浙教版八年級(jí)上冊(cè)壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷

浙教版八年級(jí)上冊(cè)壓軸題數(shù)學(xué)模擬試卷一、壓軸題1．如圖1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直線DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分別為點(diǎn)D和E，AD=8，BE=6．（1）①求證：△ADC≌△CEB；②求DE的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)M以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)沿著邊CA運(yùn)動(dòng)，到終點(diǎn)A，點(diǎn)N以8個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿著線BC—CA運(yùn)動(dòng)，到終點(diǎn)A．M，N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t＞0)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作PM⊥DE于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)N作QN⊥DE于點(diǎn)Q；①當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時(shí)，用含有t的代數(shù)式表示線段CN的長(zhǎng)度；②當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合；③當(dāng)△PCM與△QCN全等時(shí)，則t=．2．如圖，中，，，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，作且．（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，連結(jié)交于點(diǎn)，若，，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)．（3）當(dāng)點(diǎn)在射線上，連結(jié)與直線交于點(diǎn)，若，，則______．（直接寫出結(jié)果）3．某校八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請(qǐng)你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明．4．如圖1，在等邊△ABC中，E、D兩點(diǎn)分別在邊AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于點(diǎn)F．（1）求∠AFE的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于H，求證：2FH+FD=CE；（3）如圖2，延長(zhǎng)CE至點(diǎn)P，連接BP，∠BPC=30°，且CF=CP，求的值．（提示：可以過(guò)點(diǎn)A作∠KAF=60°，AK交PC于點(diǎn)K，連接KB）5．探究：如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若∠B＝30°，則∠ACD的度數(shù)是度；拓展：如圖②，∠MCN＝90°，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)A、B分別在CM、CN上，分別過(guò)點(diǎn)A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分別為D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度數(shù)；應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)A、B分別在∠MCN的邊CM、CN上，射線CP在∠MCN的內(nèi)部，點(diǎn)D、E在射線CP上，連接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，則∠CAD+∠CBE+∠ACB＝度．6．如圖，在等邊中，線段為邊上的中線．動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，以為一邊在的下方作等邊，連結(jié)．（1）求的度數(shù)；（2）若點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，試判斷是否為定值？并說(shuō)明理由．7．在中，若存在一個(gè)內(nèi)角角度，是另外一個(gè)內(nèi)角角度的倍（為大于1的正整數(shù)），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為3倍角三角形．（1）在中，，，則為________倍角三角形；（2）若是3倍角三角形，且其中一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另外一個(gè)內(nèi)角的余角的度數(shù)的，求的最小內(nèi)角．（3）若是2倍角三角形，且，請(qǐng)直接寫出的最小內(nèi)角的取值范圍．8．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1s后，BP=cm，CQ=cm．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1s后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（4）若點(diǎn)Q以（3）中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇？9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)、在軸上且關(guān)于軸對(duì)稱．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）動(dòng)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)沿軸正方向向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)到直線的距離的長(zhǎng)為，求與的關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)到的距離為時(shí)，連接，作的平分線分別交、于點(diǎn)、，求的長(zhǎng)．10．某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請(qǐng)你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點(diǎn)P，則∠BPC=゜，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，∠ECQ的平分線與BP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R，則∠R=゜．11．（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥l，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥l，垂足分別為D、E．求證：AD＝CE，CD＝BE．（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板MON放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)均落在第一象限內(nèi)，已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3），求點(diǎn)N的坐標(biāo)．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線y＝﹣3x+3與y軸交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q，將直線PQ繞P點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后，所得的直線交x軸于點(diǎn)R．求點(diǎn)R的坐標(biāo)．12．問(wèn)題背景：（1）如圖1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：DE＝BD＋CE．拓展延伸：（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．請(qǐng)寫出DE、BD、CE三條線段的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）實(shí)際應(yīng)用：（3）如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2，0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－6，3)，請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)．13．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出了這樣一個(gè)題目：“已知：于，點(diǎn)、分別在和上，作線段和（如圖1），使．求證：”．（1）聰聰同學(xué)給出一種證明問(wèn)題的輔助線：如圖2，過(guò)作，交于．請(qǐng)你根據(jù)聰聰同學(xué)提供的輔助線（或自己添加其它輔助線），給出問(wèn)題的證明．（2）若點(diǎn)在直線下方，且知，直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系．14．已知：MN∥PQ，點(diǎn)A，B分別在MN，PQ上，點(diǎn)C為MN，PQ之間的一點(diǎn)，連接CA，CB．（1）如圖1，求證：∠C=∠MAC+∠PBC；（2）如圖2，AD，BD，AE，BE分別為∠MAC，∠PBC，∠CAN，∠CBQ的角平分線，求證：∠D+∠E=180°；（3）在（2）的條件下，如圖3，過(guò)點(diǎn)D作DA的垂線交PQ于點(diǎn)G，點(diǎn)F在PQ上，∠FDA=2∠FDB，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線交EA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，若3∠C=4∠E，猜想∠H與∠GDB的倍數(shù)關(guān)系并證明．15．如圖，在中，為的中點(diǎn)，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是．（1）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)位于線段的垂直平分線上時(shí)，求出的值；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求出的值；（3）是否存在某一時(shí)刻，使？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．閱讀材料并完成習(xí)題：在數(shù)學(xué)中，我們會(huì)用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法來(lái)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．請(qǐng)看這個(gè)例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四邊形ABCD的面積．解：延長(zhǎng)線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形EAC面積．（1）根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．（2）請(qǐng)你用上面學(xué)到的方法完成下面的習(xí)題．如圖2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五邊形FGHMN的面積．17．（1）如圖1，和都是等邊三角形，且，，三點(diǎn)在一條直線上，連接，相交于點(diǎn)，求證：．（2）如圖2，在中，若，分別以，和為邊在外部作等邊，等邊，等邊，連接、、恰交于點(diǎn)．①求證：；②如圖2，在（2）的條件下，試猜想，，與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．18．探究發(fā)現(xiàn)：如圖①，在中，內(nèi)角的平分線與外角的平分線相交于點(diǎn)．（1）若，則；若，則；（2）由此猜想：與的關(guān)系為(不必說(shuō)明理由)．拓展延伸：如圖②，四邊形的內(nèi)角與外角的平分線相交于點(diǎn)，．（3）若，，求的度數(shù)，由此猜想與，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．19．如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記∠ADF為α（0°＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中；（1）如圖2，當(dāng)∠α＝時(shí)，，當(dāng)∠α＝時(shí)，DE⊥BC；（2）如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)C在△DEF內(nèi)部時(shí)，邊DF、DE分別交BC、AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N，①此時(shí)∠α的度數(shù)范圍是；②∠1與∠2度數(shù)的和是否變化？若不變求出∠1與∠2度數(shù)和；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度數(shù)范圍．20．（概念認(rèn)識(shí)）如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．（問(wèn)題解決）（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC＝°；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數(shù)；（延伸推廣）（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、壓軸題1．（1）①證明見解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=【解析】【分析】（1）①先證明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時(shí)，根據(jù)CN＝CN?BC即可得出答案；②點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得t＝2即可；③分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段BC上時(shí)，△PCM≌△QNC，則CM＝CN，得3t＝10?8t，解得t＝1011；當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時(shí)，△PCM≌△QCN，則3t＝8t?10，解得t＝2；即可得出答案．【詳解】（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時(shí)，如圖3所示：CN＝CN?BC＝8t?10；②點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得：t＝2，∴當(dāng)t為2秒時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N重合；③分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段BC上時(shí)，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10?8t，解得：t＝；當(dāng)點(diǎn)N在線段CA上時(shí)，△PCM≌△QCN，點(diǎn)M與N重合，CM＝CN，則3t＝8t?10，解得：t＝2；綜上所述，當(dāng)△PCM與△QCN全等時(shí)，則t等于s或2s，故答案為：s或2s．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、分類討論等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（1）見解析；（2）見解析；（3）或【解析】【分析】（1）證明△AFD≌△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AC，等量代換證明結(jié)論；（2）作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長(zhǎng)，得到答案；（3）過(guò)F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CG=GD，AD=CE=7，代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）證明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE，在△AFD和△EAC中，，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，F(xiàn)D=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)F作FD⊥AG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴，同理，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，，故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（1）∠BPC＝122°；（2）∠BEC＝；（3）∠BQC＝90°﹣∠A，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和化為角平分線的定義；（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【詳解】解：（1）、分別平分和，，，，，，，，故答案為：；（2）和分別是和的角平分線，，，又是的一外角，，，是的一外角，；（3），，，，，結(jié)論：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．4．（1）∠AFE=60°；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明得到對(duì)應(yīng)角相等，等量代換推導(dǎo)出；（2）由（1）得到，則在中利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，等量代換可得；（3）通過(guò)在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，作輔助線證明和全等，利用對(duì)應(yīng)邊相等，等量代換得到比值.(通過(guò)將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°也是一種思路.)【詳解】（1）解：如圖1中．∵為等邊三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在和中，，∴（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）證明：如圖1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一點(diǎn)K使得KF=AF，連接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK為等邊三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在和中，，∴(SAS)，∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴，∴，∵∴.【點(diǎn)睛】掌握等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，及三角形全等的判定通過(guò)一定等量代換為本題的關(guān)鍵.5．探究：30；（2）拓展：20°；（3）應(yīng)用：120【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性質(zhì)依次求出∠A，∠ACD即可；（2）利用直角三角形的性質(zhì)直接計(jì)算得出即可；（3）利用三角形的外角的性質(zhì)得出結(jié)論，直接轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【詳解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案為：30，（2）∵BE⊥CP，∴∠BEC＝90°，∵∠CBE＝70°，∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，∵AD⊥CP，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；（3）∵∠ADP是△ACD的外角，∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，故答案為120．【點(diǎn)睛】此題是三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，垂直的定義，解本題的關(guān)鍵是充分利用直角三角形的性質(zhì)：兩銳角互余，是一道比較簡(jiǎn)單的綜合題．6．（1）30°；（2）證明見解析；（3）是定值，.【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出，，，，由等式的性質(zhì)就可以，根據(jù)就可以得出；（3）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，由（2）可知，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，可以得出而有而得出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，通過(guò)得出同樣可以得出結(jié)論．【詳解】（1）是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．（2）與都是等邊三角形，，，，，．在和中，；（3）是定值，，理由如下：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，由（2）可知，則，又，，是等邊三角形，線段為邊上的中線平分，即．②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，．③當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，∵，．綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在直線上時(shí)，是定值，．【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形三線合一的性質(zhì)，解題中注意分類討論的思想解題.7．（1）4；（2）的最小內(nèi)角為15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，再根據(jù)倍角三角形的定義判斷即可得到答案；(2)根據(jù)△DEF是3倍角三角形，必定有一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，然后根據(jù)這兩個(gè)角之間的關(guān)系，分情況進(jìn)行解答即可得到答案；(3)可設(shè)未知數(shù)表示2倍角三角形的各個(gè)內(nèi)角，然后列不等式組確定最小內(nèi)角的取值范圍．【詳解】解：(1)∵在中，，，∴∠C=180°-55°-25°=100°，∴∠C=4∠B，故為4倍角三角形；(2)設(shè)其中一個(gè)內(nèi)角為x°，3倍角為3x°，則另外一個(gè)內(nèi)角為：①當(dāng)小的內(nèi)角的度數(shù)是3倍內(nèi)角的余角的度數(shù)的時(shí)，即：x=（90°-3x），解得：x=15°，②3倍內(nèi)角的度數(shù)是小內(nèi)角的余角的度數(shù)的時(shí)，即：3x=（90°-x），解得：x=9°，③當(dāng)時(shí)，解得：，此時(shí)：=，因此為最小內(nèi)角，因此，△DEF的最小內(nèi)角是9°或15°或．(3)設(shè)最小內(nèi)角為x，則2倍內(nèi)角為2x，第三個(gè)內(nèi)角為（180°-3x），由題意得：2x＜90°且180°-3x＜90°，∴30°＜x＜45°，答：△MNP的最小內(nèi)角的取值范圍是30°＜x＜45°．8．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由詳見解析；（3）；（4）經(jīng)過(guò)s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．【解析】【分析】（1）速度和時(shí)間相乘可得BP、CQ的長(zhǎng)；（2）利用SAS可證三角形全等；（3）三角形全等，則可得出BP=PC，CQ=BD，從而求出t的值；（4）第一次相遇，即點(diǎn)Q第一次追上點(diǎn)P，即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)的路程比點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程多10+10=20cm的長(zhǎng)度．【詳解】解：（1）BP=3×1=3㎝，CQ=3×1=3㎝（2）∵t=1s，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等∴BP=CQ=3×1=3cm，∵AB=10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=5cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣3=5cm，∴PC=BD又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP(SAS)（3）∵點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，∴BP與CQ不是對(duì)應(yīng)邊，即BP≠CQ∴若△BPD≌△CPQ，且∠B=∠C，則BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=s，∴cm/s；（4）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．由題意，得x=3x+2×10，解得∴經(jīng)過(guò)s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵還是全等的證明和利用，將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題視為定點(diǎn)問(wèn)題來(lái)分析可簡(jiǎn)化思考過(guò)程．9．（1）C（4，0）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)知為等邊三角形，利用直角三角形中30度角的性質(zhì)即可求得答案；（2）利用面積法可求得，再利用坐標(biāo)系中點(diǎn)的特征即可求得答案；（3）利用(2)的結(jié)論求得，利用角平分線的性質(zhì)證得，求得，利用面積法求得，再利用直角三角形中30度角的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）∵點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：；（2）連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即：；（3）∵點(diǎn)到的距離為，∴，∴，∴，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接、，∵為的角平分線，為等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，設(shè)，在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，涉及的知識(shí)有：含30度直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理、靈活運(yùn)用面積法求線段的長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．10．（1）122°；（2）；（3）；（4）119，29；【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用與表示出，再利用與表示出，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出與，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）根據(jù)（1），（3）的結(jié)論可以得出∠BPC的度數(shù)；根據(jù)（2）的結(jié)論可以得到∠R的度數(shù)．【詳解】解：（1）、分別平分和，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖2示，和分別是和的角平分線，，，又是的一外角，，，是的一外角，；（3），，，，，結(jié)論．（4）由（3）可知，，再根據(jù)（1），可得；由（2）可得：;故答案為：119，29．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．11．（1）見解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判斷出∠ACB=∠ADC，再判斷出∠CAD=∠BCE，進(jìn)而判斷出△ACD≌△CBE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出MF=NG，OF=MG，進(jìn)而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出結(jié)論；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，進(jìn)而得出Q（1，0），OQ=1，再判斷出PQ=SQ，即可判斷出OH=4，SH=0Q=1，進(jìn)而求出直線PR的解析式，即可得出結(jié)論.【詳解】證明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥y軸，垂足為F，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥MF，交FM的延長(zhǎng)線于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M(jìn)（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，2），（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作QS⊥PQ，交PR于S，過(guò)點(diǎn)S作SH⊥x軸于H，對(duì)于直線y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），設(shè)直線PR為y＝kx+b，則，解得∴直線PR為y＝﹣x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.12．（1）證明見解析；（2）DE＝BD＋CE；（3）B(1，4)【解析】【分析】（1）證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，AD=CE，結(jié)合圖形解答即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明∠ABD=∠CAE，證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD，AD=CE，結(jié)合圖形解答即可；（3）根據(jù)△AEC≌△CFB，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答．【詳解】（1）證明：∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°∴∠CAE＝∠ABD∵在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE即：DE＝BD＋CE（2）解：數(shù)量關(guān)系：DE＝BD＋CE理由如下：在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD，∠BDA=∠AEC，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE；（3）解：如圖，作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，由（1）可知，△AEC≌△CFB，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（1，4）．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)聰聰提供的輔助線作法進(jìn)行證明，先由平行線的性質(zhì)得：，，再證明，可得結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：如圖2，過(guò)作，交于，，，，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖3，，，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14．（1）見解析；（2）見解析；（3）猜想：∠H=3∠GDB，證明見解析．【解析】【分析】（1）作輔助線：過(guò)C作EF∥MN，根據(jù)平行的傳遞性可知這三條直線兩兩平行，由平行線的性質(zhì)得到內(nèi)錯(cuò)角相等∠MAC=∠ACF，∠BCF=∠PBC，再進(jìn)行角的加和即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線線定理得知，利用平角為180°得到∠DAE=90°，同理得，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和180°，得出結(jié)論；（3）由（1）（2）中的結(jié)論進(jìn)行等量代換得到3∠ADB=2∠E，并且兩角的和為180°，由此得到兩個(gè)角的度數(shù)分別為72°和108°，利用角的和與差得到∠HDA=36°，∠H=54°，由此得到倍數(shù)關(guān)系．【詳解】（1）如圖：過(guò)C作EF∥MN，∵M(jìn)N∥PQ，∴MN∥EF∥PQ，∴∠MAC=∠ACF，∠BCF=∠PBC，∴∠ACF+∠BCF=∠MAC+∠PBC，即∠ACB=∠MAC+∠PBC．（2）∵AD，AE分別為∠MAC，∠CAN的角平分線，∴，∴，于是∠DAE=90°同理可得：，由（1）可得：∵．（3）猜想：∠H=3∠GDB.理由如下：由（1）可知：，∵3∠C=4∠E，∴6∠ADB=4∠E，∴3∠ADB=2∠E，∵∠ADB+∠E=180°，∴∠ADB=72°，∠E=108°，∵DG⊥DA，∴∠GDB=18°，∵∠FDA=2∠FDB，∴∠ADF=144°，∴∠HDA=36°，∵DA⊥AE，∴∠H=54°，∴∠H=3∠GDB．【點(diǎn)睛】考查平行線中角度的關(guān)系，學(xué)生要熟悉掌握平行線的性質(zhì)以及角平分線定理，結(jié)合角的和與差進(jìn)行計(jì)算，本題的關(guān)鍵是平行線的性質(zhì)．15．（1）時(shí)，點(diǎn)位于線段的垂直平分線上；（2）；（3）不存在，理由見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出BP，CQ，結(jié)合圖形用含t的代數(shù)式表示CP的長(zhǎng)度，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CP＝CQ，列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列式計(jì)算；（3）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列式計(jì)算，判斷即可．【詳解】解：（1）由題意得，則，當(dāng)點(diǎn)位于線段的垂直平分線上時(shí)，，∴，解得，，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于線段的垂直平分線上；（2）∵為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，解得，，則當(dāng)時(shí)，；（3）不存在，∵，∴，則解得，，，∴不存在某一時(shí)刻，使．【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．16．（1）2；（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可直接求等腰直角三角形EAC的面積即可；（2）延長(zhǎng)MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，由（1）易證，則有FK=FH，因?yàn)镠M=GH+MN易證，故可求解．【詳解】（1）由題意知，故答案為2；（2）延長(zhǎng)MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，如圖所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，∠FNK=∠FGH=90°，，F(xiàn)H=FK，又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，，MK=FN=2cm，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)截長(zhǎng)補(bǔ)短法及割補(bǔ)法求面積的運(yùn)用．17．（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②，理由詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，進(jìn)而得出∠BCE=∠ACD，判斷出（SAS），即可得出結(jié)論；（2）①同（1）的方法判斷出（SAS），（SAS），即可得出結(jié)論；②先判斷出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE上取一點(diǎn)M，使PM=PC，證明是等邊三角形，進(jìn)而判斷出（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴（SAS），∴BE=AD；（2）①證明：∵和是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴（SAS），∴AD=BE，同理：（SAS），∴AD=CF，即AD=BE=CF；②解：結(jié)論：PB+PC+PD=BE，理由：如圖2，AD與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)Q，則∠AQC=∠BQP，由①知，，∴∠CAD=∠CBE，在中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，∠CPD=120°，在PE上取一點(diǎn)M，使PM=PC，∴是等邊三角形，∴，∠PCM=∠CMP=60°，∴∠CME=120°=∠CPD，∵是等邊三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，∴（SAS），∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．18．（1）40°25°；（2）(或)（3）=【解析】【分析】（1）先根據(jù)兩角平分線寫出對(duì)應(yīng)的等式關(guān)系，再分別寫出兩個(gè)三角形內(nèi)角和的等式關(guān)系，最后聯(lián)立兩等式化解，將的角度帶入即可求解；（2）由（1）可得，即可求解；（3）在與的平分線相交于點(diǎn)，可知，又因?yàn)?，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得出，再根據(jù)三角形一外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得出，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出，最后在中：，代入整理即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由題可知：BE為的角平分線，CE為的角平分線，=2=2，=2，，三角形內(nèi)角和等于，在中：，即：，①，在中：，即：，②，綜上所述聯(lián)立①②，由①-②×2可得：，，，，當(dāng)，則；當(dāng)，則；故答案為，；（2）由（1）知：(或)；（3）∵與的平分線相交于點(diǎn)，∴，，又∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵是的一個(gè)外角，∴（三角形一外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），在四邊形中，四邊形內(nèi)角和為，，，∴，∴①，∴，即，在中：，，由上可得：，②，又∵，∴，，，由①②可得，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用和角平分線的定義，能正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)