備戰(zhàn)2019高考數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)破題致勝微方法(函數(shù)的周期性)軸對(duì)稱中心對(duì)稱與周期函數(shù)的關(guān)系

對(duì)稱性和周期性都是函數(shù)的重要性質(zhì)，而這兩種性質(zhì)之間，有沒(méi)有什么關(guān)系呢？今日我們就來(lái)經(jīng)過(guò)幾個(gè)例子，軸對(duì)稱、中心對(duì)稱與周期性之間的關(guān)系。先看例題例：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，fx1f1x，0x1時(shí)，fxlog2(x1)，則f(31)等于（）A.0B.1C.2D.1依據(jù)已知，由函數(shù)為奇函數(shù)，能夠找到一個(gè)對(duì)稱中心，依據(jù)fx1f1x，能夠找到函數(shù)的一條對(duì)稱軸即x=1fx1f1x=fx1fx2=fx由周期函數(shù)的知識(shí)，可知：fx4=fx2f(x)因此函數(shù)是以T=4為周期的函數(shù)，因此：f31f321f1f11一般規(guī)律：若函數(shù)f(x)的圖象對(duì)于點(diǎn)(a,0)和直線x=b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a-b|是它的一個(gè)周期；fxf2axfxf2bxf2axf2bxfxf2b2axf

2b

2a

x

f4b

4a

xf

x

f

4b

4a

x整理：若函數(shù)f(x)對(duì)于直線x=a和直線x=b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a-b|是它的一個(gè)周期；若函數(shù)f(x)對(duì)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a-b|是它的一個(gè)周期；若函數(shù)f(x)對(duì)于點(diǎn)(a,0)和直線x=b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a-b|是它的一個(gè)周期；練：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，fx2fx，當(dāng)0x1時(shí)，fxx，則f7.5=0.5依據(jù)已知，由奇函數(shù)我們知道，函數(shù)有對(duì)稱中心為(0,0)又依據(jù)fx2fx，函數(shù)有一條對(duì)稱軸為，x=1因此原函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，且T=4|1-0|=4因此f0.50.5注意：此類周期函數(shù)的周期，與軸對(duì)稱，與中心對(duì)稱所提到的周期算法不一致！總結(jié)：1.假如函數(shù)有不一樣的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，那么它必定是周期函數(shù)2.該類函數(shù)的周期為T=4|a-b|練習(xí)：1.定義域?yàn)?/p>

R的函數(shù)

f

x

知足

f

4x

fx

8

，且

y

fx

8

為偶函數(shù)，則

f(x)（）（A）是周期為（C）是周期為

4的周期函數(shù)12的周期函數(shù)

（B）是周期為8的周期函數(shù)（D）不是周期函數(shù)2.若函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)，且在1，0上是增函數(shù)，且f(x2)f(x).①求f(x)的周期；②證明f(x)的圖象對(duì)于點(diǎn)(2k,0)中心對(duì)稱;對(duì)于直線x2k1軸對(duì)稱,(kZ);③議論f(x)在(1,2)上的單一性；3.已知函數(shù)xyxyf(x)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x,y均有f(x)f(y)2f()f(),f(0)0，且存在22非零常數(shù)c,使f(c)0.1）求f(0)的值；2）判斷f(x)的奇偶性并證明；（3）求證f(x)是周期函數(shù)，并求出f(x)的一個(gè)周期.答案：1.C2.解：①由已知f(x)f(x2)f(x22)f(x4)，故周期T4.②設(shè)P(x,y)是圖象上隨意一點(diǎn),則yf(x),且P對(duì)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱的點(diǎn)為P(4kx,y).P1對(duì)于直線x2k1對(duì)稱的點(diǎn)為P2(4k2x,y)∵f(4kx)f(x)f(x)y,∴點(diǎn)P1在圖象上,圖象對(duì)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱.又f(x)是奇函數(shù),f(x2)f(x)f(x)∴f(4k2x)f(2x)f(x)y∴點(diǎn)P2在圖象上,圖象對(duì)于直線x2k1對(duì)稱.③設(shè)1x1x22，則2x2x11，02x22x11∵f(x)在(1,0)上遞加,∴f(2x1)f(2x2)(*)又f(x2)f(x)f(x)∴f(2x1)f(x1),f(2x2)f(x2).因此：f(x2)f(x1)，f(x)在(1,2)上是減函數(shù).3.解：（1）取，得f2(0)a0,b0f(0)f(0)2f(0)f(0),f(0)f(0)0,f(0)1f(x)是偶函數(shù)。證明：原式中，不變，取yx,得f(x)x(x)x(x)22即f(x)f(x)2f(0)f(x)2f(x),f(x)f(（3）令，yxc,則f(x)f(x2c)2f(xx=xf(x)f(x2c)0,將換成，f(x2c)xx2cf(x2c)f(x2c),