二次根式的概念第1課時

第十六章二次根式16.1二根次式第1課時二次根式的概念1.會判斷一個式子是不是二次根式.2.會求被開方數(shù)中所含字母的取值范圍.重點難點：1.理解二次根式的概念．

2.掌握二次根式有意義的條件.3.會利用二次根式的非負性解決相關(guān)問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)：情景導(dǎo)入思考

用帶根號的式子填空，這些結(jié)果有什么特點？(1)一張海報為正方形，若面積為2m2，則邊長為_____m；若面積為Sm2，則邊長為_____m．(2)一張的海報為長方形，若長是寬的2倍，面積為6m2，則它的寬為_____m．(3)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t（單位：s）與開始落下的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h=5t2，如果用含有

h的式子表示t，那么

t為_____．問題1

這些式子分別表示什么意義？分別表示2，S，3，的算術(shù)平方根．上面問題中，得到的結(jié)果分別是：，，，．

①根指數(shù)都為2;②被開方數(shù)為非負數(shù).問題2

這些式子有什么共同特征？

一般地，我們把形如

（a≥0）的式子叫做二次根式.

“”稱為二次根號.注意：a可以是數(shù)，也可以是式.兩個必備特征①外貌特征：含有“”②內(nèi)在特征：被開方數(shù)a

≥0知識精講知識點一

二次根式的概念被開方數(shù)可以是非負的數(shù)或單項式、多項式、分式等例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1屬于“非負數(shù)+正數(shù)”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根號被開方數(shù)是不是非負數(shù)二次根式不是二次根式是是否否分析：解：設(shè)長方形的長、寬分別為3xcm，2xcm，由題意得2x×3＝18，解得x

＝(負值舍去)．答：長方形的長、寬應(yīng)分別取3cm和2cm.1.要畫一個面積為18cm2的長方形，使它的長與寬之比為3:2，它的長、寬各應(yīng)取多少？針對練習(xí)3.下列式子不一定是二次根式的是(

)A.B.C.D.2.下列式子一定是二次根式的是()A.B.C.D.CA4.下列式子：

中，一定是二次根式的有(

)A．2個B．3個C．4個D．5個C知識點二

二次根式有意義的條件式子

只有在條件a≥0時才叫二次根式．即a≥0是

為二次根式的前提條件.

1．二次根式有意義的條件是被開方數(shù)(式)為非負數(shù)；反

之也成立，即：

有意義?a≥0.2．二次根式無意義的條件是被開方數(shù)(式)為負數(shù)；反之

也成立，即：

無意義?a＜0.總結(jié)：例2當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時,在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?解：由

x-2≥0，得

x≥2.當(dāng)x≥

2時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.【變式題1】當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：（1）由題意得x－1＞0，∴x＞1.解：（2）∵被開方數(shù)需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥－3.∵分母不能等于零，∴x－1≠0，∴x≠1.∴x≥－3且x≠1.歸納：要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，即需滿足被開方數(shù)≥0，列不等式求解即可.若式子為分式，應(yīng)同時考慮分母不為零.【變式題2】當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：(1)∵無論x為何實數(shù)，∴當(dāng)x=1時，

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.(2)∵無論x為何實數(shù)，－x2－2x－3=－(x+1)2－2＜0，∴無論x為何實數(shù)，

在實數(shù)范圍內(nèi)都無意義.歸納：被開方數(shù)是多項式時，需要對組成多項式的項進行恰當(dāng)分組湊成含完全平方的形式，再進行分析討論.(2)多個二次根式相加如

有意義的條件：(3)二次根式作為分式的分母如

有意義的條件：A＞0；(4)二次根式與分式的和如

有意義的條件：A≥0且B≠0.(1)單個二次根式如

有意義的條件：A≥0；歸納：1.當(dāng)a是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？(1)(2)(3)(4)解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以當(dāng)a≥1時，

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．(2)由2a＋3≥0，得a≥－

，所以當(dāng)a≥－

時，

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．(3)由－a≥0，得a≤0，所以當(dāng)a≤0時，

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．(4)由5－a≥0，得a≤5，所以當(dāng)a≤5時，

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．針對練習(xí)2.二次根式中，x的取值范圍是(

)A．x≥1B．x＞1C．x≤1D．x＜1A3.要使式子有意義，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A．a(chǎn)≥－1B．a(chǎn)≠2C．a(chǎn)≥－1且a≠2D．a(chǎn)＞2C4.當(dāng)

x

=______時，二次根式取最小值，其最小值為______．－10

二次根式的實質(zhì)是表示一個非負數(shù)（或式）的算術(shù)平方根.對于任意一個二次根式

，我們知道：（1）a為被開方數(shù)，為保證其有意義，可知a≥0；（2）表示一個數(shù)或式的算術(shù)平方根，可知

≥0.

二次根式的被開方數(shù)非負二次根式的值非負二次根式的雙重非負性知識點三

二次根式的雙重非負性例3

若，求a-b+c的值.

解：由題意可知a－5=0,b－6=0,c－2=0,解得a=5,b=6,c=2.

所以a－b+c=5－6+2=1.歸納：多個非負數(shù)的和為零，則可得每個非負數(shù)均為零.初中階段學(xué)過的非負數(shù)主要有絕對值、偶次冪及二次根式.2.實數(shù)a，b滿足

＋4a2＋4ab＋b2＝0，則ba的值為(

)A．2B.C．－2D．－針對練習(xí)1.若

，則xy＝________.9B3.已知實數(shù)x，y滿足|x－4|＋

＝0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是(

)A．20或16B．20C．16D．以上答案均不對B4.二次根式中，字母

a的取值范圍是()A.a＜0B.a≤0C.a≥0D.a＞0當(dāng)堂檢測1.已知一個正方形的面積是3，那么它的邊長是

.

2.使有意義的x的取值范圍是

.x≥－33.下列各式中一定是二次根式的是()BD5.當(dāng)a是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？6.若x，y是實數(shù)，且

y

＜