浙教版八年級上冊壓軸題數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模擬試題

浙教版八年級上冊壓軸題數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模擬試題一、壓軸題1．（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥l，過點(diǎn)B作BE⊥l，垂足分別為D、E．求證：AD＝CE，CD＝BE．（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板MON放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，另兩個頂點(diǎn)均落在第一象限內(nèi)，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3），求點(diǎn)N的坐標(biāo)．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線y＝﹣3x+3與y軸交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q，將直線PQ繞P點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°后，所得的直線交x軸于點(diǎn)R．求點(diǎn)R的坐標(biāo)．解析：（1）見解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判斷出∠ACB=∠ADC，再判斷出∠CAD=∠BCE，進(jìn)而判斷出△ACD≌△CBE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出MF=NG，OF=MG，進(jìn)而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出結(jié)論；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，進(jìn)而得出Q（1，0），OQ=1，再判斷出PQ=SQ，即可判斷出OH=4，SH=0Q=1，進(jìn)而求出直線PR的解析式，即可得出結(jié)論.【詳解】證明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如圖2，過點(diǎn)M作MF⊥y軸，垂足為F，過點(diǎn)N作NG⊥MF，交FM的延長線于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M(jìn)（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，2），（3）如圖3，過點(diǎn)Q作QS⊥PQ，交PR于S，過點(diǎn)S作SH⊥x軸于H，對于直線y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），設(shè)直線PR為y＝kx+b，則，解得∴直線PR為y＝﹣x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.2．（1）在等邊三角形ABC中，①如圖①，D，E分別是邊AC，AB上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC交于點(diǎn)F，則∠BFE的度數(shù)是度；②如圖②，D，E分別是邊AC，BA延長線上的點(diǎn)且AE=CD，BD與EC的延長線交于點(diǎn)F，此時∠BFE的度數(shù)是度；（2）如圖③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是銳角，點(diǎn)O是AC邊的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，OA的延長線上，AE=CD，BD與EC的延長線交于點(diǎn)F，若∠ACB=α，求∠BFE的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）．解析：（1）①60°；②60°；（2）∠BFE=α．【解析】【分析】（1）①先證明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先證明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；（2）證明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，則∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【詳解】（1）如圖①中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案為60．（2）如圖②中，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∵AE=CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案為60．（3）如圖③中，∵點(diǎn)O是AC邊的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，∴OC=OA，∴∠EAC=∠DCB=α，∵AC=BC，AE=CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E=∠D，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.3．如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記∠ADF為α（0°＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過程中；（1）如圖2，當(dāng)∠α＝時，，當(dāng)∠α＝時，DE⊥BC；（2）如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時，邊DF、DE分別交BC、AC的延長線于點(diǎn)M、N，①此時∠α的度數(shù)范圍是；②∠1與∠2度數(shù)的和是否變化？若不變求出∠1與∠2度數(shù)和；若變化，請說明理由；③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度數(shù)范圍．解析：（1）10°，100°；（2）①55°＜α＜85°；②∠1與∠2度數(shù)的和不變，理由見解析③55°＜α≤60°．【解析】【分析】（1）當(dāng)∠EDA＝∠B＝40°時，，得出30°＋α＝40°，即可得出結(jié)果；當(dāng)時，DE⊥AB，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出結(jié)果；（2）①由已知得出∠ACD＝45°，∠A＝50°，推出∠CDA＝85°，當(dāng)點(diǎn)C在DE邊上時，α＋30°＝85°，解得α＝55°，當(dāng)點(diǎn)C在DF邊上時，α＝85°，即可得出結(jié)果；②連接MN，由三角形內(nèi)角和定理得出∠CNM＋∠CMN＋∠MCN＝180°，則∠CNM＋∠CMN＝90°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠DNM＋∠DMN＋∠MDN＝180°，即∠2＋∠CNM＋∠CMN＋∠1＋∠MDN＝180°，即可得出結(jié)論；③由，∠1＋∠2＝60°，得出∠2≥2（60°?∠2），解得∠2≥40°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠2＋∠NDM＋α＋∠A＝180°，即∠2＋30°＋α＋50°＝180°，則∠2＝100°?α，得出100°?α≥40°，解得α≤60°，再由當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時，55°＜α＜85°，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵∠B＝40°，∴當(dāng)∠EDA＝∠B＝40°時，，而∠EDF＝30°，∴，解得：α＝10°；當(dāng)時，DE⊥AB，此時∠A+∠EDA＝180°，，∴，解得：α＝100°；故答案為10°，100°；（2）①∵∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，∠A＝50°，∴∠CDA＝85°，當(dāng)點(diǎn)C在DE邊上時，，解得：，當(dāng)點(diǎn)C在DF邊上時，，∴當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時，；故答案為：；②∠1與∠2度數(shù)的和不變；理由如下：連接MN，如圖所示：在△CMN中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，∴∠CNM+∠CMN＝90°，在△MND中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN＝180°，∴；③∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝60°，∴，∴∠2≥40°，∵，即，∴，∴，解得：α≤60°，∵當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時，，∴∠α的度數(shù)范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、不等式等知識，合理選擇三角形后利用三角形內(nèi)角和定理列等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．4．完全平方公式：適當(dāng)?shù)淖冃危梢越鉀Q很多的數(shù)學(xué)問題．例如：若，求的值．解：因?yàn)樗运缘茫鶕?jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若，求的值；（2）①若,則；②若則；（3）如圖，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，以為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．解析：（1）12；（2）①6；②17；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的變形應(yīng)用，解決問題；（2）①兩邊平方，再將代入計(jì)算；②兩邊平方，再將代入計(jì)算；（3）由題意可得：，，兩邊平方從而得到，即可算出結(jié)果．【詳解】解：（1）；；；又；，，∴．（2）①，；又，．②由，；又，．（3）由題意可得，，；，；，；圖中陰影部分面積為直角三角形面積，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的適當(dāng)變形靈活應(yīng)用，（1）可直接應(yīng)用公式變形解決問題．（2）①②小題都需要根據(jù)題意得出兩個因式和或者差的結(jié)果，合并同類項(xiàng)得①，②是解決本題的關(guān)鍵，再根據(jù)完全平方公式變形應(yīng)用得出答案．（3）根據(jù)幾何圖形可知選段，再根據(jù)兩個正方形面積和為18，利用完全平方公式變形應(yīng)用得到，再根據(jù)直角三角形面積公式得出答案．5．直線與相互垂直，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動，點(diǎn)在射線上運(yùn)動，點(diǎn)、點(diǎn)均不與點(diǎn)重合．（1）如圖1，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，平分，平分，的反向延長線交于點(diǎn)．①若，則______度（直接寫出結(jié)果，不需說理）；②點(diǎn)、在運(yùn)動的過程中，是否發(fā)生變化，若不變，試求的度數(shù)：若變化，請說明變化規(guī)律．（3）如圖3，已知點(diǎn)在的延長線上，的角平分線、的角平分線與的角平分線所在的直線分別相交于的點(diǎn)、，在中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍，請直接寫出的度數(shù)．解析：（1）135°；（2）①45°；②不變；45°；（3）45°或36°【解析】【分析】靈活運(yùn)用三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和；（1）求出，，根據(jù)，即可解決問題；（2）①求出，，根據(jù)，即可求出的值；②根據(jù)即可得出結(jié)論；（3）首先證明，，再分四種情況討論①當(dāng)時，②時，③時，④時，分別計(jì)算，符合題意得保留即可．【詳解】解：（1）如圖1中，，，，，又平分，平分，，，，（2）如圖2中：①（三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和），平分，平分，，，，；②結(jié)論：點(diǎn)A、B在運(yùn)動過程中，，理由：點(diǎn)A、B在運(yùn)動過程中，的角度不變，；（3）如圖3中，的角平分線、的角平分線與的角平分線所在的直線分別相交于的點(diǎn)、，，，又為平角，，，，又在中：，﹤，在中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍，則：①當(dāng)時，，此時，②時，，，此時（不符合題意舍去），③時，，此時，④時，，此時（不符合題意舍去），綜上所述，當(dāng)或時，在中，有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想的理解及應(yīng)用，分類討論時，沒有討論完全是本題的易錯點(diǎn)．6．探究發(fā)現(xiàn)：如圖①，在中，內(nèi)角的平分線與外角的平分線相交于點(diǎn)．（1）若，則；若，則；（2）由此猜想：與的關(guān)系為(不必說明理由)．拓展延伸：如圖②，四邊形的內(nèi)角與外角的平分線相交于點(diǎn)，．（3）若，，求的度數(shù)，由此猜想與，之間的關(guān)系，并說明理由．解析：（1）40°25°；（2）(或)（3）=【解析】【分析】（1）先根據(jù)兩角平分線寫出對應(yīng)的等式關(guān)系，再分別寫出兩個三角形內(nèi)角和的等式關(guān)系，最后聯(lián)立兩等式化解，將的角度帶入即可求解；（2）由（1）可得，即可求解；（3）在與的平分線相交于點(diǎn)，可知，又因?yàn)?，兩直線平行內(nèi)錯角相等，得出，再根據(jù)三角形一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得出，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出，最后在中：，代入整理即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由題可知：BE為的角平分線，CE為的角平分線，=2=2，=2，，三角形內(nèi)角和等于，在中：，即：，①，在中：，即：，②，綜上所述聯(lián)立①②，由①-②×2可得：，，，，當(dāng)，則；當(dāng)，則；故答案為，；（2）由（1）知：(或)；（3）∵與的平分線相交于點(diǎn)，∴，，又∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵是的一個外角，∴（三角形一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和），在四邊形中，四邊形內(nèi)角和為，，，∴，∴①，∴，即，在中：，，由上可得：，②，又∵，∴，，，由①②可得，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用和角平分線的定義，能正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．7．在我們認(rèn)識的多邊形中，有很多軸對稱圖形．有些多邊形，邊數(shù)不同對稱軸的條數(shù)也不同；有些多邊形，邊數(shù)相同但卻有不同數(shù)目的對稱軸．回答下列問題：（1）非等邊的等腰三角形有________條對稱軸，非正方形的長方形有________條對稱軸，等邊三角形有___________條對稱軸；（2）觀察下列一組凸多邊形（實(shí)線畫出），它們的共同點(diǎn)是只有1條對稱軸，其中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，仿照類似的修改方式，請你在圖1-4和圖1-5中，分別修改圖1-2和圖1-3，得到一個只有1條對稱軸的凸五邊形，并用實(shí)線畫出所得的凸五邊形；（3）小明希望構(gòu)造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形，于是他選擇修改長方形，圖2中是他沒有完成的圖形，請用實(shí)線幫他補(bǔ)完整個圖形；（4）請你畫一個恰好有3條對稱軸的凸六邊形，并用虛線標(biāo)出對稱軸．解析：（1）1，2，3；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；（2）中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的，在圖1-4和圖1-5中，分別仿照類似的修改方式進(jìn)行畫圖即可；（3）長方形具有兩條對稱軸，在長方形的右側(cè)補(bǔ)出與左側(cè)一樣的圖形，即可構(gòu)造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形；（4）在等邊三角形的基礎(chǔ)上加以修改，即可得到恰好有3條對稱軸的凸六邊形．【詳解】解：（1）非等邊的等腰三角形有1條對稱軸，非正方形的長方形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸，故答案為1，2，3；（2）恰好有1條對稱軸的凸五邊形如圖中所示．（3）恰好有2條對稱軸的凸六邊形如圖所示．（4）恰好有3條對稱軸的凸六邊形如圖所示．8．探索發(fā)現(xiàn)：……根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）＝，＝；（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：（3）利用規(guī)律解方程：解析：（1）；（2）；（3）見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)簡單的分式可得，相鄰兩個數(shù)的積的倒數(shù)等于它們的倒數(shù)之差，即可得到和（2）根據(jù)（1）規(guī)律將乘法寫成減法的形式，可以觀察出前一項(xiàng)的減數(shù)等于后一項(xiàng)的被減數(shù)，因此可得它們的和.（3）首先利用（2）的和的結(jié)果將左邊化簡，再利用分式方程的解法求解即可.【詳解】解：（1），；故答案為（2）原式＝;（3）已知等式整理得：所以，原方程即：，方程的兩邊同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，解得：x＝3，檢驗(yàn)：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，∴原方程的解為：x＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的歸納總結(jié)能力，關(guān)鍵在于根據(jù)簡單的數(shù)的運(yùn)算尋找規(guī)律,是考試的熱點(diǎn).9．已知，如圖1，直線l2⊥l1，垂足為A，點(diǎn)B在A點(diǎn)下方，點(diǎn)C在射線AM上，點(diǎn)B、C不與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D在直線11上，點(diǎn)A的右側(cè)，過D作l3⊥l1，點(diǎn)E在直線l3上，點(diǎn)D的下方．（1）l2與l3的位置關(guān)系是；（2）如圖1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，則∠CED＝°，∠ADC＝°；（3）如圖2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分線，交BD于F，交AD于G．試說明：∠DGF＝∠DFG；（4）如圖3，若∠DBE＝∠DEB，點(diǎn)C在射線AM上運(yùn)動，∠BDC的角平分線交EB的延長線于點(diǎn)N，在點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，探索∠N:∠BCD的值是否變化，若變化，請說明理由；若不變化，請直接寫出比值．解析：（1）互相平行；（2）35，20；（3）見解析；（4）不變，【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（4）根據(jù)角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）直線l2⊥l1，l3⊥l1，∴l(xiāng)2∥l3，即l2與l3的位置關(guān)系是互相平行，故答案為：互相平行；（2）∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE＝BCD，∵∠BCD＝70°，∴∠DCE＝35°，∵l2∥l3，∴∠CED＝∠DCE＝35°，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；故答案為：35，20；（3）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF，∵l2⊥l1，∴∠CAD＝90°，∴∠BCF+∠AGC＝90°，∵CD⊥BD，∴∠DCF+∠CFD＝90°，∴∠AGC＝∠CFD，∵∠AGC＝∠DGF，∴∠DGF＝∠DFG；（4）∠N:∠BCD的值不會變化，等于；理由如下：∵l2∥l3，∴∠BED＝∠EBH，∵∠DBE＝∠DEB，∴∠DBE＝∠EBH，∴∠DBH＝2∠DBE，∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，∵∠N+∠BDN＝∠DBE，∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，∵DN平分∠BDC，∴∠BDC＝2∠BDN，∴∠BCD＝2∠N，∴∠N:∠BCD＝．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合題，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識別圖形進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．10．如圖1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直線DE經(jīng)過點(diǎn)C，過點(diǎn)A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分別為點(diǎn)D和E，AD=8，BE=6．（1）①求證：△ADC≌△CEB；②求DE的長；（2）如圖2，點(diǎn)M以3個單位長度/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿著邊CA運(yùn)動，到終點(diǎn)A，點(diǎn)N以8個單位長度/秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿著線BC—CA運(yùn)動，到終點(diǎn)A．M，N兩點(diǎn)同時出發(fā)，運(yùn)動時間為t秒(t＞0)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，過點(diǎn)M作PM⊥DE于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作QN⊥DE于點(diǎn)Q；①當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時，用含有t的代數(shù)式表示線段CN的長度；②當(dāng)t為何值時，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合；③當(dāng)△PCM與△QCN全等時，則t=．解析：（1）①證明見解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=【解析】【分析】（1）①先證明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時，根據(jù)CN＝CN?BC即可得出答案；②點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得t＝2即可；③分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段BC上時，△PCM≌△QNC，則CM＝CN，得3t＝10?8t，解得t＝1011；當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時，△PCM≌△QCN，則3t＝8t?10，解得t＝2；即可得出答案．【詳解】（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時，如圖3所示：CN＝CN?BC＝8t?10；②點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得：t＝2，∴當(dāng)t為2秒時，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合；③分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段BC上時，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10?8t，解得：t＝；當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時，△PCM≌△QCN，點(diǎn)M與N重合，CM＝CN，則3t＝8t?10，解得：t＝2；綜上所述，當(dāng)△PCM與△QCN全等時，則t等于s或2s，故答案為：s或2s．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、分類討論等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．在中，若存在一個內(nèi)角角度，是另外一個內(nèi)角角度的倍（為大于1的正整數(shù)），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為3倍角三角形．（1）在中，，，則為________倍角三角形；（2）若是3倍角三角形，且其中一個內(nèi)角的度數(shù)是另外一個內(nèi)角的余角的度數(shù)的，求的最小內(nèi)角．（3）若是2倍角三角形，且，請直接寫出的最小內(nèi)角的取值范圍．解析：（1）4；（2）的最小內(nèi)角為15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)倍角三角形的定義判斷即可得到答案；(2)根據(jù)△DEF是3倍角三角形，必定有一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個角之間的關(guān)系，分情況進(jìn)行解答即可得到答案；(3)可設(shè)未知數(shù)表示2倍角三角形的各個內(nèi)角，然后列不等式組確定最小內(nèi)角的取值范圍．【詳解】解：(1)∵在中，，，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故為4倍角三角形；(2)設(shè)其中一個內(nèi)角為x°，3倍角為3x°，則另外一個內(nèi)角為：①當(dāng)小的內(nèi)角的度數(shù)是3倍內(nèi)角的余角的度數(shù)的時，即：x=（90°-3x），解得：x=15°，②3倍內(nèi)角的度數(shù)是小內(nèi)角的余角的度數(shù)的時，即：3x=（90°-x），解得：x=9°，③當(dāng)時，解得：，此時：=，因此為最小內(nèi)角，因此，△DEF的最小內(nèi)角是9°或15°或．(3)設(shè)最小內(nèi)角為x，則2倍內(nèi)角為2x，第三個內(nèi)角為（180°-3x），由題意得：2x＜90°且180°-3x＜90°，∴30°＜x＜45°，答：△MNP的最小內(nèi)角的取值范圍是30°＜x＜45°．12．探究：如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠B＝30°，則∠ACD的度數(shù)是度；拓展：如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)A、B分別在CM、CN上，分別過點(diǎn)A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分別為D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度數(shù)；應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)D、E在射線CP上，連接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，則∠CAD+∠CBE+∠ACB＝度．解析：探究：30；（2）拓展：20°；（3）應(yīng)用：120【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性質(zhì)依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)直接計(jì)算得出即可；（3）利用三角形的外角的性質(zhì)得出結(jié)論，直接轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案為：30，（2）∵BE⊥CP，∴∠BEC＝90°，∵∠CBE＝70°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，∵AD⊥CP，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；（3）∵∠ADP是△ACD的外角，∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，故答案為120．【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，垂直的定義，解本題的關(guān)鍵是充分利用直角三角形的性質(zhì)：兩銳角互余，是一道比較簡單的綜合題．13．（閱讀材科）小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的項(xiàng)角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．（深入探究）（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，連接AO，下列結(jié)論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．(將所有正確的序號填在橫線上)．（延伸應(yīng)用）（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．解析：（1）證明見解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用對頂角和三角形的內(nèi)角和定理判斷出∠BOC=60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，進(jìn)而得出∠AOE=60°，再判斷出BF＜CF，進(jìn)而判斷出∠OBC＞30°，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進(jìn)而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正確，∠ADB=∠AEC，記AD與CE的交點(diǎn)為G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正確，在OB上取一點(diǎn)F，使OF=OC，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正確，連接AF，要使OC=OE，則有OC=CE，∵BD=CE，∴CF=OF=BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而沒辦法判斷∠OBC大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點(diǎn)睛】此題考查三角形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．14．如圖1，在等邊△ABC中，E、D兩點(diǎn)分別在邊AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于點(diǎn)F．（1）求∠AFE的度數(shù)；（2）過點(diǎn)A作AH⊥CE于H，求證：2FH+FD=CE；（3）如圖2，延長CE至點(diǎn)P，連接BP，∠BPC=30°，且CF=CP，求的值．（提示：可以過點(diǎn)A作∠KAF=60°，AK交PC于點(diǎn)K，連接KB）解析：（1）∠AFE=60°；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）通過證明得到對應(yīng)角相等，等量代換推導(dǎo)出；（2）由（1）得到，則在中利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，等量代換可得；（3）通過在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，作輔助線證明和全等，利用對應(yīng)邊相等，等量代換得到比值.(通過將順時針旋轉(zhuǎn)60°也是一種思路.)【詳解】（1）解：如圖1中．∵為等邊三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在和中，，∴（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）證明：如圖1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，連接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK為等邊三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在和中，，∴(SAS)，∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴，∴，∵∴.【點(diǎn)睛】掌握等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，及三角形全等的判定通過一定等量代換為本題的關(guān)鍵.15．在中，，，是的角平分線，于點(diǎn).（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）如圖2，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），以為一邊，在下方作，交延長線于點(diǎn).求證：；（3）如圖3，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，以為一邊，在的下方作，交延長線于點(diǎn).直接寫出，與數(shù)量之間的關(guān)系.解析：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）結(jié)論：，證明見解析．【解析】【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）如圖（見解析），延長ED使得，連接MF，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定得出是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、角的和差得出，然后根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)、等量代換即可得證；（3）如圖（見解析），參照題（2），先證是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、角的和差得出，然后根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)、等量代換即可得證．【詳解】（1）是的角平分線，在和中，是等邊三角形；（2）如圖，延長ED使得，連接MF，是的角平分線，是等邊三角形，即在和中，，即即；（3）結(jié)論：，證明過程如下：如圖，延長BD使得，連接NH由（2）可知，是等邊三角形，即在和中，，即即．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點(diǎn)，較難的是題（2）和（3），通過作輔助線，構(gòu)造一個等邊三角形是解題關(guān)鍵．二、選擇題16．下列判斷正確的是（）A．3a2bc與bca2不是同類項(xiàng)B．的系數(shù)是2C．單項(xiàng)式﹣x3yz的次數(shù)是5D．3x2﹣y+5xy5是二次三項(xiàng)式解析：C【解析】【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的定義解答．【詳解】A．3d2bc與bca2所含有的字母以及相同字母的指數(shù)相同，是同類項(xiàng)，故本選項(xiàng)錯誤．B．的系數(shù)是，故本選項(xiàng)錯誤．C．單項(xiàng)式﹣x3yz的次數(shù)是5，故本選項(xiàng)正確．D．3x2﹣y+5xy5是六次三項(xiàng)式，故本選項(xiàng)錯誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了同類項(xiàng)，多項(xiàng)式以及單項(xiàng)式的概念及性質(zhì)．需要學(xué)生對概念的記憶，屬于基礎(chǔ)題．17．當(dāng)x取2時，代數(shù)式的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3解析：B【解析】【分析】把x等于2代入代數(shù)式即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可得：把代入中得：，故答案為：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是代入求值問題，解題關(guān)鍵就是把x的值代入進(jìn)去即可.18．如圖，將線段AB延長至點(diǎn)C，使,D為線段AC的中點(diǎn)，若BD=2，則線段AB的長為（）A．4 B．6 C．8 D．12解析：C【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，則可列出：，解出x值為BC長，進(jìn)而得出AB的長即可.【詳解】解：根據(jù)題意可得：設(shè)，則可列出：解得：，，.故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的中點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵在于對線段間的倍數(shù)關(guān)系的理解，以及通過等量關(guān)系列出方程即可.19．如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中∠α與∠β不相等的圖形是（）A． B． C． D．解析：C【解析】【分析】根據(jù)余角與補(bǔ)角的性質(zhì)進(jìn)行一一判斷可得答案..【詳解】解:A,根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠α=∠β=45;B,根據(jù)同角的余角相等可得∠α=∠β；C,由圖可得∠α不一定與∠β相等；D,根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠α=∠β.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查角度的計(jì)算及余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，其中等角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等.20．晚上七點(diǎn)剛過，小強(qiáng)開始做數(shù)學(xué)作業(yè)，一看鐘，發(fā)現(xiàn)此時時針和分針在同一直線上；做完數(shù)學(xué)作業(yè)八點(diǎn)不到，此時時針和分針又在同一直線上，則小強(qiáng)做數(shù)學(xué)作業(yè)花了多少時間（）A．30分鐘 B．35分鐘 C．分鐘 D．分鐘解析：D【解析】【分析】由題意知，開始寫作業(yè)時，分針和時針組成一平角，寫完作業(yè)時，分針和時針重合.設(shè)小強(qiáng)做數(shù)學(xué)作業(yè)花了x分鐘，根據(jù)分針追上時針時多轉(zhuǎn)了180°列方程求解即可.【詳解】分針?biāo)俣龋?0度÷5分=6度/分；時針?biāo)俣龋?0度÷60分=0.5度/分.設(shè)小強(qiáng)做數(shù)學(xué)作業(yè)花了x分鐘，由題意得6x-0.5x=180,解之得x=.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用---追擊問題，解答本題的關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．21．如圖，C為射線AB上一點(diǎn)，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③當(dāng)PB＝BQ時，t＝12，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3解析：C【解析】【分析】根據(jù)AC比BC的多5可分別求出AC與BC的長度，然后分別求出當(dāng)P與Q重合時，此時t=30s，當(dāng)P到達(dá)B時，此時t=15s，最后分情況討論點(diǎn)P與Q的位置．【詳解】解：設(shè)BC＝x，∴AC＝x+5∵AC+BC＝AB∴x+x+5＝30，解得：x＝20，∴BC＝20，AC＝10，∴BC＝2AC，故①成立，∵AP＝2t，BQ＝t，當(dāng)0≤t≤15時，此時點(diǎn)P在線段AB上，∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)∴MB＝BP＝15﹣t∵QM＝MB+BQ，∴QM＝15，∵N為QM的中點(diǎn)，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，當(dāng)15＜t≤30時，此時點(diǎn)P在線段AB外，且點(diǎn)P在Q的左側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)∴BM＝BP＝t﹣15∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N為QM的中點(diǎn)，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，當(dāng)t＞30時，此時點(diǎn)P在Q的右側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M(jìn)是BP的中點(diǎn)∴BM＝BP＝t﹣15∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N為QM的中點(diǎn)，∴NQ＝QM＝，∴AB＝4NQ，綜上所述，AB＝4NQ，故②正確，當(dāng)0＜t≤15，PB＝BQ時，此時點(diǎn)P在線段AB上，∴AP＝2t，BQ＝t∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，∴30﹣2t＝t，∴t＝12，當(dāng)15＜t≤30，PB＝BQ時，此時點(diǎn)P在線段AB外，且點(diǎn)P在Q的左側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝t，t＝20，當(dāng)t＞30時，此時點(diǎn)P在Q的右側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝t，t＝20，不符合t＞30，綜上所述，當(dāng)PB＝BQ時，t＝12或20，故③錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是求出P到達(dá)B點(diǎn)時的時間，以及點(diǎn)P與Q重合時的時間，涉及分類討論的思想．22．下列判斷正確的是（）A．有理數(shù)的絕對值一定是正數(shù)．B．如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等．C．如果一個數(shù)是正數(shù)，那么這個數(shù)的絕對值是它本身．D．如果一個數(shù)的絕對值是它本身，那么這個數(shù)是正數(shù)．解析：C【解析】試題解析：A∵0的絕對值是0，故本選項(xiàng)錯誤．B∵互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，故本選項(xiàng)正確．C如果一個數(shù)是正數(shù)，那么這個數(shù)的絕對值是它本身．D∵0的絕對值是0，故本選項(xiàng)錯誤．故選C．23．某車間有名工人，每人每天能生產(chǎn)螺栓個或螺母個.若要使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母按配套，則分配幾人生產(chǎn)螺栓?設(shè)分配名工人生產(chǎn)螺栓，其他工人生產(chǎn)螺母，所列方程正確的是（）A． B．C． D．解析：D【解析】【分析】設(shè)分配x名工人生產(chǎn)螺栓，則（26-x）名生產(chǎn)螺母，根據(jù)每天生產(chǎn)的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．【詳解】解：設(shè)分配x名工人生產(chǎn)螺栓，則（26-x）名生產(chǎn)螺母，∵要使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母按1：2配套，每人每天能生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個，∴可得2×12x=18（26-x）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題抽象一元一次方程，要保證配套，則生產(chǎn)的螺母的數(shù)量是生產(chǎn)的螺栓數(shù)量的2倍，所以列方程的時候，應(yīng)是螺栓數(shù)量的2倍=螺母數(shù)量．24．如圖，直線與直線相交于點(diǎn),,若過點(diǎn)作,則的度數(shù)為()A． B．C．或 D．或解析：D【解析】【分析】由題意分兩種情況過點(diǎn)作,利用垂