相似三角形判定3

相似三角形的判定(3)第一頁，共52頁。第一頁，共52頁。DBACE（2）∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC判定三角形相似的方法知識回顧ACBEDF（1）∵∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F∴△ABC∽△DEF（3）∵∴△ABC∽△DEF（4）∵∠A=∠D∴△ABC∽△DEF第二頁，共52頁。第二頁，共52頁。這兩個三角形的三個內(nèi)角的大小有什么關(guān)系？三個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個三角形一定相似嗎？三個內(nèi)角對應(yīng)相等。觀察你與老師的直角三角尺,會相似嗎？(30O

與60O)思考相似第三頁，共52頁。第三頁，共52頁。畫△，使三個角分別為60°，45°,75°。①同桌分別量出兩個三角形三邊的長度；②同桌這兩個三角形相似嗎?

即：如果一個三角形的三個角分別與另一個三角形的三個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形_______．相似一定需三個角嗎？

如果一個三角形的兩角分別與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．相似三角形的識別方法：思考：如果兩個三角形僅有一對角是對應(yīng)相等的，那么它們是否一定相似？觀察第四頁，共52頁。第四頁，共52頁。CAA'BB'C'∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用數(shù)學(xué)符號表示：相似三角形的識別(兩個角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似)第五頁，共52頁。第五頁，共52頁。問題引入：

觀察兩副三角尺，其中同樣角度（30°與60°，或45°與45°）的兩個三角尺大小可能不同，但它們看起來是相似的。一般地，如果兩個三角形有兩組對應(yīng)角相等，它們一定相似嗎？

求證：ΔA'B'C'∽ΔABC已知：在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A',∠B'=∠BACBB′A′C′第六頁，共52頁。第六頁，共52頁?！摺螦=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'用數(shù)學(xué)符號表示：判定定理3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。ACBB′A′C′第七頁，共52頁。第七頁，共52頁。相似三角形判定方法1、(定義)三組對應(yīng)邊的比相等且對應(yīng)角相等；3、（判定定理1）三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似。2、（平行）平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。4、（判定定理2）兩組對應(yīng)邊之比相等且夾角相等的兩個三角形相似。5、（判定定理3）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。第八頁，共52頁。第八頁，共52頁。如圖所示，在兩個直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判斷這兩個三角形是否相似．

C'B'A'CBA

例題欣賞解：∵∠B＝∠B′＝90°（已知），∠A＝∠A′（已知），

∴△ABC∽△A′B′C′（兩個角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似．）

第九頁，共52頁。第九頁，共52頁。ABCA’B’C’基礎(chǔ)演練1、下列圖形中兩個三角形是否相似？ABCDEABCA’C’B’ABCDE(1)(2)(3)(4)第十頁，共52頁。第十頁，共52頁。2、根據(jù)下列條件,判斷△ABC和△A’B’C’是否相似,并說明理由:(1)∠A=35°,AB=12cm,AC=15cm,∠A’=35°,A’B’=36cm,A’C’=45cm,(2)AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm,A’B’=20cm,B’C’=25cm,A’C’=40cm.(3)∠A=105°,∠B=15°;∠A’=105°,∠B’=15°基礎(chǔ)演練∠B’=60°第十一頁，共52頁。第十一頁，共52頁。3.已知：DE∥BC，EF∥AB.求證：△ADE∽△EFC.AEFBCD解:∵DE∥BC，EF∥AB（已知）∴∠ADE＝∠B＝∠EFC（兩直線平行，同位角相等）∠AED＝∠C（兩直線平行，同位角相等）∴△ADE∽△EFC

（兩個角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似）第十二頁，共52頁。第十二頁，共52頁。如圖,弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P,求證:PA?PB=PC?PDO?DPCBA例題講解第十三頁，共52頁。第十三頁，共52頁。ABCDEABCDE21OCBAD常見圖形OCDABABCDE第十四頁，共52頁。第十四頁，共52頁。變式１：如果弦AB和CD相交于圓O外一點(diǎn)P，結(jié)論還成立嗎？變式２：上題中Ａ，Ｂ重合為一點(diǎn)時，又會有什么結(jié)論？OO第十五頁，共52頁。第十五頁，共52頁。1、已知如圖直線BE、DC交于A，∠E=∠C求證：DA·AC=AB·AEDEABC證明：∵∠E=∠C∠DAE=∠BAC∴△ABC∽△ADE∴AC:AE=AB:AD

∴

DA·AC=AB·AE練習(xí)第十六頁，共52頁。第十六頁，共52頁。ABCDE2.已知D、E分別是△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn)，若∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°則AD·AB=AE·AC第十七頁，共52頁。第十七頁，共52頁。3、判斷題：⑴所有的直角三角形都相似.（）⑵所有的等邊三角形都相似.（）⑶所有的等腰直角三角形都相似.（）⑷有一個角相等的兩等腰三角形相似.（）

×√√×頂角相等底角相等頂角與底角相等第十八頁，共52頁。第十八頁，共52頁。BCAA'B'C'第一種情況∴ΔABC∽ΔA'B'C'頂角相等第十九頁，共52頁。第十九頁，共52頁。BCAA'B'C'第二種情況∴ΔABC∽ΔA'B'C'底角相等第二十頁，共52頁。第二十頁，共52頁。第三種情況ABCA'B'C'兩三角形不相似頂角與底角相等第二十一頁，共52頁。第二十一頁，共52頁。ABDC圖3填一填（1）如圖3，點(diǎn)D在AB上，當(dāng)∠

＝∠

時，

△ACD∽△ABC。（2）如圖4，已知點(diǎn)E在AC上，若點(diǎn)D在AB上，則滿足條件

，就可以使△ADE與原△ABC相似?！馎BCE圖4∠

ACD∠

B

(或者∠

ACB＝∠

ADB)DE//BCD(或者∠

C＝∠

ADE)(或者∠

B＝∠

ADE)D第二十二頁，共52頁。第二十二頁，共52頁。3、求證：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。ADBC已知：在RtΔABC中，CD是斜邊AB上的高。此結(jié)論可以稱為“母子相似定理”,今后可以直接使用.求證：

ΔABC∽ΔACD∽ΔCBD結(jié)論：

ΔACD∽ΔCBDCD2=AD·DBΔACD∽ΔABCAC2=AD·ABΔBCD∽ΔABCBC2=BD·ABP49練習(xí)2第二十三頁，共52頁。第二十三頁，共52頁。思考題ABCDE1已知DE∥BC且∠1=∠B，則圖中共有

對相似三角形?！逥E∥BC∴△ADE∽△ABC∵

∠1=∠B，∠A=∠A

∴△ACD∽△ABC∴△ADE∽△ACD∵DE∥BC∵

∠EDC=∠DCB，

又∵

∠1=∠B∴△DEC∽△CDB4第二十四頁，共52頁。第二十四頁，共52頁。DBCA1、如圖：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D

若AB=6AD=2則AC=BD=BC=

184√2

12√2

第二十五頁，共52頁。第二十五頁，共52頁。2.如圖直線BE、DC交于A,AD·AC=AE·BA，求證：∠E=∠CEDBCAABCED將△DAE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)如何證明∠DEA＝∠C？第二十六頁，共52頁。第二十六頁，共52頁。EABDC解：

∵∠A=∠A∠ABD=∠C∴△ABD∽△ACB∴AB:AC=AD:AB∴AB2=AD·AC∵AD=2AC=8∴AB=43.已知如圖，∠ABD=∠CAD=2，AC=8，求ABABCD第二十七頁，共52頁。第二十七頁，共52頁。ABDCABDC4、如圖：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D

問：圖中有幾個直角三角形？它們相似嗎？為什么？解：圖中有三個直角三角形，分別是：△ABC、△ADB、△BDC

△ABC∽△ADB∽△BDC

第二十八頁，共52頁。第二十八頁，共52頁。如果，當(dāng)∠ＡＣＤ滿足什么條件時，△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ？ＡＣＢＤ猜一猜：答案：∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＣ第二十九頁，共52頁。第二十九頁，共52頁。相似三角形的識別方法有那些？方法1：通過定義方法5：通過兩角對應(yīng)相等。課堂小結(jié)（這可是今天新學(xué)的，要牢記噢！)方法2：平行于三角形一邊的直線。方法3：三邊對應(yīng)成比例。方法4：兩邊對應(yīng)成比例且夾角。第三十頁，共52頁。第三十頁，共52頁。１.有一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形是否相似？為什么？２.頂角相等的兩個等腰三角形是否相似？為什么？解答題：第三十一頁，共52頁。第三十一頁，共52頁。探索與思考如圖，在Rt△ABC的一邊AB上有一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），過點(diǎn)P作直線截得的三角形與△ABC相似，想一想滿足條件的直線共有多少條？試畫出圖形并簡要說明理由.思考：若三角形為任意三角形，點(diǎn)P為三角形任意一邊上的點(diǎn)，則這樣的直線有幾條？我們來試一試…第三十二頁，共52頁。第三十二頁，共52頁。ABCDEABCDE21OCBAD常見圖形OCDABABCDE第三十三頁，共52頁。第三十三頁，共52頁。例5：如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長線于F求證：△ABF∽△CAFABFCDE第三十四頁，共52頁。第三十四頁，共52頁。樂業(yè)大石圍天坑是我們百色市有名的旅游景點(diǎn)，為了測量一個峽谷的寬度，地質(zhì)勘探人員在對面的巖石上觀察到一個特別明顯的標(biāo)點(diǎn)O，再在他們所在的這一側(cè)選點(diǎn)A、B、D，使得AB⊥AO,DB⊥AB,然后確定DO和AB的交點(diǎn)C，測得AC=60米，CB=30米，BD=12米，你能幫助他們算出峽谷的寬AO嗎？OACBD第三十五頁，共52頁。第三十五頁，共52頁。一、填空題

1．______三角形一邊的______和其他兩邊______，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．

2．如果兩個三角形的______對應(yīng)邊的______，那么這兩個三角形相似．

3．如果兩個三角形的______對應(yīng)邊的比相等，并且______相等，那么這兩個三角形相

似．

4．如果一個三角形的______角與另一個三角形的______，那么這兩個三角形相似．

5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么這兩個三角形能否相似的結(jié)論是______．理由是________________．

第三十六頁，共52頁。第三十六頁，共52頁。6．在△ABC和△A’B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°，∠B′＝30°，那么這兩個三角形能否相似的結(jié)論是______．理由是________________．

7．在△ABC和△A’B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A′＝34°，A’C′＝2cm，A′B′＝1.6cm，那么這兩個三角形能否相似的結(jié)論是______，理由是____________________．

8．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，F(xiàn)D＝1.6，那么這兩個三角形能否相似的結(jié)論是____________，理由是__________________第三十七頁，共52頁。第三十七頁，共52頁。8．如圖6，已知△ABC∽△DEF，AB=6，BF=2，CE=8，CA=10，DE=15．求線段DF，F(xiàn)C的長

第三十八頁，共52頁。第三十八頁，共52頁。相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比∵△ABC∽△A1B1C1∴∠B=∠B1

又∵∠ADB=∠A1D1B1=900∴△ADB∽△A1D1B1（角角）A1B1C1ABCDD1證明：∴第三十九頁，共52頁。第三十九頁，共52頁。相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比∵△ABC∽△A1B1C1∴∠B=∠B1，∠BAC=∠B1A1C1∵AD，A1D1分別是∠BAC和∠B1A1C1的角平分線∴∠BAD=∠B1A1D1∴△ADB∽△A1D1B1（角角）A1B1C1ABCDD1證明：∴第四十頁，共52頁。第四十頁，共52頁。相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比A1B1C1ABCDD1第四十一頁，共52頁。第四十一頁，共52頁。相似三角形判定方法1、(定義)三組對應(yīng)邊的比相等且對應(yīng)角相等；3、（判定定理1）三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似。2、（平行）平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。4、（判定定理2）兩組對應(yīng)邊之比相等且夾角相等的兩個三角形相似。5、（判定定理3）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。第四十二頁，共52頁。第四十二頁，共52頁。探究4已知：△ABC∽△A1B1C1.求證：你能證明嗎？HLABCA1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.第四十三頁，共52頁。第四十三頁，共52頁。

如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。知識要點(diǎn)判定三角形相似的定理之四HLABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么√A1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.第四十四頁，共52頁。第四十四頁，共52頁。課堂小結(jié)1.相似圖形三角形的判定方法：

通過定義平行于三角形一邊的直線三邊對應(yīng)成比例兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等兩角對應(yīng)相等兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例（三邊對應(yīng)成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）第四十五頁，共52頁。第四十五頁，共52頁。

對應(yīng)角相等。對應(yīng)邊成比例。對應(yīng)高的比等于相似比。對應(yīng)中線的比等于相似比。對應(yīng)角平分線的比等于相似比。2.相似三角形的性質(zhì)：第四十六頁，共52頁。第四十六頁，共52頁。（1）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等邊三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。（5）有一個角是100°的兩個等腰三角形都相似。（6）有一個角是70°的兩個等腰三角形都相似。（