'f()

由極限存在的柯西準則知對(1)式中x取極有

limf(x)x

存在不妨設(shè)為|f()則

|f

)存在

M

當

x

時|

f(x|A|xx

(2)因為

f(x)在[

上一致連續(xù)則

f(x)在[1,]

上連續(xù)所以

f(x在[1,]

上有界即存在

M,X]

有|fxM

那么對存在

]有Mmax{,M},2

f(x)|x(2),(3)同成

/

rr即對

]

有|

fx)x

八分設(shè)

(xy(xy