不定積分定積分復(fù)習(xí)題及答案

.word.word..XX第二工業(yè)大學(xué)不定積分、定積分測(cè)驗(yàn)試卷XX：學(xué)號(hào)：班級(jí)：成績(jī)：XX：學(xué)號(hào)：班級(jí)：成績(jī)：一、選擇題：〔每小格3分，共30分〕1、設(shè)sinx為f1、設(shè)sinx為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，且a中。，那么xsinax sinax〔A〕 +C；〔B〕 +C；〔C〕Jfax)dx應(yīng)等于〔aa3xa2xsinax sinax +C；〔D〕 +Cax xTOC\o"1-5"\h\z2、假設(shè)ex在(-8,+8)上不定積分是F(x)+。，那么F(x)=〔 〕rex+c,x>0 rex+c, x>0〔A〕F(x)={ i, ;〔B〕F(x)={ , ;[-e-x+c,x<0 [-e-x+c+2,x<0〔C〕F(X)=一e-x+2,x<0;〔D〕F(x)=x>0,x<0ri,3、設(shè)f(x)=〈0,x>0x=0,F(x)=J-1,x<0xf(t)dt,那么〔0〔A〕F(x)在x=0點(diǎn)不連續(xù);〔B〕F(x)在(一8,+8)內(nèi)連續(xù)在x=0點(diǎn)不可導(dǎo);〔C〕F(x)在(一8,+8)內(nèi)可導(dǎo)且滿(mǎn)足F'(x)=f(x);〔D〕F(x)在(一8,+8)內(nèi)可導(dǎo)但不一定滿(mǎn)足F'(x)=f(x)。4、極限limx—0〔A〕－1；Jxtsintdt-0f =〔Jxt2dt0〔B〕0；〔C〕1；5、設(shè)在區(qū)間[a,b]上f(x)>0,f'(x)<0,f〃(x)>0。令s1〔D〕2=Jbf(x)dx,aS2二f(b)(b-a)〔〔A〕s<s<s

i23:二2[f(a)+f(b)](b-a)，… 〕〔B〕s<s<s；〔C〕s<s<s；〔D〕s<s<s

2i3 3i2 23i

二、填空題：〔每小格3分，共30分〕1、設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)是e-21,那么它的一個(gè)導(dǎo)函數(shù)是 。2、設(shè)J2f(x)dx=1,f(2)=2，那么J1xf'(2x)dx=。003、f'(ex)=xe-x，且f(1)=0，那么f(x)=。4、函數(shù)F(x)=Jx(2-上)dt(x>0)的單調(diào)減少區(qū)間為 1v't5、由曲線(xiàn)y=x2與y=Jx所圍平面圖形的面積為。計(jì)算Jxtan2xdx三、計(jì)算題〔第1，2，3，4題各6分，第5，6，7計(jì)算Jxtan2xdx1、計(jì)算J(1+x)2dx2x(1+x2)3、設(shè)x>1，求Jx(1-|t|)dt4、設(shè)f(x)=『+x2,x-0，求J3f(x-2)dx-1 [e-x, x>0 15、J1ln(1+x)dx6、計(jì)算J+s 1 dxo(2—x)2 1x、.：x-17、曲線(xiàn)C的方程為y=f(x)，點(diǎn)(3,2)是它的一個(gè)拐點(diǎn)，直線(xiàn)l,l分別是曲線(xiàn)C在點(diǎn)(0,0)12與(3,2)處的切線(xiàn)，其交點(diǎn)為(2,4)。設(shè)函數(shù)f(x)具有三隊(duì)連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分J3(x2+x)f"'(x)dx。0四、解答題〔此題10分〕設(shè)f(x)連續(xù)，①(x)=J1f(xt)dt，且limf(x)=A[A為常數(shù)〕，求6(x)，并討論6(x)0 xf0x在x=0處的連續(xù)性。五、應(yīng)用題〔此題6分〕設(shè)曲線(xiàn)方程為y=e-x(x>0)，把曲線(xiàn)y=e-x,x軸、y軸和直線(xiàn)x=己&>0)所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體〔1〕旋轉(zhuǎn)體體積V化)〔2〕求滿(mǎn)足V(a)=1limV色)2J+8的a值。

六、證明題〔6分〕設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：不等式Jbxf(x)dx>a±bJbf(x)dx。a 2a不定積分、定積分測(cè)驗(yàn)卷答案一．選擇題：〔每小格3分，共30分〕1、〔A〕sinaxa3x十0；2、〔C〕F(x)=ex1、〔A〕sinaxa3x十0；2、〔C〕F(x)=ex,x>0—e-x+2,x<03、〔B〕F(x)在(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，在x=0點(diǎn)不可導(dǎo);4、〔C〕1；5、〔B〕s<s<s。213二、填空題：〔每小格3分，共30分〕1、一個(gè)導(dǎo)函數(shù)是f'(x)=4e-2x。 2、J1xf'(2x)dx=3043、f(x)=1(lnx)2o 4、單調(diào)減少區(qū)間為(0,1)。24三、計(jì)算題〔第1，2，3，4題各6分，第5，6，7題各8分，共48分〕1、解：J(1+x)2d=J(1x(1+x2) x2+1 )dx=ln|x|+2arctanx+c2、解：Jxtan2xdx=Jx(sec2x-1)dx=Jxdtanx-Jxdx=xtanx-Jx2tanxdx--23、x2=xtanx+Incosx--+c2解：被積函數(shù)f(t)=(1+t11-t<0,

I1—t,0Vt<+8當(dāng)一1<x<0時(shí)，原式=Jx(1+t)dt=1(1+x)2;-1 2當(dāng)x>0時(shí)，原式=J0(1+1)dt+Jx-1(1-1)dt=1-1(1-x)2o24、解：f3f(x一2)dx旦二J1f(t)dt=J0(1+12)dt+J1e-tdt=—--。TOC\o"1-5"\h\z1 -1 -1 0 3e5、解：J1“0+x)dx=J1ln(1+x)d(---)=ln(1+x)--—1-J1 dx0(2-x)2 0 2-x 2-x0o(1+x)(2-x)11 1 1 1=ln2--J1( + )dx=ln2o302-x1+x36、解：因?yàn)閘imf(x)=8,所以x=1為瑕點(diǎn)，因此垓廣義積分為混合型的。x-1+J+81 dx=J2—dx+J+8—dx=I+1TOC\o"1-5"\h\z1x<'x-1 1x<x-1 2x、Jx-1 1 22 [2 1ix-1=t2[22tdc. ，兀I=22——==dx====J2 =2arctanx1=—1 1x^x-T 1(12+1)t 02I=J+81 dx=J+82血==2arctanx+?=2(---)；2 2xJx-T 1(1+12)t 1 24所以J+8dx=I+1=-o1x<x-1 127、解：按題意，直接可知f(0)=0,f(3)=0,f〃(3)=0〔拐點(diǎn)的必要條件〕。從圖中還可求出y=f(x)在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線(xiàn)分別為y=2x,y=-2x+8。于是f(0)=2,f(3)=-20所以J3(x2+x)f，"(x)dx=J3(x2+x)df"(x)=(x2+x)f"(x)3-J3f〃(x)(2x+1)dxTOC\o"1-5"\h\z0 0 0 0=-J3(2x+1)dfXx)=-(2x+1)f(x)3+2J3f\x)dx=-7f(3)+f(0)+2f(x)30 0 0 0=-7-(-2)+2+2-(2-0)=20。四、解答題〔此題10分〕解：因?yàn)閘imfx)=A，故limf(x)=0,而f(x)連續(xù)，limf(x)=f(0)=0；x-0x x-0 x—0由于3(x)=J1f(xt)dt,令u=xt，當(dāng)t:0—1時(shí)，有u:0—x,du=xdt；0

i Jxf(u)du當(dāng)x牛0時(shí)，有中(x)=J1f(xt)dt=Jxf(u)-du= 0 0X x當(dāng)x=0時(shí)，有叭0)=J1f(0)dt=0；0|Jxf(u)du所以4(x)=]-^―—，x。0。TOC\o"1-5"\h\z八x 八10， x=0xf(x)-Jxf(u)du當(dāng)xw0時(shí)，有8(x)= 0 ;x2當(dāng)x=0時(shí),f(x)二A叭x)-叭0) 叭x當(dāng)x=0時(shí),f(x)二Alim =lim =lim—0 二limxf0x—0 xf0xxf0x2 x-0xf(x)-Jxf(u)du所以8(所以8(x)=1-0-

x2xf(x)-Jxf(u)du f(x)Jxf(u)du AA又因?yàn)閘im8(x)=lim 0 =lim( -0 )=A--=一TOC\o"1-5"\h\zxf0 xf0 x2 xf0 xx2 2 2A. .所以11m①(x)=①(0)=—，即①(x)在x—0處連續(xù)。xf0 2五、應(yīng)用題〔此題6分〕解：〔1〕V&)=J&兀y2dx=J&兀(e-x)2dx——(1-e-2&)；0 0 2一、兀 1 - 1兀 ?！?〕V(a)——(1-e-2a)，于是V(a)=-limV&)=--lim—(1-e-2&)=；2 2&f+S 2&f+82 4兀? 1 兀 1一_故—(1-e-2a)=_limV&)=na=—ln2。2 2- 4 2大、證明題〔6分〕證：設(shè)F(x)=Jxtf(t)dt-a+xJxf(t)dt xe[a，b]a 2a因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，所以F'(x)=xf(x)-1Jxf(t)dt-a+x-f(x)=x+-af(x)-1Jxf(t)dt=1Jx[f(x)-f(