知識(shí)講解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

【學(xué)習(xí)目標(biāo)

三角函數(shù)的誘編稿：審稿2

,【要點(diǎn)梳理要點(diǎn)一：誘誘導(dǎo)一：sin(2k)sin，cos(2k)cos，tan(2k)tan，其中k誘導(dǎo)二：sin()sin，cos()cos，tan()tan，其中k誘導(dǎo)三：sin()sin cos()cos，tan()tan，其中k誘導(dǎo)四：sin()sin，cos()cos，tan()tan，其中k誘 五：sincos，cossin，其中k 誘 六：sincos，cossin，其中k 要點(diǎn)詮釋(1k90k“(4)sinxcosxcosx；cosxsinx 4 4 4 要點(diǎn)二：誘導(dǎo)

k為常整數(shù))的三角函數(shù)值：當(dāng)kk為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳要點(diǎn)三：三角函數(shù)的三類基本題化簡(jiǎn)、證明時(shí)要注意觀察題目特征，靈活、恰當(dāng)選取【典型例題類型一：利用誘導(dǎo)求【課堂：三角函數(shù)的誘導(dǎo)385952例2】1．求下列各三角函數(shù)的值：

cos585tan300sin213cos2216tan210cot2312 4 3 【思路點(diǎn)撥】利用誘導(dǎo)把所求角化為我們熟悉的銳角去求解

22 【解析（1）原式=sin(4 )cos(8 )tan(6 sincostan 111 4545)tan(36060=22=2原式sin26cos256tan10cot210 =sin2cos26tan20cot2 =110 =6舉一反三（2）（3）tan（－855°． （1）3（2）2

32（1）sin10sin10sin24sin 3 sinsinsin 3 3 3 （2）cos31cos47cos7coscos 3 6 6

=－1f（2010．

f(2009)asin(2009)bcos(2009asin(2008)bcos(2008asin()bcos()asinbcos(asinbcos) ∴asinbcos1．∴f(2010)asin(2010)bcos(2010asinbcosasinbcos1舉一反三1【變式1】已知cos(75) ，其中為第三象限角，求cos(105°―)+sin(―105°)的值1322231【解析 ∵cos(105°－)=cos[180°－(75°+)]=－cos(75°+)= 3sin(―105°)=―sin[180°－(75°+)]=－sin(75°+∴75°+y1cos(75°+3

＞0，∴75°1cos2(75∴1cos2(75

11132∴cos(105)sin(105)122221 【總結(jié)升華】解答這類給值求值的問(wèn)題，關(guān)鍵在于找到已知角與待求角之間的相互關(guān)系，從而利用誘導(dǎo)去溝通兩個(gè)角之間的三角函數(shù)關(guān)系，如：75°+=180°－(105°－)或105°－=180°－(75°)2】已知sin(

2cos3，3cos()

2cos(0＜ ＜π，求【解析】由已知得sin

2sin，3cos

2cos，得sin23cos22cos21，而02cos2或3 當(dāng)時(shí)，cos 3，又0，∴ 3當(dāng)3時(shí)，cos ，又0，∴53 故 ， 或 ， 3．化簡(jiǎn)

tan(tan(180)cos()cos(180)sin()tan(360

sin(n)cos(n)

(nZ)，sinsin 【解析】(1)原式 tancos (2)①當(dāng)n2k,kZ時(shí)，原式sin(2k)sin(2k) ②當(dāng)n2k1,kZ時(shí)，原式sin[(2k1)]sin[(2k1)] sin[(2k1)]cos[(2k1) 【總結(jié)升華】(1)誘導(dǎo)應(yīng)用的原則是：負(fù)化正，大化小，化到銳角就終了(2)關(guān)鍵抓住題中的整數(shù)n是表示的整數(shù)倍與一中的整數(shù)k有區(qū)別，所以必須把n分成奇數(shù)和偶舉一反三coscot7tan8sin2

nZ2tan22n1tan22n1,nZ sin(k)cos[(k1)]，(kz)sin[(k1)]cos(kcos()cot(=

tan(2)sin(2coscot(tan)(sin=cot3sin2

1,(n4k0,(n原式cot2cot2由(kπ+)+(kπ―)=2kπ，[(k―1)π―]+[(k+1)π+]=2kπ，得cos[(k1)cos[(k1)cos(k，sin[(k1)]sin(k)sin(k)[cos(k故原式

sin(k)cos(k

k（1）sin(k)(1)ksin(kZ)（2）cos(k)(1)kcos(kZ)（3）sin(k)(1)k1sin(kz)（4）cos(k)(1)kcos(kZ)類型三：利用誘導(dǎo)進(jìn)行證

sin153cos13 8

7 m例4．設(shè)tan m，求證： 7

sin20cos22

m 7 sin83cos83 7 【證明 證法一：左邊 8sin47cos2

7 sin83cos8 tan8

7 7 7

m sin8cos8

tan8

m

= 7 7 7 證法二：由tan8m，得tanm 7 7 sin2 3cos2 ∴左邊

sin27cos27 sin3cos sin3cos sincos sincos

tan77 7

mm

= 【課堂：三角函數(shù)的誘導(dǎo)385952例41A、B、C為ABCsinABsinC B

ABcot （1）左邊sin(AB)sin(c)sinC=左邊

A=A=(BBCcosBC2222 左邊tanABtanCcotC= 2sin3cos 2 2

tan(9)

12sin2( tan()2sin3(sin) 2sinsin 證明：∵左邊

12sin2

12sin22sinsin 2cossin

(sincos

sin 12sin2

cos2sin22sin2

sin2cos2

sintan(9) tan sin右邊 tan() tan sin sin(3)cos(2)sin3 25f(

cos()sin(若是第三象限的角，且cos31f( 2 若31f(3 (sin)cos(cos 【解析】（1）f() (cos)（2）∵cos3sin 2 1∴sin 1115 1 ∴cos

5

6．∴f() 5（3）