圓錐曲線中的一些重要結(jié)論

1111圓錐曲線中一些重要結(jié)1、如圖，

1

是橢圓（雙曲線、拋物線同樣具有此性質(zhì)）

2ya2

的左焦點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于A兩點(diǎn)別過(guò)A做準(zhǔn)的交點(diǎn)為G垂線足接AC,AG,BG。則有（1）E平準(zhǔn)焦距G

1

；（2若連結(jié)BD，則BD與AC交同一個(gè)點(diǎn)E（3）G

1

是

AGB

的角平分線（可根據(jù)三角形相似證明，證ADG與相似明）2、如圖，直線AB交曲線

aab2

于A、B兩點(diǎn)，

1

是右交點(diǎn)AB交右線于C。則有1

C是

1

的角平分線示：可分別過(guò)、B做右準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為G、E，再根據(jù)第二定義證明。AFAC1CBF1

）提示：對(duì)應(yīng)橢圓也有此性質(zhì)，不過(guò)，此時(shí)是外角平分線了！3、如圖，過(guò)的直交雙曲線

aab2

于A、B兩點(diǎn)，若M平AB，有

K

OM

ba

22

（利用點(diǎn)差發(fā)易求得說(shuō)明圓滿足

K

OM

ba

22（2的點(diǎn)P與點(diǎn)，A的線斜率之積為定值1

(

，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓（當(dāng)

時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，且此時(shí)，是橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)1

ba

22

。其實(shí)，設(shè)Q點(diǎn)是P的中點(diǎn)，則也轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)弦問(wèn)題Q為定點(diǎn)，過(guò)Q的線被橢圓截的的弦P被Q2200點(diǎn)平分，注意OQ與P

1

平行。（3中陰影部分是當(dāng)定點(diǎn)在此范圍時(shí)，不存在中點(diǎn)弦。所以，在處理中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，注意判別式

的判斷，特別是雙曲線。4、圖，L是圓

2ya2

的右焦點(diǎn)，、A是右頂1點(diǎn)，P點(diǎn)L上去軸的一動(dòng)點(diǎn)，AP與別交橢圓與M、N兩12點(diǎn)，則恒有MN過(guò)焦點(diǎn)。注意：仿照這個(gè)結(jié)論，對(duì)應(yīng)雙曲線，則應(yīng)有相應(yīng)的結(jié)論。5是橢圓準(zhǔn)線相離。

2ya2

的焦點(diǎn)弦，則以MN為直的圓與對(duì)應(yīng)注意：仿照這個(gè)結(jié)論，對(duì)應(yīng)雙曲線是相交，拋物線是相切。6、對(duì)于拋物線

y

2

px(p0)(1)點(diǎn)A(m，0)在x軸上，當(dāng)最小的點(diǎn)；

時(shí)，恒有頂點(diǎn)O是物線上與A點(diǎn)離（2過(guò)（，0）的直線與拋物交于、C兩點(diǎn)，則恒有

BOC90

0

，反之，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O做互垂直的兩直線與拋物線交于兩點(diǎn)直線BC恒定7、點(diǎn)D（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，是橢圓22y0)a2

a的右頂點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)恒c右頂點(diǎn)與D點(diǎn)的離最近。8如，

p是拋線

2

px(p0)

的準(zhǔn)線點(diǎn)是準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)切物線于A兩有：（）

APB

0

）過(guò)點(diǎn)。反之，過(guò)焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)做拋物線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)一定在準(zhǔn)線上。思考：橢圓、雙曲線是否有類似的結(jié)果9）若

(,)000

在橢圓

x2上則過(guò)的橢圓的切線方程是a2b2

xy0a2b

（隱函數(shù)求導(dǎo)，121212121212121212121212可以證明，另外，對(duì)比中點(diǎn)弦問(wèn)題，極限思維）（若

(,)000

在雙曲線

xy＞＞上過(guò)a2b2

0

的雙曲線的切線方程是

xxy0a2210若

(,)000

在橢圓

xya2b2

外，過(guò)作圓的兩條切線切點(diǎn)為P、，切點(diǎn)弦P的直線方程是

xy0a2

.（）

(,)000

在雙曲線

xya2b2

（＞＞），過(guò)Po作曲線的兩條切線切點(diǎn)為PP，則切點(diǎn)弦P的線方程是

xy0a2b2

.11）圓

xya2b2

(a＞＞的左右焦點(diǎn)分別為F，，P為圓上任意一點(diǎn)

F12

，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為

S

PF

tan

2

.（曲

xy＞＞右焦點(diǎn)分別為FP為雙曲線上任意一點(diǎn)a2b2

F1

，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為

S

cot

2

.12設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作線與橢圓相交P、兩A為圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，結(jié)AP和分交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的圓準(zhǔn)線于M、兩，則⊥（）過(guò)雙曲焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交、兩A為曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的曲線準(zhǔn)線于、兩，則⊥13）橢圓

xya2b2

(a＞＞上一點(diǎn)

(x,y)00

任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則直線BC有定向且

k

BC

2020

（常數(shù)）

提示：思考中點(diǎn)弦問(wèn)