平面向量及其加減運算(提高)知識講解

平面向量及加減運算（高）知識講【習標1.了向量的實際背景，理解平向量和向量相等的含.2.理向量的幾何表示，掌握向加、減運算，并理解其幾何意.3.理兩個向量共線的含.【點理要一平向1.有線：定了方向的線段叫做有向線.有線段的向是從一點到另一點的指向，這時線段的兩個端點有順序前點叫起點一點叫終點畫時在終點處畫上箭頭表示它的方.要詮：（向段AB”符號標記為

AB

，且

AB

表示點B相對點的位差別.（）兩個字母標記有向線段時，起點字母必須寫在終點字母的前.2.平向的義表（）向:既有大小有方向的量叫做向其中向量的大小叫做向量的或向量的長度）.要詮：①向量的兩要素：向量的大小、向量的方.②數量與向量的區(qū)別：數量只有大小，是一個代數量，可以進行代數運算、比較大??；而向量有方向，有大小，具有雙重性，不能比較大.③向量與有向線段的區(qū)別：（）量只有大小和方向兩個要素，與起點無關，只要大小和方向相同，這兩個向量就是相等的向量；（b有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.（）量表方:①小寫英文字母表示:如

,b,

等②幾何表示:用一條有向線段示向量，如（）量分：

,

等固定向量：有大小、方向、作用點的向量；自由向量：只有大小、方向，沒有作用點的向.要詮：們學習的主要自由向.特的量零向量長為零的向量叫零向.單位向量:長度等于1個位的向.相等向量:長度相等且方向相同向.互為相反向:長相等且方向反的向.

平行向量:方向相同或相反的非向量，叫平行向平行向量又稱為共線向)規(guī)定:

與任一向量共線.要詮：（）向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫的不同（平向量可以在同一直線區(qū)別于兩平行線的位置關系共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關.(3)零向量、單位向量的定義都只是限制了大.要二平向的法算定：兩個向量的和向量的運算叫做向量的加.運法：（）角法：般來說，求不平行的兩個向量的和向量時，只要把第二個向量與第一個向量首尾相接么第一個量的起點為起點二個向量的終點為終點的向量就是和向量.這樣的規(guī)定叫做向量的加的三角形法.如圖：ＣＡ

ABBC

Ｂ（）邊法：般地，幾個向量相加，可把這幾個向量順次首尾相接，那么它們的和向量是以第一個向量的起點為起點后一個向量的終點為終點的向量樣規(guī)定叫做幾個向量相加的多邊形法則.（）行邊法如果

是兩個不平行的向量，那么求它們和向量時，可以在平面內任取一點為公共起點，作兩個向量分別與a相；再以這兩個向量為鄰邊作平行四邊形然以所取的公共起點為起點這個平行四邊形的對角線向量則這一對角線向量就是

和的向.如圖：Ｄ

ＣＡ

AB

Ｂ要詮：1.兩向量的和是一個向量，規(guī)

.2.可平行四邊形或三角形法則行運算，但要注意向量的起點與終.3.“量平移由量前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到個向量連加，即得到幾個向量相加的多邊形法.4.

|ab

.探討該式中等號成立的條件，可以解決許多相關的問.3.運律

（）換律：

；（）合律：

(a)b)要三向的法算1.定：知兩個向量的和及其中一個向量，求另一個向量的運算叫做向量的減.2.運法：在平面內任取一點這點為公共起點作出這兩個向量么們的差向量是以減向量的終點為起點減量的終點為點的向量樣求兩個向量的差向量的規(guī)定叫做向量減法的三角形的法則.要詮：（）去一個向量等于加上這個向量的相反向量，即ABDB用加法法則來解決減法問.

，從而（）量的加法、減法的結果仍然是向量，規(guī)定

.（）AB長度相等、方向相反的向量，叫做的反向量，即【型題類一向的本念1.判斷下列各命題是否正確：

AB

.(1)若a，ab；(2)若A、、、是共的點，則DC是邊形ABCD為行四邊形的充要條件；(3)若

a，(4)兩向量a,相等的充要條件是a且ab.【路撥對于有向量基本概念的考查以從概念的特征入手可以從反面行考慮，要注意這兩方面的結.【案解】解：(1)不確，兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同，因此由b.

a

推不出(2)正確，

ABDC∴AB且AB//DC.又A、、、是不線的四點，四邊形ABCD是平行四邊形，則

AB//DC,DC且AB與DC方相同因此AB(3)正確，

a

的長度相等且方向相同；又

b,bc

的長度相等且方向相同，

a,的長度相等且方向相.故a.(4)不正確ab但方向相反時使a不得到ab

b//

不是

a的充要條件【結華我們應該清醒的認識到個非零向量相等的充要條件應是長度等且方向相同，向量相等是可傳遞的.復習量時，要注意將向量與實數、向量與線段、向量運算與實數運算區(qū)別開來.舉反：【變式】下列說法正確的個數()①向量

//DC

，則直線

AB//

直線

;②兩個向量當且僅當它們的起點相同，終點也相同時才相等；③向量

AB

既是有向線段

AB

；④在平行四邊形中，一定有DC.A.0個B.1個C.2個D.3個【答案】類二向的法算.已知：凸四邊形

ABCD

中，

、

F

分別為

AD

、

中點，求證：EF

(DC)BF

.

CA

E

D【路撥一幾個向量相,把這幾個向量順次首尾相接那么它們的和向量是以第一個向量的起點為起最后一個向量的點為終點的向.【案解】解：如圖：

EDDC

，EFBF

.則：

EFED)AB))∵

E

、

分別為

AD

、

中點，∴

，

∴

EF

()

.【結華舉反：

OAAA12

nnn【變式】求證：對角線互相平分的四邊形是平行四邊.

Ｄ

Ｃ已知：四邊形

中，

AO

，

DO

，

Ｏ求證：

是平行四邊.

Ａ

Ｂ【答案】證明：由向量的加法法：AO，DOOC，AO，DO，，即線段

AB

與

平行且相等，∴

是平行四邊形.類三向的法算.三形兩邊中點連線平行于第三邊并且等于第三邊的一.【案解】已知：如圖，中，分別邊AB，的中.求證：//且DE

.ADB證明：，分別是邊AB，AC的點，∴

AD

1ABAE2

.∴

DE

1()

，∵D，不點，∴

DE//

且

DE

.【結華兩個向相減則表示兩個向量起點的字母必須相同差向量的終點指向減向量的終點類四向加綜運.如圖向

AD

＝°

a

a

和

a

.

【路撥利用三形法則和數乘運算向量法討論幾何問題關鍵是選取適當的向量表示其他向量，本題的基底就是b由它可以“生”成【案解】以、為鄰形A|AB，故a|ACa|

ACDB

.因為

O

，所以

O所以是正三角形，則|,以|ADsin60

3332所以|【結華用知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功用量加法數乘向量外應分利用平面何的一些定理此求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中選從同一頂點發(fā)的基本向量或首尾相連的向量用量加減運算及數乘運算來求解，既充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關系，運用加法三角形、平行四邊形法則運用減法三角法則充利用三角形的中位線相似三角形對應邊成比例的平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求.舉反：【變式】如圖，已知點

,F

分別是

三邊

ABBCCA

的中點，求證：

EA

.

【答案】證明：連結