2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題14 集合復(fù)數(shù)邏輯語言專題（數(shù)學(xué)文化）（解析版）

2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文化、新定義）專題14集合，復(fù)數(shù)，邏輯語言專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）數(shù)系的擴(kuò)張過程以自然數(shù)為基礎(chǔ)，德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克(Kronecker，1823﹣1891)說“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江溫州·高一樂清市知臨中學(xué)?？计谥校┠硣臻_展了大規(guī)模COVID-19核酸檢測(cè)，并將數(shù)據(jù)整理如圖所示，其中集合S表示（）A．無癥狀感染者 B．發(fā)病者 C．未感染者 D．輕癥感染者3．（2021秋·湖北十堰·高一校聯(lián)考期中）必修一課本有一段話：當(dāng)命題“若，則”為真命題，則“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分條件.也可以這樣說，若不成立，那么一定不成立，對(duì)成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2022秋·云南曲靖·高一?？计谥校┒鸥υ凇斗钯?zèng)韋左丞丈二十二韻》中有詩句：“讀書破萬卷，下筆如有神.”對(duì)此詩句的理解是讀書只有讀透書，博覽群書，這樣落實(shí)到筆下，運(yùn)用起來才有可能得心應(yīng)手，如有神助一般，由此可得，“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．（2020·陜西榆林·統(tǒng)考一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（，）對(duì)應(yīng)向量（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：，已知，則（

）A． B．4 C． D．166．（2021春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，它說的是：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中有個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）那么在復(fù)平面內(nèi)使除了1和這兩個(gè)根外，還有一個(gè)復(fù)數(shù)根為（

）A． B． C． D．7．（2021春·安徽宣城·高一校聯(lián)考期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了公式（為虛數(shù)單位），它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“虛數(shù)”這個(gè)名詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制的，直到19世紀(jì)虛數(shù)才真正聞人數(shù)的領(lǐng)域，虛數(shù)不能像實(shí)數(shù)一樣比較大小.已知復(fù)數(shù)，且(其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2022年1月，中科大潘建偉團(tuán)隊(duì)和南科大范靖云團(tuán)隊(duì)發(fā)表學(xué)術(shù)報(bào)告，分別獨(dú)立通過實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了虛數(shù)i在量子力學(xué)中的必要性，再次說明了虛數(shù)i的重要性．對(duì)于方程，它的兩個(gè)虛數(shù)根分別為（

）A． B．C． D．10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）人們對(duì)數(shù)學(xué)研究的發(fā)展一直推動(dòng)著數(shù)域的擴(kuò)展，從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、從有理數(shù)到實(shí)數(shù)等等．16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹和邦貝利在解方程時(shí)，首先引進(jìn)了，17世紀(jì)法因數(shù)學(xué)家笛卡兒把i稱為“虛數(shù)”，用表示復(fù)數(shù)，并在直角坐標(biāo)系上建立了“復(fù)平面”．若復(fù)數(shù)z滿足方程，則（

）A． B． C． D．11．（2022·高一單元測(cè)試）中國古代重要的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)下卷有題：今有物，不知其數(shù)三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二問：物幾何？現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)為A． B． C． D．12．（2022秋·浙江溫州·高一?？茧A段練習(xí)）在數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)黑洞：無論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個(gè)值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一樣．目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等．定義：若一個(gè)n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù)．已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．813．（2019·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)的不足近似值和過剩近似值分別為和（），則是的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道，若令，則第一次用“調(diào)日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即，若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么第三次用“調(diào)日法”后可得的近似分?jǐn)?shù)為A． B． C． D．14．（2022·上海·高一專題練習(xí)）古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長(zhǎng)與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長(zhǎng)與右盤物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長(zhǎng)）稱黃金，某顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（

）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于15．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）三國時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立16．（2022秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長(zhǎng)度完成的無字證明為（）A．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）世紀(jì)末，挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并給出以下公式，（其中是虛數(shù)單位，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），這個(gè)公式在復(fù)變論中有非常重要的地位，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式，有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A． B． C． D．19．（2020·天津·南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到世紀(jì)，直到年，德國數(shù)學(xué)家戴金德提出了“戴金德分割”才結(jié)束了持續(xù)多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴金德分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴金德分割.試判斷，對(duì)于任一戴金德分割，下列選項(xiàng)中一定不成立的是（

）A．沒有最大元素，有一個(gè)最小元素B．沒有最大元素，也沒有最小元素C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素D．有一個(gè)最大元素，沒有最小元素20．（2021春·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）不定方程的整數(shù)解問題是數(shù)論中一個(gè)古老的分支，其內(nèi)容極為豐富，西方最早研究不定方程的人是希臘數(shù)學(xué)家丟番圖．請(qǐng)研究下面一道不定方程整數(shù)解的問題：已知?jiǎng)t該方程的整數(shù)解有（

）組．A．1 B．2 C．3 D．421．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期中）對(duì)于直角三角形的研究，中國早在商朝時(shí)期，就有商高提出了“勾三股四弦五”這樣的勾股定理特例，而西方直到公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯才提出并證明了勾股定理．如果一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于5，則這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值等于（

）．A． B．10 C． D．22．（2017·湖北·校聯(lián)考一模）我國古代太極圖是一種優(yōu)美的對(duì)稱圖.如果一個(gè)函數(shù)的圖像能夠?qū)A的面積和周長(zhǎng)分成兩個(gè)相等的部分，我們稱這樣的函數(shù)為圓的“太極函數(shù)”.下列命題中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是對(duì)于任意一個(gè)圓其對(duì)應(yīng)的太極函數(shù)不唯一；如果一個(gè)函數(shù)是兩個(gè)圓的太極函數(shù)，那么這兩個(gè)圓為同心圓；圓的一個(gè)太極函數(shù)為；圓的太極函數(shù)均是中心對(duì)稱圖形；奇函數(shù)都是太極函數(shù)；偶函數(shù)不可能是太極函數(shù).A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題23．（2021春·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里而占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 B．為純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)等于 D．的共軛復(fù)數(shù)為24．（2022春·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）歐拉公式（本題中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位）是由瑞士若名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，依據(jù)歐拉公式，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是圓25．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）群論是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中具有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“·”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，即對(duì)所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的運(yùn)算還滿足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，則稱G關(guān)于“·”構(gòu)成一個(gè)群.則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群C．實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群26．（2020秋·江蘇鹽城·高二江蘇省東臺(tái)中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng).由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3.設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形對(duì)角線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列推理正確的是（

）①由圖1和圖2面積相等得；②由可得；③由可得；④由可得.A．① B．② C．③ D．④27．（2022秋·黑龍江佳木斯·高一樺南縣第一中學(xué)?？计谥校稁缀卧尽肪恝虻膸缀未鷶?shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且.設(shè)，，，垂足為，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．28．（2022秋·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習(xí)）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為，則其身高可能是（

）A． B． C． D．29．（2021秋·全國·高一期末）早在西元前世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．而今我們稱為正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式叫做基本不等式．下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（

）A．若，則B．若，，則最小值為C．若，，D．若實(shí)數(shù)滿足，，，則的最小值是30．（2022秋·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號(hào)，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，，則下列命題正確的是（

）A．若且，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則三、填空題31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了平方差公式，平方差公式是指兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則__________．32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）毛澤東同志在《清平樂●六盤山》中的兩句詩為“不到長(zhǎng)城非好漢，屈指行程二萬”，假設(shè)詩句的前一句為真命題，則“到長(zhǎng)城”是“好漢”的__________條件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）33．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)專著《孫子算經(jīng)》中有一問題“今有三女，長(zhǎng)女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸，問：三女幾何日相會(huì)？”，則此三女前三次相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用列舉法可表示為______，此三女相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用描述法可表示為______.34．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高一校考階段練習(xí)）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是指以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點(diǎn)，且，，為的中點(diǎn)，以為直徑作半圓．過點(diǎn)作的垂線交半圓于，連接，，，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作的垂線，使得．該圖形完成的無字證明．圖中線段__________的長(zhǎng)度表示，的調(diào)和平均數(shù)，線段______________的長(zhǎng)度表示，的平方平均數(shù)．35．（2022秋·浙江溫州·高三溫州中學(xué)校聯(lián)考期末）我國古代數(shù)學(xué)著作《田畝比類乘除捷法》中有這樣一個(gè)問題：“給銀八百六十四兩，只云所得銀之兩數(shù)比總分人數(shù)，其銀多十二兩.問總是幾人，每人各得幾兩”，其意思是：“現(xiàn)一共有銀子八百六十四兩，只知道每個(gè)人分到的銀子數(shù)目的兩倍比總?cè)藬?shù)多十二，則一共有____________人，每個(gè)人分得____________兩銀子”.36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家棣莫佛（Demoivre，1667~1754）出生于法國香檳，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.已知，根據(jù)這個(gè)公式可知______.37．（2022秋·遼寧沈陽·高一沈陽市第八十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)的不足近似值和過剩近似值分別為和，，則是的更為精確的近似值．已知，試以上述的不足近似值和過剩近似值為依據(jù)，那么使用兩次“調(diào)日法”后可得的近似分?jǐn)?shù)為________．38．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）由于無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金提出了“戴德金分割”才結(jié)束了持續(xù)200多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分成兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割.試判斷，對(duì)于任一戴德金分割，下列選項(xiàng)中一定不成立的是________.①M(fèi)沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素；②M沒有最大元素，N也沒有最小元素；③M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素；④M有一個(gè)最大元素，N沒有最小元素；四、解答題39．（2022秋·江蘇鹽城·高一鹽城中學(xué)校考階段練習(xí)）《見微知著》談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜：從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題?新結(jié)論的重要方法.閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡(jiǎn)便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察：（2）整體設(shè)元：（3）整體代入：（4）整體求和等.例如，，求證：.證明：原式.波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個(gè)藤菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長(zhǎng)”類似問題，我們有更多的式子滿足以上特征.閱讀材料二：基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，它是解決最值問題的有力工具.例如：在的條件下，當(dāng)x為何值時(shí)，有最小值，最小值是多少？專題14集合，復(fù)數(shù)，邏輯語言專題（數(shù)學(xué)文化）一、單選題1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）數(shù)系的擴(kuò)張過程以自然數(shù)為基礎(chǔ)，德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克(Kronecker，1823﹣1891)說“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其它一切都是人造的”設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用虛數(shù)單位的冪的運(yùn)算規(guī)律化簡(jiǎn)即得,然后利用共軛復(fù)數(shù)的概念判定.【詳解】解：,故選：C.2．（2022秋·浙江溫州·高一樂清市知臨中學(xué)校考期中）某國近日開展了大規(guī)模COVID-19核酸檢測(cè)，并將數(shù)據(jù)整理如圖所示，其中集合S表示（）A．無癥狀感染者 B．發(fā)病者 C．未感染者 D．輕癥感染者【答案】A【分析】由即可判斷S的含義.【詳解】解：由圖可知，集合S是集合A與集合B的交集，所以集合S表示：感染未發(fā)病者，即無癥狀感染者，故選：A.3．（2021秋·湖北十堰·高一校聯(lián)考期中）必修一課本有一段話：當(dāng)命題“若，則”為真命題，則“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分條件.也可以這樣說，若不成立，那么一定不成立，對(duì)成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】本題可根據(jù)充分條件與必要條件的定義得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椤胺怯兄菊卟荒苤烈病奔础坝兄尽辈怀闪r(shí)“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分條件，“有志”是“能至”的必要條件，故選：B.4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期中）杜甫在《奉贈(zèng)韋左丞丈二十二韻》中有詩句：“讀書破萬卷，下筆如有神.”對(duì)此詩句的理解是讀書只有讀透書，博覽群書，這樣落實(shí)到筆下，運(yùn)用起來才有可能得心應(yīng)手，如有神助一般，由此可得，“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷.【詳解】杜甫的詩句表明書讀得越多，文章未必就寫得越好，但不可否認(rèn)的是，一般寫作較好的人，他的閱讀量一定不會(huì)少，而且所涉獵的文章范疇也會(huì)比一般讀書人廣泛.因此“讀書破萬卷”是“下筆如有神”的必要不充分條件.故選：C5．（2020·陜西榆林·統(tǒng)考一模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（，）對(duì)應(yīng)向量（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè)，以射線Ox為始邊，OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為，則，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：，，則，由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：，已知，則（

）A． B．4 C． D．16【答案】D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式：，直接求解即可.【詳解】，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理，將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式，屬于基礎(chǔ)題.6．（2021春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，它說的是：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集中有個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）那么在復(fù)平面內(nèi)使除了1和這兩個(gè)根外，還有一個(gè)復(fù)數(shù)根為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程根的意義，把代入方程，經(jīng)化簡(jiǎn)變形即可得解.【詳解】因是方程的根，即，所以是方程的根.故選：B7．（2021春·安徽宣城·高一校聯(lián)考期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了公式（為虛數(shù)單位），它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)歐拉公式代入求解即可.【詳解】解：根據(jù)歐拉公式，得，即它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故位于第二象限.故選：B.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“虛數(shù)”這個(gè)名詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制的，直到19世紀(jì)虛數(shù)才真正聞人數(shù)的領(lǐng)域，虛數(shù)不能像實(shí)數(shù)一樣比較大小.已知復(fù)數(shù)，且(其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件，設(shè)，再列式求，即可得到復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)，，①，得，且②，由①②解得：，，所以.故選：C9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2022年1月，中科大潘建偉團(tuán)隊(duì)和南科大范靖云團(tuán)隊(duì)發(fā)表學(xué)術(shù)報(bào)告，分別獨(dú)立通過實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了虛數(shù)i在量子力學(xué)中的必要性，再次說明了虛數(shù)i的重要性．對(duì)于方程，它的兩個(gè)虛數(shù)根分別為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方程根的定義進(jìn)行驗(yàn)證．【詳解】首先實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式方程的虛數(shù)根成對(duì)出現(xiàn)，它們互為共軛復(fù)數(shù)，因此排除CD，A選項(xiàng)，，因此選項(xiàng)A正確，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤（因?yàn)?次方程只有3個(gè)根（包括重根））．故選：A．10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）人們對(duì)數(shù)學(xué)研究的發(fā)展一直推動(dòng)著數(shù)域的擴(kuò)展，從正數(shù)到負(fù)數(shù)、從整數(shù)到分?jǐn)?shù)、從有理數(shù)到實(shí)數(shù)等等．16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹和邦貝利在解方程時(shí)，首先引進(jìn)了，17世紀(jì)法因數(shù)學(xué)家笛卡兒把i稱為“虛數(shù)”，用表示復(fù)數(shù)，并在直角坐標(biāo)系上建立了“復(fù)平面”．若復(fù)數(shù)z滿足方程，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)為0列出方程組求解作答.【詳解】設(shè)，因，則，即，而，則，解得，所以.故選：C11．（2022·高一單元測(cè)試）中國古代重要的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)下卷有題：今有物，不知其數(shù)三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二問：物幾何？現(xiàn)有如下表示：已知，，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)為A． B． C． D．【答案】D【解析】將選項(xiàng)中的數(shù)字逐一代入集合、、的表達(dá)式，檢驗(yàn)是否為、、的元素，即可選出正確選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)?，則，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，故；，故；，故，則，選項(xiàng)D正確.故選：D．12．（2022秋·浙江溫州·高一?？茧A段練習(xí)）在數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)黑洞：無論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個(gè)值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一樣．目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等．定義：若一個(gè)n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù)．已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)自戀數(shù)的定義可得集合，再根據(jù)交集的定義求出，從而可得答案.【詳解】解：依題意，，，故，故的子集個(gè)數(shù)為8．故選：D．13．（2019·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)的不足近似值和過剩近似值分別為和（），則是的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道，若令，則第一次用“調(diào)日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即，若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，那么第三次用“調(diào)日法”后可得的近似分?jǐn)?shù)為A． B． C． D．【答案】C【解析】利用“調(diào)日法”進(jìn)行計(jì)算到第三次，即可得到本題答案.【詳解】第一次用“調(diào)日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即；第二次用“調(diào)日法”后得是的更為精確的過剩近似值，即；第三次用“調(diào)日法”后得是的更為精確的不足近似值，即，所以答案為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查“調(diào)日法”，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）古希臘科學(xué)家阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提出了杠桿原理，它是使用天平秤物品的理論基礎(chǔ)，當(dāng)天平平衡時(shí)，左臂長(zhǎng)與左盤物品質(zhì)量的乘積等于右臀長(zhǎng)與右盤物品質(zhì)量的乘積，某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊臂不等長(zhǎng)）稱黃金，某顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實(shí)際所得黃金（

）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【分析】設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為.根據(jù)天平平衡，列出等式，可得表達(dá)式，利用作差法比較與10的大小，即可得答案.【詳解】解：由于天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實(shí)際質(zhì)量為.由杠桿的平衡原理：，．解得，，則.下面比較與10的大?。海ㄗ鞑畋容^法）因?yàn)?，因?yàn)椋?，?所以這樣可知稱出的黃金質(zhì)量大于.故選：A15．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）三國時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立【答案】D【分析】直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，則，利用大正方形的面積與四個(gè)直角三角形面積和的不等關(guān)系得結(jié)論．【詳解】直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，則，在正方形的面積為，四個(gè)直角三角形的面積和為，因此有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，中間沒有小正方形，等號(hào)成立．故選：D．16．（2022秋·北京豐臺(tái)·高一統(tǒng)考期末）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，可以直接通過比較線段OF與線段CF的長(zhǎng)度完成的無字證明為（）A．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）【答案】C【分析】由圖形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，結(jié)合CF≥OF即可得出.【詳解】解：由圖形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝，∵CF≥OF，∴，故選：C.17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）世紀(jì)末，挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)幾何意義可得的軌跡為圓，從而將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則所求最大值為圓心到的距離加上半徑.【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓；的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，.故選：C.18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并給出以下公式，（其中是虛數(shù)單位，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），這個(gè)公式在復(fù)變論中有非常重要的地位，被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式，有下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件的公式及誘導(dǎo)公式，結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算后即可求解.【詳解】對(duì)于A，，所以，故A不正確；對(duì)于B，，，所以，故B正確；對(duì)于C，，，所以，故C不正確；對(duì)于D，，故D不正確.故選：B.19．（2020·天津·南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到世紀(jì)，直到年，德國數(shù)學(xué)家戴金德提出了“戴金德分割”才結(jié)束了持續(xù)多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴金德分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴金德分割.試判斷，對(duì)于任一戴金德分割，下列選項(xiàng)中一定不成立的是（

）A．沒有最大元素，有一個(gè)最小元素B．沒有最大元素，也沒有最小元素C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素D．有一個(gè)最大元素，沒有最小元素【答案】C【分析】本題目考察對(duì)新概念的理解，舉具體的實(shí)例證明成立即可，A,B,D都能舉出特定的例子，排除法則說明C選項(xiàng)錯(cuò)誤【詳解】若，；則沒有最大元素，有一個(gè)最小元素；故A正確；若，；則沒有最大元素，也沒有最小元素；故B正確；若，；有一個(gè)最大元素，沒有最小元素，故D正確；有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素不可能，故C不正確.故選：C20．（2021春·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）不定方程的整數(shù)解問題是數(shù)論中一個(gè)古老的分支，其內(nèi)容極為豐富，西方最早研究不定方程的人是希臘數(shù)學(xué)家丟番圖．請(qǐng)研究下面一道不定方程整數(shù)解的問題：已知?jiǎng)t該方程的整數(shù)解有（

）組．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】原方程可化為，所以即，再列舉每種情況即可.【詳解】設(shè)此方程的解為有序數(shù)對(duì)，因?yàn)樗援?dāng)或時(shí)，等號(hào)是不能成立的，所以即，（1）當(dāng)時(shí)，即（2）當(dāng)時(shí)，即或（3）當(dāng)時(shí)，即綜上所述，共有四組解故選：D21．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期中）對(duì)于直角三角形的研究，中國早在商朝時(shí)期，就有商高提出了“勾三股四弦五”這樣的勾股定理特例，而西方直到公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯才提出并證明了勾股定理．如果一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于5，則這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值等于（

）．A． B．10 C． D．【答案】C【分析】先由勾股定理得，再利用基本不等式易得，由此得到，問題得解.【詳解】不妨設(shè)該直角三角形的斜邊為，直角邊為，則，因?yàn)椋裕?，?dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，所以該直角三角形周長(zhǎng)，即這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)的最大值為.故選：C.22．（2017·湖北·校聯(lián)考一模）我國古代太極圖是一種優(yōu)美的對(duì)稱圖.如果一個(gè)函數(shù)的圖像能夠?qū)A的面積和周長(zhǎng)分成兩個(gè)相等的部分，我們稱這樣的函數(shù)為圓的“太極函數(shù)”.下列命題中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是對(duì)于任意一個(gè)圓其對(duì)應(yīng)的太極函數(shù)不唯一；如果一個(gè)函數(shù)是兩個(gè)圓的太極函數(shù)，那么這兩個(gè)圓為同心圓；圓的一個(gè)太極函數(shù)為；圓的太極函數(shù)均是中心對(duì)稱圖形；奇函數(shù)都是太極函數(shù)；偶函數(shù)不可能是太極函數(shù).A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】由定義可知過圓的任一直線都是圓的太極函數(shù)，故正確；當(dāng)兩圓的圓心在同一條直線上時(shí)，那么該直線表示的函數(shù)為太極函數(shù)，故錯(cuò)誤；∵，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，又∵圓關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，故可以為圓的一個(gè)太極函數(shù)，故正確；太極函數(shù)的圖象一定過圓心，但不一定是中心對(duì)稱圖形，例如：故錯(cuò)誤；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其圖象可以將任意以原點(diǎn)為圓心的圓面積及周長(zhǎng)進(jìn)行平分，故奇函數(shù)可以為太極函數(shù)，故正確；如圖所示偶函數(shù)可以是太極函數(shù)，故錯(cuò)誤；則錯(cuò)誤的命題有3個(gè)，故選B.二、多選題23．（2021春·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里而占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限 B．為純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)等于 D．的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AC【分析】根據(jù)歐拉公式計(jì)算出各復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，純虛數(shù)的概念，復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，共軛復(fù)數(shù)的概念即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】對(duì)A，，因?yàn)椋?，即?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，A正確；對(duì)B，，為實(shí)數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)C，，則復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為：，C正確；對(duì)D，，共軛復(fù)數(shù)為，D錯(cuò)誤．故選：AC．24．（2022春·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）歐拉公式（本題中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位）是由瑞士若名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，依據(jù)歐拉公式，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是圓【答案】ABD【分析】由歐拉公式和特殊角的三角函數(shù)值可判斷A；由歐拉公式和三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)可判斷B；由歐拉公式和共軛復(fù)數(shù)的概念可判斷C；由歐拉公式和復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，B正確；對(duì)于C，，共軛復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，又，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是圓.故選：ABD.25．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）群論是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中具有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“·”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，即對(duì)所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的運(yùn)算還滿足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，則稱G關(guān)于“·”構(gòu)成一個(gè)群.則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群C．實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群【答案】CD【分析】根據(jù)群的定義需滿足的三個(gè)條件逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，對(duì)所有的a、，有，滿足乘法結(jié)合律，即①成立，滿足②的為1，但當(dāng)時(shí)，不存在，使得，即③不成立，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，且，但，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，對(duì)所有的a、，有，滿足加法結(jié)合律，即①成立，滿足②的為0，，，使，即③成立；即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：若，所有的、，有，成立，即①成立；當(dāng)時(shí)，，滿足的，即②成立；，，使，即③成立；即選項(xiàng)D正確.故選：CD.26．（2020秋·江蘇鹽城·高二江蘇省東臺(tái)中學(xué)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）.將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長(zhǎng)為，寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng).由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3.設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形對(duì)角線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列推理正確的是（

）①由圖1和圖2面積相等得；②由可得；③由可得；④由可得.A．① B．② C．③ D．④【答案】ABCD【解析】根據(jù)圖1，圖2面積相等，可求得d的表達(dá)式，可判斷A選項(xiàng)正誤，由題意可求得圖3中的表達(dá)式，逐一分析B、C、D選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于①：由圖1和圖2面積相等得，所以，故①正確；對(duì)于②：因?yàn)?，所以，所以，設(shè)圖3中內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為t，根據(jù)三角形相似可得，解得，所以，因?yàn)椋?，整理可得，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)闉樾边叺闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，整理得，故③正確；對(duì)于④：因?yàn)椋?，整理得：，故④正確；故選：ABCD【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意及三角形的性質(zhì)，利用幾何法證明基本不等式，求得的表達(dá)式，根據(jù)圖形及題意，得到的大小關(guān)系，即可求得答案，考查分析理解，計(jì)算化簡(jiǎn)的能力.27．（2022秋·黑龍江佳木斯·高一樺南縣第一中學(xué)校考期中）《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且.設(shè)，，，垂足為，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】直接利用射影定理和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)圖形，利用射影定理得：，由于：，所以：．由于，所以所以由于，整理得：．故選：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：射影定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．28．（2022秋·遼寧大連·高一大連八中?？茧A段練習(xí)）古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為，則其身高可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】設(shè)身高為，運(yùn)用黃金分割比例，結(jié)合圖形得到對(duì)應(yīng)成比例的線段，計(jì)算可估計(jì)身高.【詳解】設(shè)頭頂、咽喉、肚臍、足底分別為點(diǎn),假設(shè)身高為，即，人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是，,.，且，，,，人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比均是，,,,且，，，,,由題意可得，，，,故BC正確.故選：BC29．（2021秋·全國·高一期末）早在西元前世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．而今我們稱為正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，為正數(shù)的幾何平均數(shù)，并把這兩者結(jié)合的不等式叫做基本不等式．下列與基本不等式有關(guān)的命題中正確的是（

）A．若，則B．若，，則最小值為C．若，，D．若實(shí)數(shù)滿足，，，則的最小值是【答案】CD【分析】通過反例可知A錯(cuò)誤；根據(jù)基本不等式“”的應(yīng)用可求得BC正誤；令，，將所求式子化為，利用基本不等式可知D正確.【詳解】對(duì)于A，若，，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即的最小值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，又，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），C正確；對(duì)于D，令，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即的最小值是，D正確.故選：CD.30．（2022秋·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號(hào)，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，，則下列命題正確的是（

）A．若且，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BCD【分析】利用不等式性質(zhì)結(jié)合可判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)不等式性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】A中，時(shí)，則，錯(cuò)誤；B中，因?yàn)椋?，所以成立，正確；C中，因?yàn)?，，所以，，所以，即，正確；D中，由，可得，又，所以，正確.故選：BCD.三、填空題31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了平方差公式，平方差公式是指兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則__________．【答案】【分析】先要平方差公式，再按照復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則計(jì)算即可.【詳解】；故答案為：.32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）毛澤東同志在《清平樂●六盤山》中的兩句詩為“不到長(zhǎng)城非好漢，屈指行程二萬”，假設(shè)詩句的前一句為真命題，則“到長(zhǎng)城”是“好漢”的__________條件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】“好漢”“到長(zhǎng)城”，“到長(zhǎng)城”“好漢”，所以“到長(zhǎng)城”是“好漢”的必要不充分條件.故答案為：必要不充分33．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)專著《孫子算經(jīng)》中有一問題“今有三女，長(zhǎng)女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸，問：三女幾何日相會(huì)？”，則此三女前三次相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用列舉法可表示為______，此三女相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用描述法可表示為______.【答案】

【分析】根據(jù)題設(shè)集合元素為5，4，3的公倍數(shù)，進(jìn)而應(yīng)用列舉法、描述法分別寫出集合即可.【詳解】因?yàn)槿鄷?huì)經(jīng)過的天數(shù)是5，4，3的公倍數(shù)，且它們的最小公倍數(shù)為60，所以三女前三次相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用列舉法可表示為.此三女相會(huì)經(jīng)過的天數(shù)組成的集合用描述法可表示為.故答案為：，34．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是指以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點(diǎn)，且，，為的中點(diǎn)，以為直徑作半圓．過點(diǎn)作的垂線交半圓于，連接，，，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，過點(diǎn)作的垂線，使得．該圖形完成的無字證明．圖中線段__________的長(zhǎng)度表示，的調(diào)和平均數(shù)，線段______________的長(zhǎng)度表示，的平方平均數(shù)．【答案】