線性代數(shù)與解析幾何矩陣演示文稿

線性代數(shù)與解析幾何矩陣演示文稿當(dāng)前1頁(yè)，總共165頁(yè)。（優(yōu)選）線性代數(shù)與解析幾何矩陣當(dāng)前2頁(yè)，總共165頁(yè)?！獭獭獭獭唐渲小瘫硎居泻桨嗍及l(fā)地ABCD目的地ABCD例

某航空公司在A、B、C、D四座城市之間開(kāi)辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來(lái)表示:√√一、矩陣概念的引入當(dāng)前3頁(yè)，總共165頁(yè)。為了便于計(jì)算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個(gè)數(shù)表：ABCDABCD√√√√√√√這個(gè)數(shù)表反映了四個(gè)城市之間交通聯(lián)接的情況.當(dāng)前4頁(yè)，總共165頁(yè)。其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．當(dāng)前5頁(yè)，總共165頁(yè)。數(shù)域定義：對(duì)于一個(gè)至少含有0，1的復(fù)數(shù)集合的子集合F，如

果其中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）

仍在F中，那么F稱為一個(gè)數(shù)域．所有的有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)都分別形成一個(gè)數(shù)域（有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域），分別記為所有的奇數(shù)（偶數(shù)）都不能構(gòu)成數(shù)域.當(dāng)前6頁(yè)，總共165頁(yè)。構(gòu)成一個(gè)數(shù)域.通常用表示這個(gè)數(shù)域.例

集合證顯然包含0,1并且對(duì)于加減法是封閉的.另外因?yàn)閍,b,c,d都是有理數(shù)，所以ac+2bd,ad+bc也是有理數(shù).從而說(shuō)明對(duì)乘法也是封閉的.設(shè)，則知對(duì)除法也封閉.當(dāng)前7頁(yè)，總共165頁(yè)。

由

m×n

個(gè)數(shù)排成的

m

行

n

列的數(shù)表稱為

m行

n列矩陣，簡(jiǎn)稱

m×n矩陣．記作二、矩陣的定義（定義在數(shù)域F上）當(dāng)前8頁(yè)，總共165頁(yè)。簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.這m×n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡(jiǎn)稱為元.當(dāng)前9頁(yè)，總共165頁(yè)。行數(shù)不一定等于列數(shù)共有m×n個(gè)元素本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個(gè)元素矩陣行列式當(dāng)前10頁(yè)，總共165頁(yè)。同型矩陣與矩陣相等的概念

兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.

兩個(gè)矩陣與為同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)元 素相等，即 則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.當(dāng)前11頁(yè)，總共165頁(yè)。注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如當(dāng)前12頁(yè)，總共165頁(yè)。只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).2.元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：三、特殊的矩陣當(dāng)前13頁(yè)，總共165頁(yè)。3.行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.稱為方陣的主對(duì)角線元素，所有主對(duì)角線元素的和稱為方陣的跡，記為

當(dāng)前14頁(yè)，總共165頁(yè)。形如的方陣稱為對(duì)角陣．

特別的，方陣稱為單位矩陣．記作記作．當(dāng)前15頁(yè)，總共165頁(yè)。定義

設(shè)，稱是A的負(fù)矩陣，其中當(dāng)前16頁(yè)，總共165頁(yè)。例

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量．其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發(fā)送第

j種貨物的數(shù)量．其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發(fā)送第j

種貨物的數(shù)量．當(dāng)前17頁(yè)，總共165頁(yè)。解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量當(dāng)前18頁(yè)，總共165頁(yè)。1、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個(gè)

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說(shuō)明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.當(dāng)前19頁(yè)，總共165頁(yè)。知識(shí)點(diǎn)比較當(dāng)前20頁(yè)，總共165頁(yè)。交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)（A的負(fù)矩陣）．顯然當(dāng)前21頁(yè)，總共165頁(yè)。設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量．例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．當(dāng)前22頁(yè)，總共165頁(yè)。解：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．當(dāng)前23頁(yè)，總共165頁(yè)。2、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù)

k是復(fù)數(shù)域中的一個(gè)數(shù)，它與矩陣

A

的乘積記作

kA

或

Ak

，規(guī)定為當(dāng)前24頁(yè)，總共165頁(yè)。結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來(lái)，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.當(dāng)前25頁(yè)，總共165頁(yè)。知識(shí)點(diǎn)比較當(dāng)前26頁(yè)，總共165頁(yè)。其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例（續(xù)）

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．當(dāng)前27頁(yè)，總共165頁(yè)。解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．當(dāng)前28頁(yè)，總共165頁(yè)。可用矩陣表示為一般地，當(dāng)前29頁(yè)，總共165頁(yè)。4、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè)，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個(gè)

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．當(dāng)前30頁(yè)，總共165頁(yè)。例：設(shè)則當(dāng)前31頁(yè)，總共165頁(yè)。知識(shí)點(diǎn)比較有意義.沒(méi)有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.當(dāng)前32頁(yè)，總共165頁(yè)。例P.34例1.2

結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論．當(dāng)前33頁(yè)，總共165頁(yè)。矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)

乘法結(jié)合律證明？

(3)

乘法對(duì)加法的分配律(2)

數(shù)乘和乘法的結(jié)合律（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即矩陣乘法不一定滿足交換律!!!當(dāng)前34頁(yè)，總共165頁(yè)。(5)

設(shè)A是一個(gè)n階方陣，f(x),g(x)為復(fù)系數(shù)的多項(xiàng)式，則矩陣A的多項(xiàng)式f(A)和g(A)的乘法滿足交換律,即f(A)g(A)=g(A)f(A).當(dāng)前35頁(yè)，總共165頁(yè)。例：如果AB=BA,我們就稱矩陣A，B可交換.證明和對(duì)角矩陣可交換的只能是對(duì)角矩陣.其中證設(shè)矩陣B可以和A可交換.其中當(dāng)前36頁(yè)，總共165頁(yè)。則當(dāng)前37頁(yè)，總共165頁(yè)。即依次比較兩邊矩陣的第一行，第二行，…….,可以得到故結(jié)論成立當(dāng)前38頁(yè)，總共165頁(yè)。(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然,定義思考：下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立當(dāng)前39頁(yè)，總共165頁(yè)。5、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例當(dāng)前40頁(yè)，總共165頁(yè)。轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)前41頁(yè)，總共165頁(yè)。例：已知解法1當(dāng)前42頁(yè)，總共165頁(yè)。解法2當(dāng)前43頁(yè)，總共165頁(yè)。定義：設(shè)A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對(duì)稱陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對(duì)稱陣.對(duì)稱陣反對(duì)稱陣當(dāng)前44頁(yè)，總共165頁(yè)。例：設(shè)列矩陣X=(x1,x2,…,xn

)T

滿足XT

X=1，E

為n階單位陣，H=E－2XXT，試證明

H是對(duì)稱陣，且HHT=E.證明：從而

H是對(duì)稱陣．當(dāng)前45頁(yè)，總共165頁(yè)。6、共軛矩陣當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí)，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為的共軛矩陣.

顯然，復(fù)矩陣A是實(shí)矩陣當(dāng)且僅當(dāng).

當(dāng)前46頁(yè)，總共165頁(yè)。例當(dāng)前47頁(yè)，總共165頁(yè)。（設(shè)A，B

為復(fù)矩陣，l為復(fù)數(shù)，且運(yùn)算都是可行的）：性質(zhì)當(dāng)前48頁(yè)，總共165頁(yè)。作業(yè)習(xí)題二1(3)(4)，5,7,11當(dāng)前49頁(yè)，總共165頁(yè)。§2.2

矩陣的分塊當(dāng)前50頁(yè)，總共165頁(yè)。前言由于某些條件的限制，我們經(jīng)常會(huì)遇到大型文件無(wú)法上傳的情況，如何解決這個(gè)問(wèn)題呢?這時(shí)我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳.家具的拆卸與裝配問(wèn)題一：什么是矩陣分塊法？問(wèn)題二：為什么提出矩陣分塊法？當(dāng)前51頁(yè)，總共165頁(yè)。問(wèn)題一：什么是矩陣分塊法？定義：用一些水平線和垂直線將矩陣分成若干個(gè)小塊，這種操作稱為對(duì)矩陣進(jìn)行分塊；每一個(gè)小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.這是2階方陣嗎？當(dāng)前52頁(yè)，總共165頁(yè)。例分塊矩陣當(dāng)前53頁(yè)，總共165頁(yè)。把矩陣A用水平線和垂直線分割成若干個(gè)小矩陣.如下圖當(dāng)前54頁(yè)，總共165頁(yè)。問(wèn)題二：為什么提出矩陣分塊法？答：對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，運(yùn)算時(shí)采用分塊法，可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算，體現(xiàn)了化整為零的思想.當(dāng)前55頁(yè)，總共165頁(yè)。分塊矩陣的加法當(dāng)前56頁(yè)，總共165頁(yè)。若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即則有形式上看成是普通矩陣的加法！當(dāng)前57頁(yè)，總共165頁(yè)。分塊矩陣的數(shù)乘當(dāng)前58頁(yè)，總共165頁(yè)。若l是數(shù)，且

則有形式上看成是普通的數(shù)乘運(yùn)算！當(dāng)前59頁(yè)，總共165頁(yè)。分塊矩陣的乘法一般地，設(shè)A為ml矩陣，B為ln矩陣

，把A、B分塊如下：當(dāng)前60頁(yè)，總共165頁(yè)。分塊矩陣的轉(zhuǎn)置若，則例如：分塊矩陣不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置，而且每一個(gè)子塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置．當(dāng)前61頁(yè)，總共165頁(yè)。分塊對(duì)角矩陣（補(bǔ)充）定義：設(shè)A

是n

階矩陣，若

A

的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，對(duì)角線上的子塊都是方陣，那么稱A

為分塊對(duì)角矩陣．例如：當(dāng)前62頁(yè)，總共165頁(yè)。方陣的行列式定義：由

n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)前63頁(yè)，總共165頁(yè)。證明：要使得|AB|=|A||B|

有意義，A、B

必為同階方陣，假設(shè)A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我們以

n=3為例，構(gòu)造一個(gè)6階行列式當(dāng)前64頁(yè)，總共165頁(yè)。當(dāng)前65頁(yè)，總共165頁(yè)。當(dāng)前66頁(yè)，總共165頁(yè)。令，則

C=(cij)=AB．當(dāng)前67頁(yè)，總共165頁(yè)。從而．當(dāng)前68頁(yè)，總共165頁(yè)?！?.3

矩陣的秩一、矩陣的初等變換二、矩陣的秩當(dāng)前69頁(yè)，總共165頁(yè)。引例：求解線性方程組①②③④一、矩陣的初等變換當(dāng)前70頁(yè)，總共165頁(yè)。①②③④①②③÷2①②③④當(dāng)前71頁(yè)，總共165頁(yè)。②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④當(dāng)前72頁(yè)，總共165頁(yè)。②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④當(dāng)前73頁(yè)，總共165頁(yè)。④－2×③③④①②③④①②③④當(dāng)前74頁(yè)，總共165頁(yè)。取x3

為自由變量，則令x3=c

，則恒等式①②③④當(dāng)前75頁(yè)，總共165頁(yè)。三種變換：交換方程的次序，記作；以非零常數(shù)k乘某個(gè)方程，記作；一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍，記作.

其逆變換是：結(jié)論：由于對(duì)原線性方程組施行的變換是可逆變換，因此變換前后的方程組同解.在上述變換過(guò)程中，實(shí)際上只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知數(shù)并未參與運(yùn)算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj當(dāng)前76頁(yè)，總共165頁(yè)。定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：交換矩陣中的兩行，記作；以非零常數(shù)k乘某一行的所有元素，記作；某一行加上另一行的k倍，記作.其逆變換是：把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義．矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．初等變換初等行變換初等列變換當(dāng)前77頁(yè)，總共165頁(yè)。有限次初等變換矩陣A與矩陣B等價(jià)，記作矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：反身性；對(duì)稱性若，則；傳遞性若，則．當(dāng)前78頁(yè)，總共165頁(yè)。階梯形矩陣：可畫(huà)出一條階梯線，線的下方全為零；每個(gè)臺(tái)階只有一行；階梯線的豎線后面是非零行的第一個(gè)非零元素.階梯形矩陣若某行中每個(gè)元素都為0，則位于該行下面各行元素也全為0.若有非零元素且非零元素出現(xiàn)于前r行，而對(duì)于i=1,2,…,r,第i行中左起第1個(gè)非零元素為,則.當(dāng)前79頁(yè)，總共165頁(yè)。例是階梯形矩陣，而不是階梯形矩陣.當(dāng)前80頁(yè)，總共165頁(yè)。證設(shè)m×n

矩陣A

若所有的均為0，則顯然A是階梯形矩陣.定理任意一個(gè)矩陣都可經(jīng)過(guò)一系列初等行變換化為階梯形矩陣.當(dāng)前81頁(yè)，總共165頁(yè)。否則，設(shè)A的第列的元素均為0，而第列有非零元素.利用矩陣的初等變換其中.依次類推.

當(dāng)前82頁(yè)，總共165頁(yè)。例把化成階梯形矩陣.

當(dāng)前83頁(yè)，總共165頁(yè)。解

當(dāng)前84頁(yè)，總共165頁(yè)。（續(xù)）考慮列初等變換

當(dāng)前85頁(yè)，總共165頁(yè)。定理任意一個(gè)m×n矩陣A都可與一個(gè)形如的矩陣等價(jià).為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.當(dāng)前86頁(yè)，總共165頁(yè)。任何矩陣階梯形矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣一系列初等行變換一系列初等列變換一系列初等變換結(jié)論當(dāng)前87頁(yè)，總共165頁(yè)。二、矩陣的秩的概念定義：在m×n

矩陣A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2

個(gè)元素按原來(lái)的順序組成的k

階行列式，稱為矩陣A的k階子式．顯然，m×n矩陣A的k

階子式共有個(gè)．概念辨析：

k階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式當(dāng)前88頁(yè)，總共165頁(yè)。與元素a12相對(duì)應(yīng)的余子式相應(yīng)的代數(shù)余子式矩陣A

的一個(gè)2階子塊矩陣A的一個(gè)2階子式當(dāng)前89頁(yè)，總共165頁(yè)。矩陣A的一個(gè)3階子式矩陣A的2階子式如果矩陣A中所有2階子式都等于零，那么這個(gè)3階子式也等于零．當(dāng)前90頁(yè)，總共165頁(yè)。定義：設(shè)矩陣A中有一個(gè)不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

數(shù)r

稱為矩陣

A

的秩，記作r(A)．根據(jù)行列式按行（列）展開(kāi)法則可知，矩陣A中任何一個(gè)r+2階子式（如果存在的話）都可以用r+1階子式來(lái)表示．如果矩陣A中所有r+1階子式都等于零，那么所有r+2階子式也都等于零．事實(shí)上，所有高于r+1階的子式（如果存在的話）也都等于零．

因此矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．規(guī)定：零矩陣的秩等于零．當(dāng)前91頁(yè)，總共165頁(yè)。矩陣A

的秩就是A

中非零子式的最高階數(shù)．顯然，若矩陣A

中有某個(gè)s

階子式不等于零，則r(A)≥s； 若矩陣A

中所有t

階子式等于零，則r(A)<t

．若

A為n階矩陣，則A的n

階子式只有一個(gè)，即|A|． 當(dāng)|A|≠0時(shí)，r(A)=n;

（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣．

當(dāng)|A|=0時(shí)，r(A)<n;

（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣．若

A為m×n

矩陣，則0≤r(A)≤min(m,n)．r(AT)=r(A)．當(dāng)前92頁(yè)，總共165頁(yè)。矩陣A的一個(gè)2階子式矩陣AT

的一個(gè)2階子式AT

的子式與A

的子式對(duì)應(yīng)相等，從而r(AT)=r(A)．當(dāng)前93頁(yè)，總共165頁(yè)。例：求矩陣A

和B

的秩，其中解：在

A中，2階子式．A的3階子式只有一個(gè)，即|A|，而且|A|=0，因此r(A)=2．當(dāng)前94頁(yè)，總共165頁(yè)。例：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行有3行，因此其4階子式全為零．以非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的3階子式，因此r(B)=3．還存在其它3階非零子式嗎？當(dāng)前95頁(yè)，總共165頁(yè)。例：求矩陣A

和B

的秩，其中解（續(xù)）：B

還有其它

3

階非零子式，例如結(jié)論：階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù)．當(dāng)前96頁(yè)，總共165頁(yè)。證明

只需證明A經(jīng)過(guò)一次初等變換化成,有定理初等變換不改變矩陣的秩.下面以列變換為例，按三種初等列變換分別論證.當(dāng)前97頁(yè)，總共165頁(yè)。設(shè).要證的任意k(k>r)階子式

D全為零，為此對(duì)A按列分塊，設(shè)經(jīng)過(guò)初等變換后變?yōu)槿的任意一個(gè)k(k>r)階子式D,記是D中分別對(duì)應(yīng)于的列.則D有三種情形.當(dāng)前98頁(yè)，總共165頁(yè)。(1)

D中不含B的第i列，這時(shí)D就是A的子式.則D=0.(2)D中含B的第i列，但不含B的第j列,這時(shí)(3)D同時(shí)含B的第i列和第j列,當(dāng)前99頁(yè)，總共165頁(yè)。B中高于r階的子式都為0，所以，同理可得

.結(jié)論成立.當(dāng)前100頁(yè)，總共165頁(yè)。分析

比較矩陣A、B的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.性質(zhì)1兩個(gè)矩陣A、B等價(jià)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的秩.性質(zhì)2階梯形矩陣的秩等于它非零行的數(shù)目.當(dāng)前101頁(yè)，總共165頁(yè)。例：求矩陣A

的秩，其中．分析：在

A中，2階子式．A的3階子式共有(個(gè))，要從40個(gè)子式中找出一個(gè)非零子式是比較麻煩的．當(dāng)前102頁(yè)，總共165頁(yè)。一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時(shí)，按定義求秩是很麻煩的.階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).一個(gè)自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為階梯形矩陣.兩個(gè)等價(jià)的矩陣的秩是否相等？當(dāng)前103頁(yè)，總共165頁(yè)。例：求矩陣的秩。當(dāng)前104頁(yè)，總共165頁(yè)。解：第一步先用初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣．階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故r(A)=3

．當(dāng)前105頁(yè)，總共165頁(yè)。分析：對(duì)B

作初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣，設(shè)B

的階梯形矩陣為，則就是A

的階梯形矩陣，因此可從中同時(shí)看出r(A)及r(B)．例：設(shè)，求矩陣A

及矩陣B=(A,b)的秩．解：r(A)=2r(B)=3當(dāng)前106頁(yè)，總共165頁(yè)?！?.4

矩陣的逆當(dāng)前107頁(yè)，總共165頁(yè)。矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算.矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢？這就是本節(jié)所要討論的問(wèn)題.這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說(shuō)明，所指的都是n階方陣.

從乘法的角度來(lái)看，n階單位矩陣E在同階方陣中的地位類似于1在復(fù)數(shù)中的地位．一個(gè)復(fù)數(shù)a

≠0的倒數(shù)a－1可以用等式aa－1

=1來(lái)刻劃.類似地，我們引入對(duì)于n階單位矩陣E以及同階的方陣A，都有當(dāng)前108頁(yè)，總共165頁(yè)。定義：

n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，使得這里E是n階單位矩陣.根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式.對(duì)于任意的n階方陣A，適合上述等式的矩陣B是唯一的（如果有的話）.定義：如果矩陣B滿足上述等式，那么B就稱為A的逆矩陣， 記作A－1.當(dāng)前109頁(yè)，總共165頁(yè)。例：已知,則例：已知,求其逆矩陣.當(dāng)前110頁(yè)，總共165頁(yè)。性質(zhì)：如果n階方陣A、B可逆，那么、、與AB也可逆，且當(dāng)前111頁(yè)，總共165頁(yè)。下面要解決的問(wèn)題是：在什么條件下，方陣A是可逆的？如果A可逆，怎樣求A－1

？當(dāng)前112頁(yè)，總共165頁(yè)。例：已知,則A不存在逆矩陣.假設(shè)存在逆矩陣則而,矛盾.當(dāng)前113頁(yè)，總共165頁(yè)。定義設(shè)矩陣稱矩陣為矩陣A的伴隨矩陣。元素的代數(shù)余子式位于第i行第j列當(dāng)前114頁(yè)，總共165頁(yè)。定理

矩陣Ａ可逆的充要條件是，且當(dāng)Ａ可逆時(shí)，有：

證明若可逆，當(dāng)前115頁(yè)，總共165頁(yè)。由定義得當(dāng)前116頁(yè)，總共165頁(yè)。例：求二階矩陣的逆矩陣.當(dāng)前117頁(yè)，總共165頁(yè)。例：求3階方陣的逆矩陣.解：|A|=52，則當(dāng)前118頁(yè)，總共165頁(yè)。例：設(shè)方陣A滿足,證明A,A+2E都可逆.

當(dāng)前119頁(yè)，總共165頁(yè)。方陣A可逆此時(shí)，稱矩陣A為非奇異矩陣容易看出：對(duì)于n階方陣A、B，如果那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣.當(dāng)前120頁(yè)，總共165頁(yè)。例

的系數(shù)矩陣是一個(gè)n階方陣A

，若A可逆,則線性方程組有唯一的解.當(dāng)前121頁(yè)，總共165頁(yè)。證明：記則上述線性變換可記作AX=b．存在性:由于A可逆,則，于是唯一性:假設(shè)有另一解,則當(dāng)前122頁(yè)，總共165頁(yè)。例設(shè)其中為可逆矩陣,為可逆矩陣，求A的逆.當(dāng)前123頁(yè)，總共165頁(yè)?！?.5

初等矩陣當(dāng)前124頁(yè)，總共165頁(yè)。定義：由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等矩陣.互換單位矩陣的兩行（列）；(2)以常數(shù)

k≠0

乘單位矩陣的某一

行（列）；(3)以

k

乘單位矩陣的某一

行（列）加到另一

行（列）

．一、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系當(dāng)前125頁(yè)，總共165頁(yè)。(第I種類型的初等矩陣)n階單位矩陣的第

i,j行（i>j）互換，記為P(i,j).第i行第ｊ行當(dāng)前126頁(yè)，總共165頁(yè)。記作

P(3,5)當(dāng)前127頁(yè)，總共165頁(yè)。當(dāng)前128頁(yè)，總共165頁(yè)。當(dāng)前129頁(yè)，總共165頁(yè)。(2)(第II種類型的初等矩陣)以常數(shù)

k≠0

乘單位矩陣第

i行,

記為P(i(k)).第i行當(dāng)前130頁(yè)，總共165頁(yè)。記作

P(3(k))當(dāng)前131頁(yè)，總共165頁(yè)。當(dāng)前132頁(yè)，總共165頁(yè)。(3)(第III種類型的初等矩陣)以

k

乘單位矩陣第

j行加到第

i行,記作

P(i,j(k))．第i行第ｊ行當(dāng)前133頁(yè)，總共165頁(yè)。記作

P(3,5(k))當(dāng)前134頁(yè)，總共165頁(yè)。當(dāng)前135頁(yè)，總共165頁(yè)。結(jié)論把矩陣A的第i行與第j行對(duì)換，即.把矩陣A的第i列與第j列對(duì)換，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i行，即.以非零常數(shù)k

乘矩陣A的第i列，即.把矩陣A第j行的k倍加到第i行，即.把矩陣A第i列的k倍加到第j列，即.當(dāng)前136頁(yè)，總共165頁(yè)。定理(定理5.1)

設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣.口訣：左行右列.當(dāng)前137頁(yè)，總共165頁(yè)。例已知求P(3,1(2))A,AP(2,3).P(3(3))A.當(dāng)前138頁(yè)，總共165頁(yè)。初等變換初等變換的逆變換初等矩陣?當(dāng)前139頁(yè)，總共165頁(yè)。所以．一般地，．當(dāng)前140頁(yè)，總共165頁(yè)。所以．一般地，．?當(dāng)前141頁(yè)，總共165頁(yè)。所以．一般地，．?當(dāng)前142頁(yè)，總共165頁(yè)。初等變換初等變換的逆變換初等矩陣初等矩陣的逆矩陣初等矩陣的逆矩陣是：?當(dāng)前143頁(yè)，總共165頁(yè)。定理

任意一個(gè)矩陣A都和一形如

的矩陣等價(jià)。（P45）當(dāng)前144頁(yè)，總共165頁(yè)。由上述定理可得定理

對(duì)任意矩陣,r(A)=r,存在一系列和n階初等矩陣使得當(dāng)前145頁(yè)，總共165頁(yè)。推論1

若矩陣A為n階可逆矩陣，則存在n階初等陣，使從而推論2

若矩陣A為n階可逆矩陣，則存在n階初等矩陣Q1,Q2,…,Ql，使AQ1

Q2…,Ql=E．從而當(dāng)前146頁(yè)，總共165頁(yè)。初等變換的應(yīng)用若矩陣A為n階可逆矩陣，則存在n階初矩陣使，從而即對(duì)矩陣(AE)執(zhí)行初等行變換,當(dāng)把A變成E時(shí)，原來(lái)的E變成.當(dāng)前147頁(yè)，總共165頁(yè)。

解例１當(dāng)前148頁(yè)，總共165頁(yè)。當(dāng)前149頁(yè)，總共165頁(yè)。即初等行變換當(dāng)前150頁(yè)，總共165頁(yè)。例２解當(dāng)前151頁(yè)，總共165頁(yè)。當(dāng)前152頁(yè)，總共165頁(yè)。當(dāng)前153頁(yè)，總共165頁(yè)。列變換行變換當(dāng)前154頁(yè)，總共165頁(yè)。作業(yè)習(xí)題二16,20,24當(dāng)前155頁(yè)，總共165頁(yè)。概念特殊矩陣

m×n個(gè)數(shù)aij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

構(gòu)成的數(shù)表.單位距陣:主對(duì)角線元素都是1,其余元素都是零的n階方陣.對(duì)角矩陣:主對(duì)角元素是其余元素都是零的n階方陣.對(duì)稱矩陣:矩陣主要知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖AT=A.反對(duì)稱矩陣:

AT=－A.矩陣2當(dāng)前156頁(yè)，總共165頁(yè)。運(yùn)算A+B=

(aij+bij)kA=(kaij).AB=C其中A與B同型.的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必須是方陣.伴隨矩陣

n階行列式的|A|所有元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣.AT:AT當(dāng)前157頁(yè)，總共165頁(yè)。逆矩陣概念求法證法如果AB=BA=E,則A可逆，B是A的逆矩陣.用定義.用伴隨矩陣分塊對(duì)角矩陣|A|

≠0,A可逆

.|A|=0,A不可逆

.AB=E,A與B互逆