高中數(shù)學(xué)第三講柯西不等式與排序不等式二一般形式的柯西不等式講義含解析新人教A版選修45

x111xx＋＋＋x111xx＋＋＋名稱

二一形的西等形式

等號(hào)成立條件設(shè)a，，a，∈，當(dāng)僅當(dāng)b＝＝＝存三維形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式

則a＋＋)(＋＋)≥(＋＋)設(shè)a，…b，b…，是實(shí)，則＋＋…＋)·(＋＋＋b)≥＋…bn

在一個(gè)實(shí)數(shù)使a＝kb(i＝當(dāng)且僅當(dāng)b＝i＝1,2，，n)或在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得a＝(＝1,2…)[點(diǎn)睛]一形式的柯西不等式是二維形式維式維形式的柯西不等式的歸納與推廣其特點(diǎn)可類比二維形式柯西不等式來(lái)總結(jié)左邊是平方和的積右邊是積的和的平方．在使用時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式．利用柯西不等式證明不等式111n[例1]設(shè)x，，，都是數(shù)，求證：＋＋＋≥.x＋＋＋nn[思路點(diǎn)撥根據(jù)一般柯西不等式的特點(diǎn)造兩組數(shù)的積的形式用西不等式證明．[證明]∵＋＋＋xn

111＋＋＋＝[(＋)＋＋]·n

≥

11x＋·＋…＋x·x

1x

＝，111∴＋＋…＋≥n柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征可以記為：(＋＋＋)·(＋…＋≥(＋nnab＋…＋b.n其中a，b∈R(＝1,2…，，在使用柯西不等式時(shí)要善于從整體上把握柯西不等i式的結(jié)構(gòu)特征，正確地配湊出公式兩側(cè)的數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．1

＋＋>.＋＋＋＋aa＋b＋cc＋＋a＋b＋cc＋＋＋>.＋＋＋＋aa＋b＋cc＋＋a＋b＋cc＋＋＋xyzxyxyxy1．設(shè)，，為數(shù)，且不全相等．2229求證：a＋＋cc＋a＋＋證明：構(gòu)造兩組數(shù)＋，b，＋；

1，a＋

1，＋

1，則由柯西不等式c＋得111(＋b＋b＋＋＋a＋＋(1＋1＋1)，①2(a＋＋111c)＋＋

≥，2229于是＋＋≥由柯西不等式知，①中有等號(hào)成

a＋＋＝＝11a＋b＋cc＋＋＝＋＝＋＝b＝.1c＋因?yàn)?，，c不全等，故①中等號(hào)不成立，2229于是＋＋>.利用柯西不等式求最值[例2](1)已，，∈R，且＋y＋＝1.149求＋＋的小值；(2)設(shè)2x＋y＋5＝，求函數(shù)μ＝2＋13y＋＋5＋6的最大值．149[思路點(diǎn)撥利＋＋149＝＋

(＋y＋)(2)利用2＋1＋3y＋＋5z＋6)＝(1×2＋1＋1×3＋＋15＋6)

.[解](1)∵＋y＋＝，14949∴＋＋＝＋＋)；2

xxxx≥

123·x＋·y＋·zy＝(1＋＋＝y(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)x＝，23111即＝，＝，＝時(shí)取號(hào)．632149所以＋＋的最小值為36.(2)根據(jù)柯西不等式，有(2＋1×1＋3＋×＋5＋×≤[(2＋1)＋(3y＋4)＋(5＋6)]＋＋1)＝×x＋y＋5＋＝×＝120.故2＋＋3＋＋5＋≤230，當(dāng)且僅當(dāng)2＋＝＋＝5z＋，372822即＝，＝，＝時(shí)等號(hào)成立．6915此時(shí)μ＝30.利用柯西不等式求最值時(shí)鍵對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果時(shí)要注意等號(hào)成立的條件．2知x∈－y＋2z＝則(x5)＋－1)＋＋3)的小值()A．20C．36

B．25D．47解析C∵x＋5)＋－1)＋z＋3)][1＋－＋]≥[(＋5)＋2)(－x＋5－1＋3＋＋3)]＝324當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，x＝－，＝－，＝時(shí)取號(hào)．故1－2(x＋5)＋－1)＋＋最小值是36.3．若2x＋y＋4＝，則x＋z

的最小值為_(kāi)_______．解析：∵2x＋y＋4＝11，∴由柯西不等式，得(＋＋)(4＋＋(2＋3＋z)，121故z≥，29

3

aaaax22當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即＝，234293344y＝，＝時(shí)取等號(hào)．2929121答案：294．把一根長(zhǎng)為12m的繩截成段，各圍成三個(gè)正方形．問(wèn)：怎樣截法，才能使圍成的三個(gè)正方形面積之和最，求此最小值．xy解：設(shè)三段繩子的長(zhǎng)分別為xz，則x＋＋z＝，三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為，44z均為正數(shù)，三個(gè)正方形面積之和＝4

1＝(＋y＋16

)．∵(1＋＋)(＋＋)≥x＋＋)＝12，即z

1≥48.從而S≥×48＝16x當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取號(hào)，111又＋＋＝，∴＝＝z＝時(shí)，＝故把繩子三等分時(shí)，圍成的三個(gè)正方形面積之和最小，最小面積為3m.1．已知a＋c＋

＝，abbccd的小()A．5C．25

B．－D．－解析選B(＋＋＋)≤＋＋＋)·(＋＋)＝25當(dāng)僅當(dāng)＝＝＝d＝±

52

時(shí)，等號(hào)成立．∴＋＋＋的最小值為－2＋＋…＋＝1＋…＋＝1a＋x＋＋x的最值()nnnnA．1C．3

B．2D．4解析：選A(x＋xx)≤＋＋…＋)·(＋＋…＋x)＝1×＝，nnxx當(dāng)且僅當(dāng)＝＝…＝＝時(shí)等號(hào)．n∴＋＋…＋x的大值是1.1233．已知xy，∈R，且＋＋＝1，x＋＋最小值()y234

yz123yzyzxz3x＋＋x＋y＋2aa236yz123yzyzxz3x＋＋x＋y＋2aa236A．5C．8

B．6D．9解析：選D＋＋＋＋·＋2323

1≥·xx

2·

y＋2

3·

z31231＝，且僅當(dāng)＝＝＝時(shí)號(hào)成立．4．設(shè)abcxy是數(shù)，且a＋＝x＋＋＝40ax＋＋＝20，a＋＋則＝)A.C.

1412

1B.33D.4解析：選C

由柯西不等式得，＋＋)(＋y＋≥ax＋＋cz＝，當(dāng)且a1a＋1僅當(dāng)＝＝＝時(shí)等號(hào)，因此＝.52＋y＋＝x＋z

取得最小值時(shí)的(________.32解析：由柯西不等式2＋＋)(x＋z)≥(2＋3＋z)，＋＋≥.7x當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)號(hào)成立．23又2＋＋z＝8，8124解得＝，＝，＝，7778124故所求點(diǎn)為，778124答案：，77

.49366．設(shè)，，為數(shù)，(＋＋c)＋

的最小值是________．4936解析：a＋＋)＋＝[(a＋b＋c)]≥

a·

236＋b·＋cac

＝(2＋＋＝5

1ABCsinBsinAsinB1ABCsinBsinAsinBsina當(dāng)且僅當(dāng)＝＝＝(k為正實(shí)時(shí)，等號(hào)成立．236答案：7．已知實(shí)數(shù)x，滿x＋y＋＝1，則x＋＋z

的最小值為_(kāi)_______．解析：由柯西不等式，得[＋(2)＋3)]·

3

＋2)＋3

≥(3x＋yz)

＝，所以＋＋

3≥，34x當(dāng)且僅當(dāng)＝33最小值為.343答案：34

2＝2

3931，即x＝，＝，z＝時(shí)等號(hào)成立，所以x＋＋的134343438．△中設(shè)其各邊長(zhǎng)為，，，外圓半為，求：(＋＋c

111≥36)＋＋sinsinab證明：∵＝＝＝R，sinAsinBsinC111∴a＋)＋＋a≥＋＋.9．在直線5＋3＝上一點(diǎn)，使(＋－1)＋－＋3)

取得最小值．解：由柯西不等式得(2＋)[(＋－1)＋x－＋3)]≥[2(x＋2y－1)＋x－＋3)]＝(5x＋y＋1)＝9∴x＋y－＋(3x－＋3)≥.5當(dāng)且僅當(dāng)x2y－＝2(3x－＋3)即5－＋7＝0時(shí)取等號(hào)．，解方程7，6

133597a2b33c133597a2b33c得

，

139故所求點(diǎn)的坐標(biāo)，35710．已知函數(shù)f(x)＝x－，∈，且fx≥0解