圓錐曲線題型總結(jié)：圓錐曲線與向量結(jié)合的三種題型

圓錐曲線題型總結(jié)：圓錐曲線與向量的結(jié)合一、方法總結(jié)：直線與圓錐曲線交于A、B兩點(diǎn)，P為直線AB上的任意一點(diǎn)；設(shè)A（x1,y1）B(x2,y2)利用可以找到x1=λx2,構(gòu)造兩根之和與兩根之積得，利用消去x2得=，再利用韋達(dá)定理得=，于是=。也可以這樣處理：因?yàn)?，把代入條件得==-2.【2004全國1理21】設(shè)雙曲線C：（a＞0）與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B．設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且．求a的值．【解析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1）聯(lián)立整理得（1-）+2x-2=0.又因?yàn)?，即?gòu)造兩根之和與兩根之積得由消去x2得=，再由韋達(dá)定理得=，解得a=.【2014四川理】已知=1（x>1）設(shè)直線y=﹣2x+m與y軸交于點(diǎn)P，與C相交于點(diǎn)Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范圍．【解析】設(shè)Q（x1，y1），R（x2，y2），聯(lián)立整理得+4mx-+3=0.因?yàn)橹本€與雙曲線的右支相交，所以解得m>1.又因?yàn)閤≠1，所以m≠2.則可設(shè)===（λ>1），則，利用消去x2得=，再利用韋達(dá)定理得=；=，于是，解得1<λ<7或7<λ<7+4，故的取值范圍是（1,7）（7，7+4）【2012四川文21】已知C:=1（x≠1且x≠-1）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍。【解析】解法一：設(shè)Q（x1，y1），R（x2，y2），聯(lián)立整理得3-2mx--4=0.則可設(shè)===（λ>1），即x2=-λx1,此時△=（-2m）2-4x3(-m2-4)=16m2+48>0,而當(dāng)x=1或x=-1為方程的根時，m的值為-1或1.結(jié)合題設(shè)可知m>0且m≠1.則，利用消去x2得=，再利用韋達(dá)定理得=；=，，于是，解得1<λ<或<λ<3，故的取值范圍是（1,）（，3）.解法二：由消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0.其判別式=（-2m)2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0①而當(dāng)x=1或x=-1為方程的根時，m的值為-1或1.結(jié)合題設(shè)（m>0）可知，m>0，且m≠1設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為（XQ,YQ）,(XR,YR),則為方程①的兩根.因?yàn)?所以，所以。此時 所以所以綜上所述，【2010重慶理15】已知以為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)滿足，則弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為___________.【解析】解析一：設(shè)l:x=ty+1，A（x1,y1）,B(x2,y2),聯(lián)立，整理得y2-4ty-4=0,由韋達(dá)定理得y1+y2=4t,y1y2=-4.又，構(gòu)造兩根之和與兩根之積得則=-，即t=.因此AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為d===.解法二：設(shè)，由拋物線的定義，知，，中，，，由相似三角形性質(zhì)，得，解得，根據(jù)梯形中位線定理，得弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，答案為：.【2004全國2理21】給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)。設(shè)，若λ∈[4,9]，求l在y軸上截距的變化范圍.【解析】解法一：設(shè)l：x=ty+1,設(shè)聯(lián)立聯(lián)立，整理得y2-4ty-4=0,由韋達(dá)定理得y1+y2=4t,y1y2=-4.又，構(gòu)造兩根之和與兩根之積得則==-4t2，則t2=.①當(dāng)t>0時，有t=;②當(dāng)t<0時，有t=-而l在y軸上的截距為-，故直線l在y軸上的截距的變化范圍是解法二：C的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)由題設(shè)得①②即①②由②得，∵∴③聯(lián)立①、③解得，依題意有∴又F（1，0），得直線l方程為當(dāng)時，l在方程y軸上的截距為由可知在[4，9]上是遞減的，∴直線l在y軸上截距的變化范圍為【2009?天津理】已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），過點(diǎn)的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．（1）求橢圓的離心率；（2）求直線AB的斜率；【解析】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，從而整理，得a2=3c2，故離心率解法一：由（1）可設(shè)橢圓，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因?yàn)镕1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．所以，即又由于是解得從而得到A（0，），因此kAB=,故直線AB的斜率是。解法二：由橢圓的對稱性，延長AF1交橢圓于C，則，設(shè)lAC:x=ty-c，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立整理得（3+2t2）y2-4tcy-4c2=0,，因?yàn)镕1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．所以,即，則有即故即=-=-解得t=,若t=,聯(lián)立后的方程為2y2-cy-2c2=0從而得到A（0，），因此kAB=;若t=-,聯(lián)立后的方程為2y2+cy-2c2=0從而得到A（0，-），因此kAB=;綜上所述直線AB的斜率是。解析三：由橢圓的對稱性，延長AF1交橢圓于C，則，根據(jù)公式e=,此處e=,λ=2,則k=.當(dāng)k=時，直線AC為y=(x+c),聯(lián)立整理得2x2+3cx=0,解得則于是直線AB的斜率為k=;當(dāng)k=-,同理可得AB的斜率為。綜上所述直線AB的斜率是。解法四：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2，所以橢圓的方程可寫為2x2+3y2=6c2設(shè)直線AB的方程為，即y=k（x﹣3c）．由已知設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則它們的坐標(biāo)滿足方程組消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0．依題意，而①②由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以x1+3c=2x2③聯(lián)立①③解得，將x1，x2代入②中，解得．結(jié)論：已知橢圓（a>b>0）的兩個焦點(diǎn)分別為F1（-c,0）,F2(c,0)（c>0）,過點(diǎn)E（，0）的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，若，則該直線一定過（0，b）或（0，-b）【2011浙江理15】設(shè)F1,F2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，A，B在橢圓上，若，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。【解析】解法一：由橢圓的對稱性，延長AF1交橢圓于C，因?yàn)?，則。設(shè)lAC:x=ty-,A(x1，y1)C(x2,y2),聯(lián)立，整理得（3+t2）y2-2y-1=0.由得。構(gòu)造兩根之和與兩根之積得即=-=-解得t=,若t=,聯(lián)立后的方程為5y2-4y-1=0,此時y1=1,即A（0,1）；若t=-,聯(lián)立后的方程為5y2+4y-1=0,此時y1=-1,即A（0,-1）。綜上所述A（0，）解法二：由橢圓的對稱性，延長AF1交橢圓于C，因?yàn)?，則 。根據(jù)公式e=,此處e=,λ=5,則k=.當(dāng)k=時，直線AC為y=(x+),聯(lián)立整理得5x2+6x=0,解得，故A（0,1）；當(dāng)k=-，y=-(x+),聯(lián)立整理得5x2+6x=0,解得，故A（0,-1）；綜上所述，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），型方法總結(jié)：一般地，過一點(diǎn)Q的直線l與圓錐曲線交于A，B兩點(diǎn)；若，，則可以用A，B的坐標(biāo)來表示，當(dāng)滿足一定關(guān)系時，進(jìn)一步用韋達(dá)定理做整體代換?！?006山東理21】過點(diǎn)P(0,4)的直線l，交雙曲線C：于A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合）.當(dāng)=，且時，求Q點(diǎn)的坐標(biāo).解：解法一：由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)的方程：，則,。同理 .即 ① 聯(lián)立 消去y得.當(dāng)時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，。由韋達(dá)定理有：代入①式得 所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為。解法二：由題意知直線的斜率存在且不等于零。設(shè)的方程：，則在雙曲線上，同理有：若則直線過頂點(diǎn)，不合題意.是二次方程的兩根.，此時.所求的坐標(biāo)為.解法三：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程，，則.，分的比為.由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得下同解法一解法四：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程：，則.，.，，，又，即將代入得，否則與漸近線平行。?！?007年福建理20】過點(diǎn)F的直線交拋物線C：y2=4x于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知，，求的值.【解析】.

設(shè),lAB:x=my+1(m≠0),則M（-1，-）

聯(lián)立方程組,消去x得:,,故

由,得:,,整理得:

,,

=0.

【例】已知拋物線y2=2px（p>0）,過點(diǎn)E（m,0）的直線交拋物線于點(diǎn)M,N交y軸于點(diǎn)P，若，，則=（）A.1B.-C.-1D.-2【解析】設(shè)lMN:x=ty+m(t≠0),,則P（0，-），聯(lián)立，整理得y2-2pty-2pm=0,△=4p2t2+8pm>0又，得（x1,y1+）=λ(m-x1,-y1),則λ=-1-；同理，得μ=-1-，故=-1--1-=-2-˙=-2-˙=-1.【例】已知拋物線y2=4x（p>0）,過點(diǎn)M（0,2）的直線交拋物線于點(diǎn)A,B，交x軸于點(diǎn)C，若，，試問是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由（）【解析】設(shè)lAB:x=m(y-2)(m≠0),,C（-2m,0），聯(lián)立，整理得y2-4my+8m=0,△16m2-32m>0得m>2或m<0.又，得（x1,y1-2）=(-2m-x1,-y1),則=-1+；同理，得=-1+，故=-1+-1+=-2+2˙=-2+2˙=-1.三、方法總結(jié)：直線與圓錐曲線相交于A,B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足，用A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示M。如果M在圓錐曲線上，則將M的坐標(biāo)帶入圓錐曲線方程；如果M沒有在圓錐曲線上，則必須把M的坐標(biāo)表達(dá)式構(gòu)造成圓錐曲線的形式進(jìn)行處理?！?005全國卷1】已知橢圓x2+3y2=3b2的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值【解析】設(shè)直線AB的方程為，A（），B），M（x，y）；聯(lián)立化簡得.則y1y2==-=-+=-因?yàn)榧丛跈E圓上，即①即（）-2（-）=。所以=1【2009全國卷2理21】已知橢圓，過右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時，上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由?！窘馕觥吭O(shè)、由題意知的斜率為一定不為0，故不妨設(shè)代入橢圓的方程中整理得，顯然。由韋達(dá)定理有：．．．．．．．．①.假設(shè)存在點(diǎn)P，使成立，則其充要條件為：點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，即。整理得。又在橢圓上，即.故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②將及①代入②解得,=,即.當(dāng);當(dāng).【2011?重慶文21】如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)0，設(shè)動點(diǎn)P滿足：=+2，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為﹣，問：是否存在定點(diǎn)F，使得|PF|與點(diǎn)P到直線l：x=2的距離之比為定值；若存在，求F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【解析】設(shè)動點(diǎn)P（x，y），M（x1，y1）、N（x2，y2）．∵動點(diǎn)P滿足：=+2，∴（x，y）=（x1+2x2，y1+2y2），∴x=x1+2x2，y=y1+2y2，∵M(jìn)、N是橢圓上的點(diǎn)，∴x12+2y12﹣4=0，x22+2y22﹣4=0．∴x2+2y2=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）=4+4×4+4（x1x2+2y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）．∵直線OM與ON的斜率之積為﹣，∴?=﹣，∴x2+2y2=20，故點(diǎn)P是橢圓=1上的點(diǎn)，焦點(diǎn)F（，0），準(zhǔn)線l：x=2，離心率為，根據(jù)橢圓的第二定義，|PF|與點(diǎn)P到直線l：x=2的距離之比為定值，故存在點(diǎn)F（，0），滿足|PF|與點(diǎn)P到直線l：x=2的距離之比為定值．【2006四川理21】已知兩定點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線ｙ＝kx－1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)。如果且曲線E上存在點(diǎn)C，使求?！窘馕觥坑呻p曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知，故曲線的方程為設(shè)，由題意建立方程組消去，得又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有解得又∵依題意得整理后得∴或但∴故直線的方程為設(shè)，由已知，得∴，又，∴點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得得，但當(dāng)時，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為到的距離為∴的面積【2011?江西理】P（x0，y0）（x0≠±a）是雙曲線E：上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為．（1）求雙曲線的離心率；（2）過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，求λ的值．【解析】（1）∵P（x0，y0）（x0≠±a）是雙曲線E：上一點(diǎn)，∴，①由題意又有，②聯(lián)立①、②可得a2=5b2，c2=a2+b2，則e=，（2）聯(lián)立，得4x2﹣10cx+35b2=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1?x2=，設(shè)=（x3，y3），，即又C為雙曲線上一點(diǎn)，即x32﹣5y32=5b2，有（λx1+x2）2﹣5（λy1+y2）2=5b2，化簡得：λ2（x12﹣5y12）+（x22﹣5y22）+2λ（x1x2﹣5y1y2）=5b2，又A（x1，y1），B（x2，y2）在雙曲線上，所以x1